В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ситуация напоминает здесь п, 1.4.1. Подобно тому как лемма Дюбуа-Реймоиа позволила нам там вывести уравнение Эйлера без дополнительного предположения о дифференцируемости функции 1 — р(1) =Л; (г), подходящее обобщение этой леммы позволит нам сейчас доказать абсолютную непрерывность функции т( ), 305 4.1.3. Обобщенная лемма Дюбуа-Реймона. Пусть на отрезке [а, р] векторная функция а( ): [а, р1 — Ка' интегрируема по Лебегу, матричная функция Ь ( ° ): [а ()1».г»(Ка К»») непрерывна, »г( ): [а Я Ка каноническая векторная функция ограниченной вариации; 㻠— различные точки интервала (а, р)» с»бК"', й=О, 1, ..., р. Если для всех й(.)ЕС»([а, р), К") имеет место ра- венство ~ а(() й(()й(+ ~ г(т(() (й(() — Ь(1)й(())+~~» с»й((») =О, а а »=о (1) р (г) = а (г) — р (г) Ь (() почти всюду, р (а) =р()») =О, р (г»+ 0) — р (㻠— 0) = с„.
(2) (3) (4) Доказательство. Положив й (() = у+ ~ т) (я) йя, мы получаем из (1) ( Р В Р ~ а(()Ш вЂ” ~ йч(() Ь(1)+~ с»г~у+ ~ а(() ~ »1(я) йяг((+ а а »=о а а Р Р г» + ~ йч(г) »1(г) — ) йч(г)Ь(г) ~ ц(я) с(я+ ),с» ) г) (я)йя = О. Так как уЕК" и т)( )ЕС([а, р), К") можно выбирать произвольно и независимо друг от друга, то, во-первых, Р Р Р ) а(г)йг — ) йт(г)Ь(г)+~~ с»= 0 (5) (нбо можно положить »1( )=О, у — любое), а во-вторых, ЗОБ то функция т( ) абсолютно непрерывна; ее производная р( ) непрерывна на [а, Я, кроме, бьипь может, точек г», в которых она имеет ггределы слева и справа, абсолютно непрерывна в любом интервале, не содержащем пючек (ю и при этом для любого г1( )ЕС()а, Я, й") имеет место равенство в с в ) а (1) ) г) (з) г(з Й + ~ с(т(1) 11 (1)— а а а в о вз — ~ Ит(1) Ь(1) )'Ч(з) Ыз+~~'„св) ч(з)аз=О.
(6) а Я з=о и Меняя в первом и третьем члене порядок интегриро- вания в соответствии с формулой Дирихле ((5) и. 2.1.9), обозначая буквой з переменную интегрирования во вто- ром члене, полагая 1, а<з<4, х~" О(з)= О, 1<а<6 и используя равенство в в ) ) (г) 4 (г) = ~ 1 (г) р' (1) ог, (8) а а справедливое для абсолютно непрерывных функций [КФ, стр. 3591, преобразуем (6) к виду в~ в в ваяв 1Д,з~а)„~ ~~ ~~1н.~ ~„~,1 — )ф.драч)~.>и< а а и 1 в о в +) ~~~, сд~„,с1(з) п(з)Нз=) пЛ(з) т)(з)+~ от(з) т)(з)=О, а й=О Я И (9) где ° гв ' в Р Л (з) = ~ ~ ~ а (г) й — ~ г(т (1) Ь (1) + ~~', с,дг„, с„1 (п)1 с(п. а а ч з а Функция Л( ) абсолютно непрерывна на ~а, р) и Л(и) =О, следовательно, это каноническая функция, а так как т( ) — также каноническая функция ограниченной вариации, то иэ (9) и свойства единственности в теореме Рисса (п.
2.1.9) Л(з)+т (з) = О. Следовательно, т( ) абсолютно непрерывна, а ее производная р(з) = = т'(з) при а~Гз равна (снова используем (8)) р (з) = т' (з) = — Л' (з) = в в = — 1а(1) И+р)р(1)Ь(1)а — ~' с,2,„,щ(з). з о Из втой формулы видно, в свою очередь, что р( ° ) непрерывна всюду, кроме точек („, где справедливо (4), и что имеет место (2). Равенство р (1)) = 0 очевидно, а р(а)=0 эквивалентно (5), так что доказано и (3). ° 4.1.4. Вывод условий стациоиарности.
