В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 57
Текст из файла (страница 57)
202), изометрический изоморфизм между Е,(й)' и Е„(Л) (а, значит, и полнота последнего) 14, стр. 3141. О п р е деле н и е 2. Пусть Х вЂ” линейное пространство, А <= Х. Точка х множества А называется его крайней точкой, если х=ахт+(1 — а)х„О(а<1, хт, х,ЕА=Фх,=х,. Упражнение !. Докажите, что по крайней-мере одна из точек хь ..., ль является крайней дли ил выпуклой оболочки вопч (хт..., хн). Теорема Крейна — Мильмана. Компактное выпуклое подмножество локально выпуклого линейного топо- логического пространства Х содержит по крайней мере одну крайнюю точку и совпадает с выпуклой замкнутой оболочкой своих крайних точек. Доказательство этой теоремы см.
14, стр. 4771. Перейдем теперь к основной теореме этого пункта.' Теорема А. А. Ляпунова. Если р: А — 11", р( ) =(р,( ),..., р, (.)) — интегрируемая векторнаяфункция, то множество М = ( х б К" ( х = ~ р (1) йг, А ~ Ч является вьтуклым компактом в )ть, (Напомним, что Я— это о-алгебра множеств, измеримых по Лебегу) 35! Д о к а з а т е л ь с т в о А) Рассмотрим отображение Л: ь„(Л) — К", определяемое равенством Оно линейно, и. кроме того, оно непрерывно относи- тельно е-слабой топологии в Е„(Л) (по определению эта топология слабейшая из тех, в которых все отображения ф(.)» ъ(ф( ), р( )), р( ) ЕЕг(Л) непрерывны). Множество )Р=-(ф(.)ЕЬ„(Л)~О<ф(Г)~1, (ЕД) является замкнутым шаром в Е (Л) (радиуса 1д и с центром в точке»р( ), ф(()=1/2). Следовательно, оно выпукло и, согласно предложению 1, компактно в»»-сла- бой топологии.
Поэтому его линейный и .непрерывный образ Л)(Г также является выпуклым н компактным. Характеристическая функция 1, (ЕА, ХА( ) ) 11 ~(А любого множества А ~ Б, очевидно, принадлежит Я7, а потому ~ Р(1)"1= ~ Хл(1) Р(1)ПГ=Л(Хх(.)) ЕЛ)(у» А Ь и, следовательно, М <= Л%'. Остается доказать, что М = ЛВ'. Б) Пусть точка АБЕЛ%'.
Ее прообраз (рг=Ф'() Л '($) является пересечением выпуклого и компактного в е-сла- бой топологии множества 1(У и замкнутого в той же то- пологии (поскольку Л относительно иее непрерывно) выпуклого множества (аффинного многообразия) Л-»($). Следовательно, ЧГх выпукло и компактно и по теореме Крейна — Мильмана имеет крайнюю точку х(. ) Е В'х. Если мы докажем, что х( ) является характеристи- ческой функцией некоторого множества А Е~т., то тогда $= ~ х(») р(») г(( = ~ р(г) ог ЕМ Ь А и теорема будет доказана. «ав В) Если О~х(1) ~1 и х( ° ) не является характеристической функцией„то для некоторого е) О множество В,=(11е -х(1) ~1 — е) имеет положительную меру.
Функция ае-ьт(а) т((1„а) ПВ,1 непрерывна и изменяется от О=т(1е) до т(В,)=т(1,) (т(В) — мера Лебега МНОжЕСтВа В). ЗадаВ ПрОИЗВОЛЬИО )У, ВЫбЕрЕМ але й =1, ..., У вЂ” 1 так, чтобы т(ае)=й!Увв. Этим определяется разбиение В,=В,()... () ВАс множества В, на У попарно непересекающихся подмножеств В,-( —, а,(ПВ„., В„=(а,, ав)ПВ„... ..., В„, (а, „со)ПВе положительной меры, Положим теперь ( ум гчв~ у(')='( о, 1(в..
