В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 55
Текст из файла (страница 55)
На компакте Ю = ((1, х (Г), и) / 1 Е Л, и Е М,) = Г Х уг', непрерывная функция ~р ограничена: ~ гр ~ 'М. При столь малых а~ > О, что полуинтервалы Л не пересекаются, из формул (3) имеем 5+а, (гр(1, х(1), и(1;а, т, о)) — гр(1, х(8), й(1)) /й= ь ье = Х ~ ( гр (1, х (1), о ) — гр (1, х (1), й ( С)) / й ( 2М,Яа = 1=1 „ у !=1 = 2Ма- О при а~(О, так что условие (5) выполнено. Применяя лемму 1, убеждаемся в справедливости первых двух утверждений леммы о пакете иголок п.
4.2,3: для достаточно малого е, > О решение х (1; (м х„а, т, о) задачи Коши (1), (2) при ((„х„, о), удовлетворяющих неравенствам (9) п. 4.2.3, определено на Л = — 1(о — 5, 1",+51 (первое утверждение), и при 1, гм х,— х„а (О х(1; („х„, а, т, о)- х(1) равномерно по (Е'11„1,1' (второе утверждение).
Б) Перейдем к рассмотрению отображения (1„1„х„ а) — х(1,; г„а, т, и). Обозначим, как обычно, через Х (1, 1„х,) решение задачи Коши х=<р(1, х, и(1)), х(1„)=х,. (7) По теореме 1 п. 2.5.5 функция Х(,, ) определена и непрерывна в области (1„— 5„, 11+6„)х6, где 6 — некоторая окрестность графика Г решения х( ). Если же мы сузим область определения так, чтобы 1, и 1 не переходили через точки го> разрыва управления и( ), то дифференциальное уравнение в (7) удовлетворяет усло- виям классической теоремы о дифференцируемой зависимости решения от начальных данных (п. 2.5,7), так что Х ((, („х,) будет непрерывно дифференцируемо по совокупности аргументов.
В частности, Х непрерывно дифференцируемо в некоторых окрестностях точек (Гм (ы х((а)), поскольку в некоторых окрестностях точек 1„ управление и( ) по нашим предположениям непрерывно. Далее, обозначим через Е ($, а, т, о) значение при г= 1, решения задачи Коши для уравнения (!) с началь= ным условием х((,) =$, т. е. Е ($, а, т, о) =х(1„1„$, а, т, о). (8) В соответствии с формулой (13) п. 2.5.5 и формулами (3), задающими управление и(1, а, т, о), имеем х((„1„х„а, т, о)=Х(1„(„Е (Х(Г„(„х,), а, т, о)) (9) (от Г, до Г, мы решаем уравнение х=Ч~(1, х, и) с управлением и=и(г), а затем от 1, до Г,— с управлением и=и(г; а, т, й) и, наконец, от (1 до 1,— снова с управлением и=й(().
Важно отметить, что, как и формула (13) п. 2.5.5 формула (9) верна при любом расположении точек г, относительно г,. Если мы теперь сможем продолжить отображение (ь, а) 1 Е(ь, а, т, о) до отображения класса С', определенного в некоторой окрестности точки (х(Г,), 0) (т. е. сможем продолжить его на отрицательные ау с сохранением непрерывной дифференцируемости), то в соответствии с формулой (9) и отображение (1„(„х„а)~-»х((,; 1„х„а, т, с) будет продолжено на некоторую окрестность точки ((„Г„х„0), а по теореме п. 2.2.2 оно будет непрерывно дифферейцируемым как суперпозиция трех непрерывно дифференцируемых отображений: ((„х,) »-»Х(Г„(„х,), ($, а)»Е($, а, т, о), (Г„т),)»-»((„Г„т1,).
В) Пусть тЕ((„(,) и оЕП фиксированы. Обозначим через У,(г, Г„у,) решение задачи Коши у=т(г у ) у(г ) =у ° (10) В силу локальной теоремы существования (п. 2.5.2) и классической теоремы о дифференцируемости решения по 339 начальным данным (п. 2.5.7) )»„(1, („у,) определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (т, т, х(т)). Если т — точка разрыва управления й( ), т. е. и (т — 0)~ тай(т), то наряду с й( ) рассмотрим управление )' й ((), 1 > т, ) й (т), 1 < т.