Итак, мы показали, что если $ доставляет локальный минимум в задаче (1) — (3) п. 4.1.1, то найдутся такие множители Лагранжа Х,)0, ХЕК ' и у»ЕС(Ь, К»)', что выполнены условия согласования знаков и дополняющей не- жесткости для Х и условия стационарности а) .У,<>=О, б) .У„<>=0, в) .У,,=О, Ь=О, 1, (1) где .У определяется равенством (6) п. 4.1 2, а .У,! и .Уж ~ и Уы получаются из У,! и .У»~ и .У~ подстановкой х ( ) =-. х (. ), и ( ) = й ( ), ! = 1, Ь = О, ! . Переходим к расшифровке условий (1).
При дифференцировании функции У мы будем иметь в виду, что первый и третий члены формулы (б) п. 4.1.2 образуют функционал Больца, производная которого дается формулой (3) того же пункта, а второй член является суперпозицией оператора дифференциальной связи и линейного отображения т!( ) — ~йт(!) ~!(!), и его производная Ь получается поэтому интегрированием формулы (4) п. 4.1.2 по Й (!). А) С т а ц и о н а р н о с т ь п о х ( ). Дифференцируя .У по х( ), получаем в соответствии с (1а), что при всех Ь( ) бС'(А, К") имеет место равенство г» О=У=.[) ~Ь( И= 1 ХЯ,„(!)Ь(!)а+ г»=а ь + ) ~Ь (!) (Ь(!) — у„(Г) Ь(!))+1,,Ь (1,) +!»Ь (1,).
(2) Ь Рассмотрим сначала случай 1, ) г,. Согласно обобщенной лемме Дюбуа-Реймона из (2) следует, что функция т ( ) абсолютно непрерывна на Ь, а ее производная р( )»» =»'( ) непрерывна на б всюду, кроме, быть может, тбчек !» и !о где она имеет пределы слева и справа, и выполняются соотношения (2) — (4) и. 4.1.3, которые ЗЗЗ применительно к нашей ситуации означают, что ~п ФФ ==р(()Чх(1)+Х~т ",~(1) 2~)Л'(() (3) при (чь1„1„р(а)=р(р)=0, где а и (1 — концы Ь, н что р К + О) — р Д вЂ” О) = 1... р (т, + О) — р К вЂ” О) = 1, (4) ,(здесь 7,7; — характеристическая функция, равная 1 на 11„(Д и 0 вне этого отрезка). Из уравнения (3) видно, что р( ) удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению на полуинтервалах (а, 1,) и (1„ Я.
Поскольку она обращается в нуль в концах а и этих полуинтервалов, по теореме единственности п. 2.5 3 р (1) = 0 на Л' ~~(„1Д и р (К, — 0) =- р (К, + 0) =- О. Обозначим теперь через р( ) решение уравнения (7а) п. 4.1.1, совпадающее на интервале (~„, 1,) с р(.) (в этом интервале уравнения (7а) п. 4.1.1 и (3) тождественны). Поскольку (7а) линейно, решение р( ) определено на всем Ь и принадлежит С'(Л, К"') (п. 2.5 4). Для этого решения р(1,)=р((,+0) и р(1,)=р(1„— 0), а так как р(1,— О) =0 н р(1, +0)=0, то (4) превращается в условие (8а) п. 4.1.1. Таким образом, для р( ) условия стационарности (7) и (8) (или (7а) и (8а)) из п.
4.!.1 справедливы. При 1, ~ Г, мы вместо (3) получим уравнение г(рФ = — р Я 'р Я вЂ” ~р, 71 Я Х 7 1;. (1). г=а решение р( ) которого равно нулю на ра, К,) и (К„Я. В этом случае надо обозначить через р( ) то решение уравнения (7а) п. 4.1.1, которое совпадает с ( — 1) р( ) на ((„~,), после чего условия (7), (8) п. 4.1.1 будут выполнены.
