В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Обозначим для краткости Р'(х) =Л, )1(х) =х,'. А) Рассмотрим отображение ~: о — Х' симплекса о= (Л, Л,)(Л,.) О, Х Л;=1, определяемое равенством г=о ср(Л, Л,) = ~~.", Л х',. Тогда а=о (у, Л, Л,)ЕРШ 2,'Л,х)+у оЛ= е=о ='Р(Л~ Ло)+Л'у =0~(р(Л, Ла) Е Е 1гп Л* => (Л, Л,) Е о, = ср-' (1щ Л'). По условию 1щЛ = У, а следовательно (п. 2.1.7), 1тЛ' = = (КегЛ)х и потому замкнут. Значит, а,— замкнутое подмножество компакта и само компакт. Заметим теперь, что КегЛ'=(0). Действительно: Ь' Е Кег Л' =!> <Л'Ь', х> = О, Ух ~ <Ь', Лх> = = О, Ух=;'>Ь Е (1т Л)~-=ой = О.
Так как замкнутое подпространство 1гп Л' банахова пространства само есть банахово пространство, по теореме Банаха существует обратное- к Л' отображение 290 Г: 1и Л' — 1'*. Теперь (д', Л, Л,) ЕРШ(Л, Л,) Еа„ ~р(Л, Л,)+Л'у'=-0<Э(Л, Л,) Еаг, д = — Гр(Л, Л). Следовательно, Р есть образ компакта а, прн непрерыв- ном отображении (Л, Л,)~-ь( — Г<р(Л, Л,), Л„Л,) н, зна- чат, является компактом. Непустота Р следует нз прннцнпа Лагранжа, дока- занного в 5 3.2. Выпуклость Р является очевидным след- ствнем условнй (1). Впрочем, ее можно вывести нз выпуклостн а н 1шЛ', заметив, что рассмотренные выше отображения были линейными. Зтнм закончено доказа- тельство утверждения а).
В) Как н в и. 3.3.1, заменим задачу с неравенствами задачей с равенствами Г(х)=шах(7о(х) — 1о(х), 7,(х),..., 1„(х)) 1п(; Р(х)=0. (3') Если х~ 1оси(ой, то хЕ 1оси(ой'. Действительно, х(1оси1по =:;>Уе ) О, Ихе: )!Хе х) '~ ~з~ Р(хо) = 0~,) (хо) ( 0=!> ~о (хе) ~ (р(х), 1~ (хо) ~ 0~ (=1, ..., и, Р(х,) =ОЬ!>х(1оси(ой. Далее исследуем задачу (3').
В) Пусть Ьо Е(.. Ввиду компактности Р найдутся та- кне (у', Л, Ло), что ° Ч'(М=-~..(х У', Л, Ло)1йо 3.2= шах .У„„(х, д', Л, Л,)(6„6,) = (о* м 7»)оо = так,Е~ Л,~7 (х) [Ь„Ь,1 + (У', Р" (х) ~Ь„Ь,)) ! Л,. ) О, Х Л,. = 1, ~ Л,х', +Л*д = 0 . =о ~=о Утверждение б) эквивалентно неравенству %'(6,) ) О. Предположим, что Ч~(ао) < О. Обозцачнв а,(Л) = — )";(х) (Ь„й,), 1= О, ...., и, д(Л)= 2 Р'(')И" М (4) 291 рассмотрим задачу щах (а (Л)+<х*;, х>)- 1п1; Лх+у(Л)=0.
(5) О<лат Проверим, что к этой задаче применима лемма о ми- нимаксе из и. 3.3.4. Действительно, аах <х~, х> ~ О, .Ух Е КегЛ О < л' < т — необходимое условие минимальности х в задаче (5) (лемма 1 п. 3.2.4). Кроме того, по условию оператор Л сюръективен. По лемме о минимаксе найдется элемент х,(Л), обла- дающий свойствами: юах (а,(Л)+<х), х,(Л)>)=Я(а(Л), у(Л)), (5) О<лтт где Я (а(Л), у(Л)) †значен задачи (5); '1х,(Л) /~. «'С;(юах)а;(Л) ~+)у(Л)11 (СЛ'. (7) При этом согласно (8) п. 3.3.4 Я(а(Л), у(Л)) = = — щах,~ ~ЛЯ(х) [Й„Й,)+<у', Р" (х)[Й„Й,1> Л,~О, Хтл,.-л, Ело,оло =о)-'-'О(ло.
