В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Тогда всякий элемент х,", из сопряженного конуса К'=(х" (<х', х>~вО, х~К) допускает представление в виде — )р,"+Л у !=! для некоторых к!) О и у*~ 1". Доказательство. А) Обозначим Е= () Кегх,', гга Я=КегЛ/(., и пусть и: КегЛ- Š— естественная проекция, отображающая х Е Кег Л в класс и (х) ~ Л, его содержащий. Покажем, что б(гп 2 (3+ 1. Действительно, пусть г„..., г,+,— произвольные элементы из Л, г, = п(х,). Однородная линейная система в+1 уравнений а+! 5+1 ,~ Я<х'„х >Л~ — — (х,"! ~~.'~ ~)~уху )=О, !=0, 1, ..., в, !=в рго с (в+2) неизвестным имеет ненулевое решение Х„..., 1;+!.
Тогда з+1 х=,~ЯХ~х~ЕКегхг, ! ° О, ..., в,я!ьх~Е=ФО=п(х) ! !=о в+! $в! = д ц~(х!) =д у!, ~г. рьа !=в Следовательно, любые в+2 элементов из Я линейно за! и й=б!юг~в+1. Б) Выбрав в Я некоторый базис 1„..., 1, установим стандартный 'изоморфизм между Я и !те и между ,Е' и 11е' =,Х, Иг-К„"., ~,), л <в' г>' Х <г' !!г>1!~ !=! =ох' (Ы М) =(<г' У!» <г * Уе>).
Ж7 Далее, определим функционалы гс" ЕЯ', с=О, 1, ..., з, равенствами <гс, п(х)> = <х,", х> и рассмотрим в Я' выпуклый конус К=соне(г,', ..., г,') = г'~ ~~'.с Хсг,*, Хс)~0 ~Г=1 Поскольку Я' конечиомерно, а конус К конечно порожден, то по лемме нз п. 3.3.3 он и замкнут. Предположим, что — г,'(К. Тогда по второй теореме отделимости (и. 2,!А) существует линейный функционал 1~(Я')', строго разделяющий ( — г;) и К: <1, — г,'> ) зцр (<1, г'> ~ г' ~ К)=зцр ~ Хс <1, г;> ()сс)0 .
с,с=! Но тогда обязательно <1, гс>(0 (иначе зцр=+ оо), 0 = зцр (<1, г'> ~ г' Е К) и <1, го > < О. Теперь заметим, что 1, как и всякий линейный функционал на конечномерном пространстве г,', задается линейной формой и <1, г*>= ~~Р ~асс= ~ а;<г',1с>=(г', ~ ас1с~=<г', а>. с=! с ! с=! 4 Выбрав в классе а= ~~~~ ~асс!ЕЛ= КегЛ/С представителя с=! х,ЕКегЛ, а=а(х,) имеем, с одной стороны, <хс, х,>=<г,', п(х,)>=<г;, а>=<1, гс>(0 и, следовательно, х, ЕКегЛ() () (х(<х,', х>(0)=К. с=! С другой стороны, <х,', х,>=<г'„п(х,)>=<г,', а>= <1, г,> с. 0 и, следовательно, х',(К' вопреки условию леммы.
Таким образом, предположение — г,'(К приводит 5 к противоречию, и потому — г,'= ~~р ~Хсгс' для некоторых с 278 В) Для любого хЕ КегЛ (х',+ ~ Х;х,", х)=(г,"+ ~ Х;г,', п(х))=0. если Б);ЕО, у*6)". х'= Х д;х~+Л'у, с=~ Поэтому х",+ Х ачх',Е(КегЛ)1., и по лемме об ядре рес гулярного оператора (п. 2.1.7) х,"+,3 дгх~ — — Л'( — у") к=1 для некоторого у' Е 1". ° Лемма Хоффмана. Пусть выполнены те же условия, что и в лемме о сопряженном конусе. Топ)а для функции расстояния от точки х до К справедливо неравенство р(х, К) ч С ~в~~ (хч", х>~+1Лх1, (5) еде <х,", х>+ равно <х;, х>, если <х;. х>»0, и нулю в ос- тальных случаях, а константа С не зависит от х. Доказательство. Множество К, являющееся пересечением конечного числа полупространств н под- пространства,— выпуклый конус в Х.