(3) При се' ) и однородная линейная система ) у (1) р (1) с(1 —,~ ~ув ~ р~(1) Ш вЂ” О Ь ВА имеет ненулевое решение (у„..., улс). Соответствующую функцию (3) обозначим у( ). Если О (Х ~ е шах(1удЦ ', то (че, 1ЕВ„ ~ У("~'( =О, 1(В„ и потому х( ° ) ~ Ау( ° )ЕФ'. При этом Л(х( ) ~Ху( ))=Л(х( ))~)сЛу( )= = В ~ 2. $ у(8) р (г) (1 3. Ь Следовательно, х ( ) ~ Ху ( ) Е 1у1, и так как Х чь О, то х( — не крайняя точка. аким образом, х( ) — характеристическая функция и теорема доказана.
° 4.3.3. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач. В этом пункте Л вЂ фиксированн промежуток числовой прямой (конечный или бесконечный), П вЂ некотор топо- логическое пространство. Лемма о суперпозицион ной измери мости. Если функция (: Лх П й непрерывно, а и: Л 0 12 Е. М.
Алексеев в Ар, абз измерима (е смысле определения и. 4.2.6), то и функция 1~-ю )'(1, и(1)) измерима. Доказательство. Пусть А„а Л выбраны так, что т (о~; 11 А„) 0 (т — мера Лебега) и ограничения и( ) (л„ л могут быть продолжены до непрерывных функций на А„. Тогда и функции 1 +1(1, и(1)), 1Е А„, могут быть продолжены до непрерывных на А„. ° Пусть теперь заданы непрерывные функции ~,: Ьх хП К. Обозначим через сй совокупность измеримых отображений и: б — П, для которых суперпознцни 1~-ь~,(1, и(1)) не только измеримы, но и интегрируемы на б, так что на Я определены функции и ( )— — ~ 6(1.
и(1)) й( Ь С другой стороны,, пусть Х вЂ” линейное пространство, функции у,: Х К вЂ” выпуклые для 1=0, 1, ..., т' и аффннные с конечными значениями для 1= и'+1, ..., т, А ~ Х вЂ” выпуклое подмножество. Экстремальную задачу 3Г,(и( ° ))+й,(х) ~1,(1, и(1))й(+у,(х) 1п1, Ь 3Г,(и( ° ))+д,(х)= (1) - )г ~, (1, и (Ю)) й( + у, (х) ~ ' Ь 1 =О, 1=т+1, ..., т, хЕА, и(.)~Я мы будем называть ляпунсвской задачей. В качестве частного случая ляпуновская задача включает в себя стандартную задачу выпуклого программирования, изученную нами в и.
1.3.3 (надо положить т'=т и ~,=0), н мы увидим далее, что теорема Ляпунова позволяет распространить на рассматриваемую здесь более общую ситуацию рассуждения, прн помощи которых была доказана 'теорема Куна — Таккера. Функция Я (и ( ° )> х, Х, Х,) = ~ ).; ((Г, (и ( )) +у, (х)) (2) г=о называется функцией Лагранжа задачи (1). Теорема (принцип Лагранжа для лялуновской зада чй). Пусть функции ~р бхай К' 364 непрерывны, д,: Х % вып))клые для ( О, 1, .... т' и а4финные конечныедля(=т +1...,, т, А с Х выпукло.
1. Если пара (и( ), х) является решением задачи (1), то найдутся вектор 1 =(Ло ..., к ) ~ К ' и число к„ не равные одновременно нулю и такие, что: а) |п1п ~", ХД(), и) ~ Х,(8, й(1)) почти всюду, (3) »в у о о с о ~» м ю1п Х ).;у,(х) Х Х,у,(х) (4) »лс о ! о (принцип минимума); б) Х;~~О, 1=0, 1, ..., т' (5) (условие согласования знаков); в) Х~(4Г~(й(;))+у~(х)) О, !-1, . „т (б) (условия дополняющей нгжесткости). 2.
Если (й( ° ), х) бЯХ А и существуют такие к ай"'* и лч > О, опо выполняются условия (3) — (6), то (й ( ), х)— решение задачи (1). Доказательство. А) Лемма о выпуклости о б р а з а. Образ 11пК=($=($„..., $„)!Во=К,(и( )), и( ) ~%) отображения и( ) ~У (и( ))=(У,(и( ), ..., У (и( )) является выпуклым множеством в К'"+'. Доказательство. Пусть Р = (Ы Ы. ° В) = У' (иоо ( )), д = 1, 2 Функция р( )=(р,( ), ..., р„,( )): )с — К"+', определяемая равенствамй 6И ип'И)) — )о(1 и'м(Е)) Ебб О, 1(Л ннтегрируема, поскольку и'ю( ) ~%. По теореме Ляпунова множество М=~$~$=~р())й1, -АЕЖ~ л выпукло, н так как атому множеству принадлежат точки 0 (А=8) и $' — в» (А=А), то для любого аЕ10, 1) !2» авв существуют такие АйЕФ (т.
