В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 47
Текст из файла (страница 47)
2.6.2). По теореме двойственности из п. 3.3.2 (напомним, что неравенства в задаче (18) отсутствуют) 5(а, у)= =вар(<г', (а, у)>+!и1[<г', Лг>+шах(т!„°, т),)Д, (!9) 1~ г Но г'Е(Р„'Х)')"=!!" ХР", т. е. г' представим в виде (и, у*), и=(и„..., а,) ~ й", у" Е)", так что <г', (а, у)) =аа+<у", у>, <г, Лг) = Х а (<х, х) — тй)+ <у, Лх). (20) т Согласно предложению 2 п. 2.6.3 преобразование Юн- га — Фенхеля функции 1(т)) = тах (и„..., !4) имеет вид 1'(а) =зцр(сс!1 — 1(т))) = О, если а!)~0,,'5',!х! 1, (21) ч !=! +оо в остальных случаях.
Теперь из (20) и (21) имеем 1п1(тах(т);! ..., з),)-1-(г*, Лг>)= — !( „- ° !„„.", „,! — (х;е!-л!', ))- (ч. я! 1 1=! О,если и!~~О, Хсс!=1, Л'у'+ ~а!х'; О, в=! ° ° ! ! — оо в остальных случаях. Подставляя это в (19), получаем (8). Д) Геометрическая лемма.-Пусть Т.— надпро- странство, а К вЂ” конечно порожденный конус в )с'.
Тогда- существует такое Ф > О, что для любого а С )с' р (О, (Е + а) П К1 ( Фр (О, Е + а) ~ У ) а ) (23) (формула остается справедливой и в случае (Л+ а) П К = Я, если мы условимся считать, что р(0, 8)= — оо). Доказательство. а) Пусть К=сапе(хг, ..., х ), Разложим каждый вектор на две компоненты — содержа- !цу!ося в подпространстве Е и ортогональную к нему: а=Ь+с, х!=у,+го ! =1, ..., т, Ь, у!ЕЕ, с, г!Е1Г-, Тогда р (О, (Е. -1- а) П К) = 1п1 (1$ Ц $ Е К, ($ — а) Е Ц т И =1п1(1 ~Р~Л!(у!+г!) ~Л!" О, .."., Л;(у!+г!) — Ь вЂ” с~А !~ ~=! 1! !=! (1п1~ ~~'.,'Л! !пах Цу!))+1с)1Л!)О, ч~'.',Л!г!=с . (24) 1с=» К!ко 1 ' ! ! С другой стороны, р (О, Е+ а) = 1п1 (! Ч+ а ~ ) Ч Е Ц = =\п1 (~ т) +с~) т) чЦ = ~с).
Уф~ь+)с('=~а). Поскольку Л, .) О, Д Л;г, = с сФ с б соне (г;, ..., г ), ! ! мы видим, что (23) будет следовать из (24), если для некоторого У! ) О с 6 сопе (го ..., г„) =Э ЭЛ! ) О, »» »» ~~~ ~Л,ге=с» ч~~ ~Л, 'Ф!)с~ (25) ! ! с=! (при этом в (23) мы будем иметь У=У, !пах (~у!Ц+1). ! < С ~юи б) Пусть Е!=11п(го ..., г ), 61шЕ!=и. Выделим всевозможные наборы индексов 1=11„..., !„), для которых (гп, ., г!„) — базис в Е! Каждому такому набору отвечает линеййое отображение Лр! К"- Ео определяемое в формулой Лрг= ~~~, 'хьг,„. Поскольку (г,,, ..., г!„) — базис в Е!, существует обратное отображение. По теореме Каратеодори (и. 2.6.1) каждый вектор сЕсопе(го ..., г„) является конической комбинацией не более чем л линейно независимых векторов г; с=Л! г; +... +а!»г!м Л,„» О, 8(~п.
Дополнив, если нужно, набор (г;,, ..., г!,) до базиса в Е, некоторыми векторами г, „, ..., гы и положив Л, =... — Лс„=О, мы видим, что с=!~!Л» Л=(Лп»» Лы)» Лю„~~б» ~=(1!» " » (в). Поэтому »» ~ Л;„(и/Л/ (п)Лу!Цс~(вшах ЦЛЕ!1) /с$. Этим доказано (25) для Ф! = и шах (1 Л! ! Ц. У Е) Завершение доказательства леммы о минимаксе.
