В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 58
Текст из файла (страница 58)
г=а Поскольку (е, О, ..., О, ау — — 1, О, ..., 0)бС, где 1() лг' и а~=О для (ФО, ), то выполняется неравенство е~,+Хг>0. Переходя к пределу при е(0, получаем Х > О. Точно так же (е, О, ..., О) Е С ~ Х, > О, и таким образом, верно (5). При любом е > 0 (е, О, ..., О, аг — — У"т (й ( )) + д~ (х), О, ..., 0) б к С =о Х,е+ Х~ ~Т~ (й ( )) +,дг.(х)] > »0 оУт~Т~(й( ))+Я~(х)1>0. (10) Поскольку (й( ), х) — допустимая пара, Вместе с (10) и уже доказанными неравенствами Х~ «О, 1(1(т', это дает (6). Далее, для любых е> О, (и( ), х)ЕЯхА, соглас- но (8), (К,,(и( ))+ +а',(х)+е, Е,(х( ))+я',(х), ..., 4Г (и( ))+и (х)) б 6СзФ ~ х,(У',(и( ))+К!(х))+еАо г о .У(и( ), х, Х, )Ч)+Й,>О=~.У(и( ), х, Х, ~,)>0.
Но, согласно (б), (11), 1>и'+1 и сделанному выше предположению о (Г, +б,„.У(й(.), х, Х, Х,)=О. Поэтому для функции Лагранжа (2) выполнен принцип минимума ш(п .У (и ( ), х, Х,4,)=.У (и( ), х, Х, Х,). (12) МХА Если же ло > О, имеет место (12) и выполняются условия (о) и (6), то для всякой допустимой пары (и( ), х) <ос п3' ~о(К„(сс( ))+ао(х)) =- Х )<с(К<(и( ))+сгс (х)) с о <!ос = ~~~~ Хс(К<(сс( ))+сгс(х))=Я(сс( ), х, Х, Хо)~) „<вс, «и ) .У (й ( ° ), х, Х, Х,) = ~~~'„Хс (К с (и ( )) + дс (х)) = % (У', (й ( ° )) + д, (х)) =<с Ко(и( )) + д, (х)) ) > К.
(й ( ) + а. (х)) так что (й( ), х) — решение задачи (1). В) Редукция к элементарной задаче. Легко видеть, что соотношение (12) эквивалентно одновременному выполнению соотношений (4) и пнп ~~.", )<<К<(сс( ))= «<о сов<=о ш(п ~ ~ с<Д(1, и(Ю))<И=) '~ )<,с<'с(Ю, й(1))с(1 и<.<оооо с=о ос о ~ ~,К,( (.)). (1З) с=о действительно, если выполняются (4) и (13). то .2'(сс( ), х, Х, Х,)=~ Ъ.<К<(и( )) <- ~ Асяс(х) ~ с=о с о ш ос ) '~ ~)<<К<(сг(.))+ ~ Хсйс(х) =.У(й( ), х, к, А,) для всех и( )Е."'сс и хЕА, т.
е, имеет место (12). Если же, например, ~, Аспас (х) ( ч~'.~ 1сйс(х), для некоторого с=о с о хЕА, то .У(сс( ), х, л, Х,) = ~~.", Х,К,(сс( ))+ + Х,~а,(х) <,Х,) К (й( ))+,Х,~~й~Й) так что (12) не может иметь места. Чтобы перейти теперь от (4) и (13) к принципу минимума, т. е. к (3) и (4), нам нужно показать, что в (13) можно «внести ппп под знак интеграла», т.
е. показать что функция й( ° ) тогда и только тогда является решением вспомогательной задачи оптимального управления ) Х 1Д(1, и(.))Й 1п1, и( )ЕФ, (!4) ь с=о когда имеет место соотношение (3). Подобное. утверждение уже было доказано нами в п. 3.!.4. Однако там предполагалось, что функция и( ) кусочно-непрерывна, а здесь она только измерима, так что нам придется воспользоваться более тонкими рассуждениями.
Г) Элементарная' задача с измеримыми управлениями. Лемма об условиях минимума в элементарной задаче оптимального управления. Пусть Л вЂ” промежуток в К, 1« — топологическое пространство, функция 1: ЛхЦ К непрерывна и Я вЂ” совокупность измеримых отображений и: Ь- П таких, что функции ! ~)(г, и(!)) интегрируемы на Л. Для того чтобы й( ) ~'И было решением задачи г (и( )) ~1(Г, и(!))а( — 1п1, и( )ЕЯ, (!5) необходимо и достаточно, чтобы равенство Г (1, й(!)) = ш1п((1, и) (16) и«» было верно почти всюду в Л.
Д о к а з а те л ь ство. «Достаточно». Согласно (16) Г(1, и(!)))~(1, й(1)) почти всюду для любой и(.)ЕЯ, откуда У'(и( ))) У(й(.)). «Необходимо». Пусть й( ) — решение задачи (15). Поскольку й( ) измеримо, существуют (п, 4.2.6.) измеримые множества А„а Л такие, что т(Л"~() А„) = О л и и!л„продолжается до непрерывной на А„функции. Назовем точку т Е А„существенном, если т ((т — 6, т+Ь) П () А„) > 0 для любого б > О, и покажем, что равенство (16) имеет место во всех таких точках. 360 В самом деле, если бы для некоторой существенной т Е А„и некоторого о Е Ц выполнялось неравенство 1(т, о) < 1(т, й (т)), то ввиду непрерывности функций й( ))л, и 1 ~1(1, о) такое же неравенство сохранилось бы и в некоторой 6-окрестности точки т в множестве А, т. е.