Поскольку и (.) непрерывно в некоторой окрестности точки т, решение Х (г, („х,) задачи Коши х = ~р (1, х, й (()), х((,) = х„ (11) также определено и непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (т, т, х(т)). Если же т — точка непрерывности й( ), то само Х((, („х,) обладает тем же свойством, и в следующих далее формулах можно считать Х=Х.
Дополним набор т = (т„..., тн) точками т, = 1» и тн+, — 1„так что 1,=т, <т,<...<тн < тн+,— — („и рассмотрим суперпозицию отображений Й ($,а, т, о)=.Р оХн оЯн о...оХ» о2» о Х», о...оЯ, о Х„ (12) где Р($, а) =к Х» ($, а) = (Х (т»+ы т», $), а) (13) и е»(3, а) =(Х(т», т„+йа+а», У, (т»+йа+а„, т»+йа, Х(т»+Фа, т», $))), а). (14) Поскольку Х, и Я» непрерывно дифференцируемы в окрестности точки р„=(х(т ), 0), причем Х»(р»)=р»„ Я (р») = р„, а Р линейно, суперпозиция (12) определена и-непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки р,=(х(~„), 0)=(х„О). Лемма 2.
Если все а» ) 0 и достаточно мала, то Е (я, а, с, о) =- Е (я, а, т, о) = х(г'„г„$, а, с, о). (15) Доказательство. Обозначим для краткости х(~)= = х((, е„я, а, т, о). Если все а» > 0 и достаточно малы, 340 то полуинтервалы Л„ входя»цие в определение (3), попарно не пересекаются и расположены между 1, и (» в порядке возрастания номеров. Пусть я, = т, +»а = т, +1 ~~.'~ а, — левый конец полуии/=1 тервала Ь„я,=т,=-1„зл.>, =т»», =1,.
Докажем по индукции, что х (з,) = Х (з», т„, ч»), (16) где $,=$ и $ =РоХ»,ох»,оХ»,о...оЯ,оХ,($,а), й)1;(17) в частности, $,= — РоХ,(й> с»)=Х(т»> т»> $). Поскольку при 1,=т,<1< я, дифференциальные уравнения в (7) и (1) совпадают и х(т,) =$=Х(т„т„$,), то в этом полу- интервале х(1)=Х(1, т„с,), и, переходя к пределу при Г я, И уЧИтЫВая таждЕСтВО Х(яо т„$,)=Х(я„, т„Х(т„ т„$,)), получаем (16) при Й= 1. Предположим, что (16) верно для некоторого й. Чтобы перейти по решению х( ) от я„до з»„„надо в силу (3) проделать следуюшее.
От з» до я»+а» решаем'уравнение (10) с начальны»» условием у» =х(я»), в результате чего получаем х(з»+а»)=У» (з»+а», я„, х(з»)). Далее от з»+а», т. е. от конца Л», до з»+,— начала Л»„„решаем уравнение (7) с начальным условием х, =к(з»+а») и получаем равенство х (я +,) = Х (я»+„я„+ с»», х (я„+ а»)) = =Х(я»+о з»+а», У, (з»+а», я„, х(я„)). Согласно (13) п. 2.5 5 справедливо тождество Х (г 'т> Х (т> гр х»)) Х (г> 1~> х») Воспользовавшись им и равенством (16), верным по индукционной гипотезе, получаем последовательно х(я»~»)=Х(з»~„т» „Х(т»+„т», Х(т»,я»+а», х(з»+а»))))= =Х(я»~о т»~о Х(т»»„т», Х(т„, я»+а», У,„(я +а», я, Х (я„, т„, $»))))).
(18) Теперь заметим, что если все а» > О, то т» < з„< я»+а», а так как при 1.=»т» уравнения (7) и (11) совпадают, то Х(т, з»+а», $)=Х(т», з»+а», $) и Х(з„, т„, $») = = Х(з, т, $ ). Следовательно, используя сначала опре- деления (13) и (14), а затем'(17), мы получаем Х(тхом т„, Х(тд, з +ад, Уо (з„+а„, з„, Х(зх, то, $о))))= =РоХхо 2 ($„, а)=РоХх оЯхо Х,о...оХ,Д,а) =$ +о. Поэтому (18) совпадает с (16), в котором и заменено на й+1, и, таким образом, (16), верно при всех й) 1.