Последнее, что осталось нам сделать,— полу. чнть оценку (9). Для этого вернемся к левой из задач (14). Элемент я =(ао ..., $,) является ее решением тогда н 'только тогда, когда $;+а;(В(а, у)+К, !'=1, ..., з, $ЯЕ (26) ФМ (поскольку Я (а, у)+ К вЂ” значение задачи, по крайней мере для одного индекса здесь будет иметь место равенство). Вспоминая определение а; в п, В) и обозначая а=(а„..., а,), где ас=ас — Я(а, у) — К=ас+<хс, М( — у)> — Я(а, у), (27) переписываем (26) в виде 3с+ас(0. Таким образом$ — решение(14)<э$+а ~ (1,-(-а) с1 ( 11,).
Поэтому 1п1 Ц я+а/) $ решение (14))=р (О, (А+а) П( — ~')). Поскольку — 1т' =сапе( — ес, ..., — е,) — конечно порожденный конус, правая часть по геометрической лемме и. Д) не превосходит Ур(0, »,+а) ~ с»'!а!. Следовательно, ш( Д 5 + а) ! $ решение (14) ) ( Ас ) а ), и так как !3)~~|В+а~+)а), (п(Ц$) $$ решение (14)) ((с»с'+1) $,а$. Если а~О, то (Ас+1))а(<(У+2)~а), и среди решений задачи (14) мы можем выбрать такое, обозначим его $, у которого ~ $ ) ~~ (сУ+ 2) ) а ~.
(28) Если а=О, то 3=0 решение и (28) снова верно. Воспользовавшись формулой (18), находим по я элемент х=х(а, у). При его оценке учитываем неравенства '1М( — у))) ~~С»'1у(, '1р(я) )~(С» ~ В ! (29) (ср. определение правых обратных отображений М и )с в пункте А)) и (»»с ~а)=~ ~ас) )с з шах((а, (, ...„)а,'Ц ()/ е1 свах ()ас!+'1х,'1С»'1у1)+~Я(а, у)Ц( с сс<» (~' з Ца/+С» свах 1х';('1у1+)5(а, у)Д, (30) ссс<» а также оценку (13): „)55) (х(а, у)11) ~ь С11у1+С5~5~(С11у(+С5(0+2)1а)( (С1 (1+С5 (0+ 2))~з )пах 1хг 1)1у(+ 1К)К5 + С,(0+2))~ в ()а)+~5(а, у) !) (С,(1+)/ в тах (х7!)2С,(У+2))1у1+ 1К1~5 + 2С5 (Ж + 2) )/ в ) а ~. Поэтому верно (9) с константами С = п)ах(С1(!+С,(0+2)): в п)ах '1х)(, С5(0+2))5 з), !К1К5 С = тах (С, (1+ )/ в т ах ( х) ) 2 С, (М+ 2)), 1ч)~5 2С, (М + 2))~ в). 9 3.4".
Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в гладких задачах Снова разберем сначала случай, когда неравенства отсутствуют. 3.4.1. Гладкие задачи с равенствами, Рассмотрим задачу Г (х) ех1г; Р (х) = О. (1) Теорема 1 (необходимые условия второго пор ядк а). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, У— открытое множество в Х, функция 1: У Н и отображение р: У вЂ”,У строго дифференцируемы в точке хи Ц и имеют в втой точке х вторую производную Фреше. Если х доставляет локальный минимум (максимум) в задаче (1) и если Р регулярно вточкех(т.
е. 1т г'(х) = 1'), то существует множитель Лагранжа у'Е)'5 такой, что Я„(х, у', 1) =О, (2) Я„„(х, у', 1)(Ь, 61~0((0), УЙЕКегр'(х), (3) где .У(х, у", 1)=)(х)+<у5, р(х)>. Доказательство. Равенство (2) было доказано в и. 3.2.2. Далее разбираем случай хс1ост(п (1). Пусть йЕКегр'(х). Согласно теореме Люстерника (и, 2.3.5) Мт Ь~ Т,-ь(1, где ыб= (х~Р(х) = О), т. е. существует отображение г( ): 1 — е, е|- ыб такое, что Р(х+(Ь+гЯ) =О, г(1) =о(() ЕЕà — е в) (4) В силу (4) х+(Ь+г(1) — допустимый элемент в задаче при 16 1 — а, е1 и, следовательно, 1(х) (~(х+(Ь+г(1)), ибо х~ 1осщ(п (1).