Вычислим его опорную функцию вК. Пусть х'ЕХ'. Возможно одно из двуж либо найдется такой элемент х, б К, что (х', х,> ) О, либо <х', х>(О, УхЕК. В первом случае вК(х')» »1(х*, х> У1~ Й+ и, значит, вК(х')=-)- оо. Во втором случае ( — 1) х' принадлежит сопряженному конусу конуса К и, значит, по предыдущей лемме х'= ~ч1, 'Х,х,'+Л'у*, Л,»0, у'~У'. Итак, С=1 еК(х') = ° ° + оо в остальных случаях. Применив теперь формулу (4) (теорему двойственно- сти) к нашей задаче, получаем р(х, К)= =зцР(<х",х>~х =ХХ,х,'+Л'у, Л;»0,1х ~1~1).
(Е) Подпространство Е= Нп(х,', ..., х,')-~-1ш Л' является суммой замкнутого подпространства 1., =1ш Л* (нбо 279 1ш Л' (КегЛ)~, а аннулятор всегда замкнут) и конечномерного подпространства Е, = (х!", ..., хД. Поэтому Ь замкнуто в Х (докажите)) и, следовательно, банахово. Оператор Ле! й'х)" — Е, Л;(Л, у)='~,'Л!х,'+Л'у' ли!=! неен, непрерывен и отображает 11';<У' на баиахово пространство Е. По лемме о правом обратном отображении (и. 2.1.5) существует отображение М,: Е- й'х У' такое, что ЛеоМ!=7м !!М,х'1(С!!х'!!.
Тогда, если !!х'!!а 1, то !!М!х')!» кг = ~ ! Л! !+)!у'!! (С. Таким образом, в вы!=! ражении (6) можно считать, что О -Л,(С, !!у'!!~С, откуда и получаем Б(х)=р(х, К)( ь < Р((вх<~-Аи, ))о<к,.<с. !д !<е)< (С Х <хо х>++!!Лх!! . ° Заметим, что если конус К задается лишь равенствами К=(х! <х!, х> =О, Лх=О) (т.
е. является подпространством), то он допускает опре- деление и через неравенства К = (х ! <х!, х> ( О, <( — 1) х !. х> ( О, Лх = О). Применив лемму Хоффмана, получаем и в этом случае, что р(х, К)(С ~~.','!<х'„х>!+!!Лх!! .
(5') Лемма о минимаксе. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Л: Х вЂ” У вЂ” сюръективный оператор, х,"~Х', !'=1, ..., з, а=(а„.... а,). Определим функцию 5! К'ХУ вЂ” (с равенством 5(а, у)= ш1 шах (а,+<х,', х>). (7) Алев в !<к<! Если щах <х;, х>,в О для любого х Е Кег Л, то имеет !~2~5 место следующая формула двойственности: Е (а, у) = зцр ~~~~ ~а,а!+ <у', у> Ц а! ~э О, !.Н= ! в 3 ~и!=1, Л'у'+ ~и!х!' — — 0 . (8) 1=! ю=! При атом 1п1 в (7) достигается на некотором (быть может, не единственном) х = х(а, у), и существуют такие С) О, С ) О, не зависящие от а, у, что ори подходящем выборе х(а, у) Цх(а, у)Ц СЦВ(а, у)$+$аЦ+ЦуЦ)~(С(/а$+ЦуЦ). (9) Доказательство. Существование минимума в (7), выпуклость Я и формулу (8) мы докажем редукцией к двум стандартным задачам, рассмотренным выше.
А) В с п о м о г а т е л ь н ы е о т о б р а ж е н и я. Нам придется дважды воспользоваться леммой о правом об- атном отображении (п. 2.1 б). Во-первых, существует : У- Х такое, что ЛоМ=7, ЦМ(у)Ца С!ЦуЦ. Во-вто- рых, пусть !р: Х вЂ” 11' онределяегся равенством !р(х) = =(<х'„х>, ..., <х'„х>). Обозначим ь=!р(КегЛ).