ОвО Но тогда из (7) вытекает, что '1 ЛЙО+ хо (Л) 1=- 0 (Л). По формуле Тейлора (и. 2.2.5) Р(х+х,(Л)+ЛЙО)=Р(х)+Р',(х) х,(Л)+ + — Р (х) [ЛЙО+х, (Л), ЛЙО+х, (Л))+о (Л') =о ()[ ...()1+-,'Р"()[,(),,(Л)1+ + о (Л') = о (ЛО) (напомним, что Й,~Ь с КегР'(х) Р' (х) хо (Л) + (Л'л2) Р" (х) [Й„ЙО) = 0.) При доказательстве теоремы Люстерника в ц. 2.3.5 было построено отображение ф: У вЂ” Х окрестности (л' 3 х Ъ2 такое, что Р(х+~р(х))= — О и ()~р(х)!)(К)Р(х)!. Полагая г (Л) = ср (х+ х, (Л) + Лй,), имеем Р(х+хь (Л) +Лйь+ г (Л)) О !! г (Л) ~/ = К <! Р (х+ х, (Л) + Лй,) // = о (Л'). Но тогда, применяя формулу Тейлора к ), и используя (6) и (8), получим ) (х + хь (Л) + Лйь + г (Л)) = = тах (7, (х + х, (Л) + Лй, + г (Л)) — ), (х), [~(х+х,(Л)+Лй,'+г(Л)), 1=1, ° °, т)= тах «х";, х,(Л))+ — ");(х) [й„йД+о(Л*)) < оксан '~ < тах «х,", х,(Л))+ — 1)(х)[й„й,))+о(Л')= О~акпа ~ = — Чг(й,)+о(Л') < 0 при малых Л'.
Итак, Ч"(й,) <0~ х(!оспг!п3 =Ф х(1ост!п3. Противоречие доказывает теорему. ° 3.4.3. Достаточные условия экстремума для гладких задач с равенствами и неравенствами, Как и в предыдупгем пункте, исследуем задачу [,(х) — !п(; Р(х) =О, ),(х) =О. (3) Я„„(х, у', Л, 1)[й, й]) 2 ~!йР (2) 293 Т е о р е м а. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, () — открытое множество в -Х, х ~ У, функции ),: У 11, != О, 1, ..., т, и отображение Р; У вЂ” У вЂ” строго дифференщируемы в точке х (допустимой в (3)) и имеют в этой точке вторую производную Фреше, причем Г;(х) =О, (=1, ..., т.
Предположим, что существуют множители Лагранжа ЛЕ !с'"*, у" Е)" и число ы > 0 такие, что Л; ~ 0 .Я'„(х, у', Л, 1)=[ь(х)+ ~ ЛД(х)+Р' (х) у*=О (1) для любого Ь, лежащего в ноднространстве 7.=(Ь(<Д(х), Ь>=0, !)1, Р'(х)Й=О[. (3) Тогда х доставляет локальный минимум в задаче (а). Доказательство.
А) Пусть х+Ь вЂ” допустимый элемент, т. е. 1с(х+Ь) ~(0, ! ~ ~1, Р(х-(-Ь) = О. (4) Проведем двумя способами оценку величины [,(х 1-Й). Имеем гл [,.(х+Й)=~„(х+Й)-1- ~ )т[,(~+Йн+<у', Р(х+Й)> — ~ К~;(х+Й)- =.У(х+Й, у, Л, 1) — ~ ХД(х+Ь), (5) Первый способ оценки основан на прямом разложении: 1,(х+Й)=.У(х+Й, у', Х, 1) — Х Х,(,(х+Ь)= 1=! =.У(х, у', Х, 1)+.У„(х, у', Х, 1)[Ь)— Ш т — ~ Х!1!(х) — ~ <Хй",(х), Ь>+г,(Ь)= г=! !=! =(,(х) — ~~~~ ~<1,~;(х), Ь>+~,(Й); (6) где остаточный член г!(Ь) есть 0([Ь'1)'. Второй способ основан на том, что вследствие неравенств Х! >О, 7!(х+Й) ~О сумма ~ Х!1!(х+Ь)(0 ! ! и, следовательно, [,(х+Й)~).У(х+Й, у', Х, 1) = =.У(х, у', Л, 1)+.У„(х, у', Х, 1)[Ь[-(- +-,' У.. (х, у, л, 1) Р, Й[+е,(Й)= =!'ь(х)< В(Ь, Ь)+с!(Ь) (7) где через В (Ь, Ь) обозначена квадратичная форма —.К„„(х, у', Л, 1)(й, Ь(, а остаточный член г, (Ь)= о ДЬ!!').