Поэтому ~(х) ~ ~ (х+ ГЬ+г (1)) = Я (х+ (Ь+г(Г), рь, 1) =ь =.Ы'(х, у*, 1)+2'„(х, у', 1))(Ь+г(())+ + —.2'„„(х, у', 1)1(Ь+г (Г), (Ь+г(1)1+о((*) =1(х)+ —.У„„(х, у', 1) 1Ь, Ь1+о((ь). Отсюда немедленно следует (3). ° Теорема 2 (достаточное условие миним ума). Пусть выполнены условия предыдуи(ей теоремы и, кроме того, для некоторого и > О выполнено неравенство .У„„(х, у', 1)(Ь, Ь1=»2а)'ЬР, уЬЕКегР'(х). (5) Тогда х есть точка локального минимума в задаче (1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности можно считать, что Г(х) =О. Обозначим через В(Ь„Ь,) билинейную форму — 2'„„(х, у', 1)1Ь„Ь,1. По теореме о смешанных производных (п. 2.2.5)  — непрерывная симметричная билинейная форма. Выберем е > О так, чтобы ф(в) =ы(1 — е)' — 21В1(1+е) е — 1В1еь — "> О (5) ,(поскольку ~(О) =и/2 > О, это сделать можно).
Функции Р н .У (-, у', 1) по условию имеют в точке х вторые производные Фреше по х. Воспользовавшись формулой Тейлора (теорема 2 и. 2.2.5) и учтя, что Р(х) = О, Я(х, у', 1) =О, .Я'„(х, у', 1) =О, Найдем такое б, > О, чтобы прн '1Ь(<.б, выполнялись неравенства ~ Р (х+Ь) — Р' (х) Ь 1=1 Р(х+Ь) — Р (х) — Р' (х) Ы~ ~~С,(!Ь)', ~Я'(х+Ь, у', 1) — В(Ь, Ь)~ь~-"'1Ь'1ь.
Применяя лемму нз п. 2.1.5, построим правое обратное к Р'(х) отображение М: У'- Х, Р'(х)оМ=7, !!М(у)!!( (С!!у!!. Па выбранному ранее е > 0 подберем б, 0 < Ь < Ь„ так„чтобы ЬСС, < е. (8) Пусть теперь !!Ь!! < б н х,+й — допустимый элемент в задаче, т. е, Р(х+й)=0 Положим Ь,=.М(Р'(х)й) и обозначим через Ь, разность Ь вЂ” й,. Тогда из оценки для М(у), (7) н (8) имеем !!й,!!(С!!Р'(х)й!!~~СС,!!й!~'< е!!й!!, (9) Р' (х) й, = Р' (х) (Ь вЂ” й,) = Р' (х) й — Р' (х) М (Р' (х) й)) = О. Таким образам, й, Е Кег Р' (х).
Из (9) вытекает, что (1 — е)!!й!! -!!й,!!~((1+е)~!й~~. В итоге получаем, учитывая (6), (5) н (7): 1(х+й) =,Я'(х+й, у', 1))В(Ь, й) — фй!!ь = =В(й,+Ь„й,+Ь,) — ф.!ЬР» 2 В(Ь„Ь1) — 2((ВП!Ьлйз( — 1В!!!!М' — Фй!!'» ' > (и(1 — е)' — 2!(В(/(1+е) е — !(В//е' — -") !/й!!' > О, т. е. хЕ 1ост(п(1).
° 3.4.2, Гладкие задачи с равенствами н неравенствами †необходим условна второго порядка, Рассмотрим задачу: ~,(х) — 1п(, Р (х) = О, ~,(х) ( О, 1 = 1, ..., т. (Ь) Меняя если нужно, знаки функций мы можем свести к (Ь) любую задачу из $ 3.2. Функция Лагранжа задачи (Ь) имеет вид д(,, „., Ь, Ь)=ХЛА()+<у °, Р()у Т е а р е м а. Пусть Х, У вЂ” банаховм простртгства, (7 — открытое множеспгво в Х, х Е У, функции 1,: У вЂ” й, 1=0, 1, ..., т и отображение Р: У- 'г' строго дифференцируемы в точке х, имеют в втой точке вторую производную Фрегие и, кроме того, 1, (х) = О, 1= 1, ..., т. 1о в, м.
Алексеев ь лР. аав Если х доставляет локальный минимум в задаче (Х), и если с" регулярно в точке х (т. е. 1тг"'(х) =-У), то: а) множество Р множителей Лагранжа (у', Л, Л,), у'Е)"* ЛЕ 11 ", Л, таких, что Л,~О, Л,.~О, ХЛ,.=1, и=в .У„(х, у*, Л, Л,) =0 является непустым выпуклым компактом в У'х 11 "х К; б) для любого Ь„лежащего в подпространстве 7.=(й(<Д(х), й>=0, 1)0, Р'(х)Ь=О), (2) найдутся такие множители Лагранжа (у" (Ь,), Л(й,), Ль(йь)) ЕР, что .У,„(х, у'(Ь,), Л(й,), Л,(й„))1Ь~ Ь,()0. (3) Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