е. измеримые по Лебегу), а(И вЂ” 0)- = $ р,(1)Й= $ [Гт(1, иа'(И)) — Рс(1, им'(г)))с(1- Яи йапй (с (1, ив'(1)) Й+ ) ~, (Г, и"'(г))сИ вЂ” ц„ Айой йчлй откуда ~с(1, иа'(1))с(1+ ~ (с((, им'(1))Ш ла и й й,л„ =с4)+(1 — сс) $) ( О 1 т (7) Положим теперь ) ио>(1), ГЕ А (1Л, ии1 (1) Тогда в силу (7) У с (и„( ° )) = с4', + (1 — а) $*„ так что К(и,„( ))=а$'Ф(1 — а)$'. ° Б) Существование множителей Лагранжа. Как уже было сказано, наши рассуждения будут парал- лельны доказательству теоремы Куна — Таккера из и 1.3.3. По условию пара (й( ° ), х) — решение задачи (1).
Не ограничивая общности, можно считать, что К,(и( ))+ + и, (х) — О (в противном случае можно вычесть из К, +д, эту константу). Докажем, что множество С=(сс=(сс„..., а„) !Б(и(.), х) ЕЯхА, 'г„(и ( ' )) + йй (х) ( ао, Кс (й (' )) + дс (х) (» ао (=1, ..., т', К,(и( ))+д,(х)=аи Е=т'+1, ..., т) (8) выпукло.
Действительно, пусть ай= (а"„..., с4) Е С, /г=1, 2, Оч,В(1, (и'"'( ° ), хсм) — такие элементы из Ях А, что 1г,(и'Ц ))+п,(хиз) (а"„ у, (имя ( )) + иг (х'"') По лемме о выйуклостн образа существует функция ие ( ) Е Я такая, что 'Гс(ие(')) '8!Ге(иц'( ))+(1 — 8)К (ио>(.)), !0,1,...,т. КРоме того, хе=8х"'+(1 — 8)хна~А ввиду выпуклости А н йе(хе) (7~(Охеп+(1 — 8)х'е1) Ои (хц')-! (1 8)у (хун) для 1=т' + 1, ..., т, поскольку зтн функцнн аффин- ные. Следовательно, У е(ие('))+Ос(хе) =8»(Г~(ин'( ° ))+дг(х11)1+(! — 8) ~У р(и"'( ))+и~(хце)1* =Оа»+(1 — 8)а'„! т'+1, ..., т.
Далее, д,— выпуклая функция, н Потому !Ге(ие( ))+ае(хе)= =81Г,(исо( ))+(1 — 8)ег,(ин>( ))+и,(8х"'+(1 — 8)ха)~ <8((Г,(иц>( ))+и,(х"'))+(1 — 8) (У,(и м( ))+и,(х" ))< <8„+(! 8) ~. Аналогично доказывается, что 1Г (ие( ))+О7(хе) ~Оа)+(1 — 8)а~, 1=1, ..., т'. Но тогда нз определения множества С видно, что 8а'+ +(1 — О)аеЕС, т. е. С выпукло. Полагая в (8) (й( ), х) = (й( ), х), получаем включение Сэ(а (а„..., а„)»а >О, а,)0, ! 1, ..., т', а, О, (=т'+1, ..., т».
(9) В частности, С непусто. Кроме того, 0(С, так как в противном случае, согласно (8), Т,(и( ° ))+д,(х) <О, (Г~(и( ))+д,(х)<0, 1=1, ..., т', У,(и( ))+н,(х)=0, (=т'+1, ..., т, лля некоторой пары (и( ), х) н, следовательно, (й( ), х) не является решением задачи (1). Применяя конечномерную теорему отделимости (п. 1.3.3), находим такие 1„! О, 1, ..., т„не равные 357 одновременно нулю, чй для всех абС выполняется неравенство ~ Х,а, > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