Наконец, при Г, = (, мы снова можем воспользоваться обобщенной леммой Дюбуа-реймона, 'йо теперь уже т'(г)=р(1)=0 всюду на Ь, кроме, быть может, точки 1, =-(„где должно еще выполняться условие р(С,+0) — рД вЂ” 0) =У„,.+У„,=О. Отсюда Х„,+Е„,= О, Беря 309 в качестве р( ) то решение уравнения (7а) п. 4.1.1, для которого р (1,)=1„„мы снова ~убеждаемся в том, что условия (?), (З) п.
4.1.1 выполнены. Б) Стадион ар ность по и( ). Дифференцируя .У по и(*) и учитывая, что т( ° ) абсолютно непрерывна, а ее производная р ( ) = т' ( ° ) отлична от нуля лишь в интервале (1„1,), а в этом интервале совпадает с р( ), имеем Так как это равенство имеет место при всех о(.) ~ ~С(Л, К"), то, снова сославшись на единственность в теореме Рисса (п. 2.1.9), мы получаем Х~А.(1) — р(1) р,(1)=О, что совпадает с уравнением (9а), а следовательно, и с условием (9) п.4.1.1.
В) Стационарность по 1„. Поскольку .У(х( ), й( ), 1„1,; ...) —.2'(х( ), и( ), 1„1,; ...) = =~дт(1) (х(1) — ~р(1, х(1), й(1)»вЂ” Ь вЂ” ~ р(1) (х(1) — ~р(1, х(1), й(г))) 01=в О, то производные этих двух функций по 1» в точке $=(х(.), й( ), 1„1,) совпадают, а так как имеет место равенство .9', = О, то выполняется и условие (10) п. 4.!.1.
4.1.5. Задача со старшими производными. Уравнение Эйлера в Пуассона. Снова зафиксируем замкнутый отрезок Л~ К и будем рассматривать пространство В,=С (Л, 1(")хКхв, элементами которого являются тройки $=(х( ° ), 1„1,), где функция х( ): Л вЂ” К' непрерывно днфференцируема до порядка з включительно; 1„1, Е 1п1Л. Говоря о задаче со старшими производными (в классическом вариационном исчислении), будем иметь в виду экстремальную 310 задачу У,($)- ех1г; У,($)~~0, 1=1, ..., т, где у, ($) = 1 1, (1, х (Г),, хьо я) Н+ и +ф,(т„х((„),, х"-"(1,), 1о х(1,),, х"-"(1,)) ~2) в пространстве Е,.
При этом в (1), (2) ),: 'е' й, ф,: Яг — -й, ~'=О, 1... т, 1/ и Ю' — открытые множества в пространствах Йх(й")'+' и ЙХ(й")'Мйх(й")' соответственно, ), и ф, по крайней мере непрерывны. Тройка я=(х( ), 1,. 1,)ЕБ, является допустимой в задаче (1), (2), если К х(1),, х'м(1))~Р, (~Ь и (йи х(1,), ..., х~ -п(1.), 1„х(1,), ..., х"-*>(1,))~йг. Допустимую тройку я = (х ( ), 1м 1,) мы называем 1локальпым) решением задачи (1), (2), если она доставляет функционалу У, локальный экстремум в пространстве Е„т.
е. если существует такое е > О, что для всех допустимых $=(х( ), 1„1,), для которых И вЂ” 61з, < е ее 1 à — Е ! С е, й = О, 1; 1х — х( )!~ю<а и ~ < е, выполняется одно из неравенств: УеД))РОД) в слу. чае минимума и У,($) (У,ф) в случае максимума. Покажем, что задача со старшими производными (1), (2) сводится к „задаче Лагранжа. С этой целью обозначим х=(х„..., х,) Е(йч)', х( )=(х( ), х( ), ...,х"-"( )), и( )=х"'( ), р( )=(р,( ), ..., р,( )). Тогда задача (1), (2) приобретает следующий стандарт- ный вид задачи п. 4.1.1: ~1о(1, х(1), иЯ) "1+Фе(т„х(1,) Г„х(1,))- ех1г, (1') ь ) 1, (1, х (1), и (1)) й( + ф (1„х (1,), 1„х (1,)) ~ ~О, ы 1=1, ..., т, (2') х =хе+„ /=1, ..., з — 1, х,=и (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