Б) Обозначим через К конус, состоящий из тех Ь, для которых <Д(х), Ь>~~О, 1 1, Р'(х)Ь=О. В силу леммы Хоффмана произвольное Ь можно раз- ложить в сумму Ь,+Ь„где Ь,ЕК, а й, допускает оценку: !!Ь,!!(С, Х <Д(х), Ь>++/!Р'(х)й!! . (8) Воспользовавшись далее замечанием, сделанным в п. 3.3.4 после леммы Хоффмана, и формулой (5') п. 3.3.4 й, можно также разложить в сумму Ь,=й;+Ь;, где Ь; ~2, а Ь допускает оценку т ~л ~х~~~с,(д!а(»), в)!)-с,( — и<л~ь, ч>!. р~ Мы использовали то, что Р'(х)Ь,=О (ибо й,ЕК) и то, что ! <1;.
(х), Ь,> ! = ! <Д (х), Ь; + Ь,"> ! = ! <Г) (х), Ь,> ! = = — <);. (х), Ь",> (ибо <1";(х), Ь;>=О, а <1((х), Ь,> ~0). В) Из (4) получаем = Г (х + Ь) — ~ ( ) = Р (х) Ь+ г, (Ь), О));(х+Ь)=<Я(х),й>+р,(й), 1=1, ...,т, (10) где !!г,(Ь)(! и !р;(Ь) ! — величины порядка О(!!Ь!!').
Исполь- ° зуя эти оценки в (8),. находим, что если х+й — допу- стимый элемент, то ~й,(!.=:С, 2.,'!р,.(Ь)!+!/г,(й)/~ . (11) Фиксировав е, ~(0, 11, о величине которого мы по- заботимся далее, выберем бб(0, !(В!(-') так, чтобы из неравенства (!Ь!!(6 следовали бы неравенства ~В 1 Х(р;(Ь)(+ ХК(й)(!а е (Ь!! (! (Ь)!Ж ~(й!!' (12) Далее выберем число А ) 0 так, чтобы АС, (ш(п Л;) — С, шах (Л; (! Д (х) !! ) — 1 э О, (13) и, наконец, выберем величину е, так, чтобы для е= = (С,+А) з, выполнялись бы неравенства е < 1, а(1 — з)' — 2((В((е(1+а) — 1В((з7 — и(2) О, (14) Г) Завершение доказательства. Пусть х+ -(-Ь вЂ” допустимый элемент.
Представим й, как и в Б), в виде суммы Ь=й;+Й;+й,. Возможны два случая: а) 1ЙЦ) Аа,((й(( и б) ((й,"(<Аз,,'(Ь(( В случае а) имеем из (9) при ((й(( =б Аз,((й((<((й,"((<С, — Х (Д(х), Й > . (15) Тогда вследствие (6), (15), (11), (12) и (13) получаем 1,(х+Й) = ((М, (((Ь ((З) = ):, (х) — ~ (Х,~; (~), Ь;+ Ь,> + г, (Й) ~) )~,(х)+АС,' (ш(пХ,) а, ~/й/(— — шах (Е, (((;-(х) (() С,е, ((Ь(( — е, ((й((= ~, (х) + ( ((и -(- е,(/(й~', (АС (ш(п Х,') — С, шах (Л,(()'; (х)(() — 1) ) ), (х). / ь Пусть теперь имеет место случай б), Тогда ((й",) = <Ае,((й((, значит, в силу (11) и (12), если обозначить й,' = Ь; + й„то Щ = ) й", + й, ~ ( (А (- С,) а,!(Ь (~' = е (й ((.
Тогда Ь=й;-(-й;, где (1 — е)((Ь1=((й;~(~<(1+е)((й((. Теперь применим эти неравенства, а также (7), (2), (12) и-получаем (7) 1,(х+Ь))~о(х)+В(й й)+гв(й)= = 1, (х)+В Я+Ь„'Ь;+й)+г,(й) = (еь ((и =~,(х)+В(й;, Ь;)+2В(й;, й;)+В(Ь;, Й;)+г,(й) )~ >Ь(х)+(~(1 — )* — 26ВПе(1+а) — Ф(а' —,)!~Ч') Р, (х). Теорема доказана. ГЛАВА 1Ч ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА В ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Предмет этой главы ясен из ее заглавия.
Особое внимание мы уделяем, с одной стороны, выявлению сходства двух разновидностей теории, подчеркивая это единымн обозначениями, а с другой †выяснен различий в классической и современной постановках задач. Сначала мы рассмотрим необходимые условия в так называемой задаче Лагранжа. К этой задаче могут быть сведены многие остальные задачи классического вариационного исчисления. Затем будет выведен принцип максимума Понтрягина, являющийся одним из наиболее важных средств в современных задачах оптимального управления. Остальная часть главы посвящена более специальным классам задач и выводу следствий из общей теории. Менее подробно мы останавливаемся на рассмотрении достаточных условий экстремума, ограничиваясь только частными ситуациями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