~(1, о) < ~(1, й(1)), У1Е(т — 6, т+6)() А„. Функция ] й(1), 1((т — 6, т+6)()А„, ] о, 1Е(т — 6, т+6)() А„, очевидно, принадлежит % и К(и( )) — (Г(й( ))= ~ ()'(1,п) — )(1, й(1))]В<О, и-О, т+и д лл поскольку 1(1, о) <~(1, и(1)) и т((т — 6, т+6)()А„) >О. Остается доказать, что множество несущественных точек имеет меру нуль. Если тЕ А„несущественна, то по определению найдется такое б„что лз ((т — 6„ т+6,)() А„)=О. Сузив интервал, найдем 4акие рациональйые (а„, р,), что т ((а„р,) П А„) — О. Множество всех интервалов с рациональными концами счетно, поэтому не более чем счетно и множество тех из них, которые имеют вид (а„р,) для некоторой несущественной точки тЕА„.
Пусть это интервалы 1„1„... Тогда А„О 01а содержит все несущественные точки А„н гп (А„О (1 1„):~ < ~~", гп (А „О 1„) = О. Поскольку множеств А„не более чем счетное число, то объединение множеств несущественных точек каждого из них также имеет меру нуль. По доказанному (16) может нарушаться лишь иа Л' 0 А„и в несущественных точках, т.
е. оно верно почти всюду. Д) Завершение доказательства. Согласно В) и Г) для выполнения условия (12) необходимо и достаточно, чтобы одновременно имели место (3) и (4). Заменив в последнем абзаце пункта Б) (12) на (3), (4), получаем все утверждения доказываемой теоремы. Я 4.3.4. Теорема двойственности.
Обозначения в этом пункте те же, что и в предыдущем. Напомним, что по- пятне двойственности для задач выпуклого программи- рования было введено в п. 3.3,2. Оио было связано е методом возмущений, т. е. с вклиэчением индивидуальной экстремальной задачи в семейство задач того же типа. Здесь мы поступим точно так же, ограничившись для простоты одними интегральными функционалами. Кроме того, мы предположим (и это будет существенно исполь- зовано в доказательстве), что А — это отрезок числовой прямой и топологическое пространство П, в котором принимают значения различные управления и( ), сепа- рабально, т.
е. содержит счетное всюду плотное подмно- жество (и„). Например, в качестве П можно взять любое подмножество в К', С(б, К"), Ст(Ь, К"), 1.т(А), но про- странство Е,„(А) (см. и 4.3.2) уже несепарабельно. у и р а ж н е н и е К докажите вти утверждения. Итак, рассмотрим ляпуновскую задачу (Р;( (.))=~1.(1,.(1))бР-.1, (й) (Гс(сс( ° ))'= $ Рс(1, п(1))с(1 О„п(1)ЕП, Ь с=!,2, ...,пс. Фиксировав 1„включим ее в семейство савв(сс( )) !п1, Кс(и( ))+а, (О. (3(а)) Как и в п. 3.3.2, Я-функция семейства 4(а) определяется равенством Я(и) = 1п1(Tе(и( ))(Ус(и( ))+асн='О, и( ° )~'М) а~К .
(1) Аналогия между ляпуновскими задачами и задачами вы- пуклого программирования сохраняется и здесь и, хотя функции тс не являются выпуклыми, справедлива Лемма 1. Функция имБ(и) выпукла. Доказательство. Согласно лемме из п. 4.3.3 мно- жество пп и = (В = Я„..., В„) $ Ес = ст с (и ( ° )), сс ( ° ) Е 'И) выпукло в К"+с. Переписав (1) в виде 8 (сс) = 1п1 ( Ве ! й с + и с т ' О, В Е 1сп ст ) и, полагай дс($)=ус($„..., $ )=й„мы обнаружй- ваем, что 5 (а) является значением задачи выпуклого Заа программирования у, ($) !п1, д! (я)+а! (О, $ ~1т 1Г.
Эта последняя является частным случаем задачи, рассмотренной в п. 3.3.2 (отсутствуют ограничения типа равенства, в связи с чем )г, Л и т, п. следует опустить), так что выпуклость Я обеспечивается следствием 1 п 3.3.2. Теорема двойственности для ляпуновских задач.
Пусть Л вЂ” промежуток в К, й — сепарабельное топологическое пространство, функции1!: Лхц К, !=О, 1, ..., т, непрерывны, '(1 — совокуинорть измеримых ояображений и: Ь П таких, что функции 1 1,(1, и(1)) интегрируемы но Ь. Если Я-функция семейства х(а) непрерывна в точке а=О, то для любого а ~ !п( (догя 5) 8 (а) = зпр ( )!а + ~ сО (1, Х) Ж), (2) хыо ~ (3)- * +со, ).(К~, т — 1! 11!.р. «и!о)г.!- х л!р, в>р]г. и! )гтг ь ~ ! ! ~в, !)=ь!(!.!, )-!-х!!;!, !). иег ~=! До к аз а тел ьство. А) По лемме функдня а~ Я(а) выпукла, а из непрерывности ее в одной точке вытекает (предложение 3 п. 2.6.2) непрерывность и равенство Я(а) = (сопчЯ)(а) для всех и~)п1(доп!Я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