По той же лемме существует отображение р: Ь- КегЛ такое, что <р о р, = 1, Ц р ($) Ц ~( С, ( $ ~. Далее, как и всякое подпространство в й', Е может быть задано некоторой системой линейных уравнений ХЬ!Д=О, 1=1, ..., р, нли при помощи отображения ! 5~ Й й и ~х6,~$~) у~~ ~я 0 х!=! Б) Ограниченность 3(а, у). Поскольку Ах+у=Очах=М( — у)+х„х, ЕКегЛх~а!+<х,', х> = =а,+<х;, М( — у)>-)-<х!, х,>, (10) то, полагая, х, =О, мы получаем, с одной стороны, на. равенство 1п1 шах (а,+<хо х>) ~~ ак+е ь ! « !се щах Яа! (+С!Цх! ЦЦуЦЦ ° К, (11) ! с!<! Ж а, с другой стороны, при Лх+у=О, согласно (10), шах (а;+<х;, х>)) ш!п (а; — С,/~х1Ду//)% — К, (12) 1~1~5 1~5~5 так как по условию 1пах (<х'„х,>) ) 0 (х, б КегЛ).
Из ! С5~5 (!1) и (12) следует оценка !Я(а, у)! К= шах (!а1!+С1)х',Цу(!). (13) 1~5~5 В) Существован ие минимума. Обозначив а1 а,+<х'„М( — у)>-1-К и вспоминая, что х, ЕКегЛчв(<х'„х5>, ..., <х'„х,>) = =1р(х5)65 =5р(КегЛ)=Кегр, мы видим из'(10) и (7), что В(а, у)+К является значением задачи шах (а1 + $1) — ! п(; $ Е Ь ФВ с — 1п1; а, + а1 < с, Я = О. (14) В силу (13) В(а, у)+К) О, и потому к (14) можно безболезненно присоединитэ1 условие с) О. Задачу (14) можно привести к стандартному виду задачи линейного программирования (2) п. 3.3.3) в 11 '".
1хля этого обозначим г, =с, г, =с — $1 — а,, г =(г„..., г,), 6=(1, ..., 1), а=(а„..., а,), г=(г„г). Условие Я=О записывается в виде Я = 0 <:э р (сй — г — а) = срб — рг — ))а = 0 <=> Вг ~ Ь, где — матрица порядка 2рх(з+1) и 2р-мерный вектор (фактически мы заменили равенство Я=О двумя неравенствами Я)0 н Я(0). Поэтому задача (14) эквивалентна задаче г — !п1, Вг ь6, г)0„ (15) имеющей стандартный вид. Эта задача совместна (например, вектор (2К, 2К вЂ” а„..., 2К вЂ” а,) допустимый; соответствующее 3 =0ЕЬ и ее значение Я(а, у)+К конечно (и даже неотрицательно). По теореме существования из п. 3.3.3 она имеет решение г.
Следовательно, задача (14) имеет решение $ = (5 (а, у) + К) 8 — г — а, и тогда 5(а, у)+К= шах (ат+$т) = т~т~~ = шах (а;+<х,', М( — у)>+$т)+К 1~т~в 8(а, у) = шах (а;+ <х;, х)), ~~т<я где, согласно (! О) и определению отображения р: Ь- КегЛ, х=М( — у)+ря (16) Г) Выпуклость 3 и теорема двойственно- сти.
Функция (а, у)т-е8(а, у) является Я-функцией сле- дующей задачи выпуклого программирования: шах(т);, ..., т1,) !п1, — т!т+<х,'., х>+а,=О, Лх+ у =' О. (17) Полагая 2= 11'ХХ, )'=й'Х)', г=(т1, х), 1,(г)=шах(т!о ..., т!,), Лг = (<х'„х) — т!„..., <х'„х> — т!„Лх), приведем (17) к стандартному виду ((х) в п. 3,3.2): 1т(г)-!п1, Лг+(а, у)=О. (18) Следовательно, функция (п„у)~-эЗ(а, у) выпукла (следствие!1 п. 3.3.2). Согласно (13) она ограничена, а потому и непрерывна на всем пространстве У (предложение 3 п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