Остается заметить„что при й= У+1 (16) превращается в равенство х(1,)=Х(1„1о вх )=Ь о= = Р о Х х о Ухо ... о Х, ($, 'а) = Й (в, а, т, и) (последнее согласно (12)) и, так как по определению х(~,)=Б ($, а, т, и), (15) доказано. ° Как уже было сказано, суперпозиция (12) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (х„О). Следовательно, Б ($, а, т, о) (которая раньше была определена только при а, ) 0) допускает непрерывно дифференцируемое продолжение на эту окрестность. Согласно п. Б) отсюда вытекает, что х((о о„х„а, т, о) допускает (при фиксированных т, о)непрерывнодифферент цируемое продолжение на окрестность точки.(о„г„х„О).
Остается доказать лишь формулы (10) — (13) й. 4.2.3 для частных производных этой функции в точке ((„Ро, х„О). Г) Прежде всего заметим, что х(1 (о хо 0 т ")= — Х((о (о хо). (19) х(1 1о х(Го), О, т, о)— = Х(1, го х((о))=х(1), (20) х (1„1„х„а, т, и) = Б (х„а, т, о). (21) Согласно (19) и (21) частную производную по х, мы можем найти, применяя теорему п. 2.5.6 дх дх - - — — — ~ ди(х„в,т,о) ~ — = — (1„(„х„О, т, о)~ хо хо ™ 1х, =х(тд хо ~, =х(тд ="('ь 'о "о)~ =Я(1 1) (22) дхо ухо=х<то1 где И(1, т) — фундаментальная матрица решений уравнения в вариациях г = оа„(1, х (1), и (1) ) г (в формуле (2) п. 2.5.6 надо положить Р(1, х)= р(1, х, .
й(о)) и учесть (20)). Этим доказано (12) п. 4.2.3. Теперь воспользуемся формулой (9), заметив, что, как было сказано в и. Б), в окрестности точек (1, 1, х(1,)), й=0, 1, производные функции Х(Г, („х,) можно вычислять, применяя классическую теорему о дифференцируемости по начальным данным (формулы (1) — (4) п. 2.5.7„ где снова Р(1, х)=~у(1, х, и(()).
Дифференцируя (9) и учитывая уже найденную формулу (22), а также, что, согласно (20) и (21), В(Х((м Го~ х((о)) О~ т и) (х(~о) О т о) =х(К,, К„х(К,), О, т, о)=х(1,), имеем дх7дГ,=дХЯ, („х(1,))7д1, =гр(Км х(Е,), й((,)), дх)дг,=дЕ Д, О, т, и)!д$/з-",д дХ(1„(„х(М,)/дЕ,/~, ",,= =а(1„(.) [ — р(Г., ха), й(1,))1. Этим доказаны (10) и (11) п. 4.2.3. Пусть теперь а,=О, 1чьй и аь > О. Обозначим для краткости х(1, иа)=х(1, 1„х((,), (О, ..., О, аю „О), т, о) При таком выборе а, согласно (3), в полуинтервале ~„(1 < т„+йа„дифференциальные уравнения (1) и (7) совпадают н х ((„а„) =х (Г,), а потому в этом полуинтервале х(1, аа) =х(Г) и, переходя к пределу, получаем х(т„4-йам иь) =х(та+Йа„).
(23) далее, при та+Йаь(Г < та+Йаа+а„мы решаем дифференциальное уравнение (10) с начальным условием (23) и с и =ею откуда х(та+Фа„+а„) = =- У,х(т„+йиз+аю ть-(-йа„,х(ть+йаа)). (24) В оставшемся промежуткет~+(А-(-1)а„(Г(1, мы снова возвращаемся к уравнению (7), теперь уже с йачальным условием (24). Этот промежуток мы разобьем иа два, фиксировав з так, что в интервале (т„, з) не было точек разрыва и( ). Величину аь) 0 будем считать столь малой, чтобы было т„< т»+(й+1)сс„< з.
Имеем х ((„а») = Х (1 „з, х (з, а„)) = =Х((„з, Х(з, т +(«+1)сс», х(т„+(и+1)а„, а»))) = =Х ((„з, Х(з, т»-(-(1+1) а», )',» (т»+(й-(-1) а», т„-(- + йа», х(т»+Фа»))). При дифференцировании этой формулы мы должны учесть следующие равенства; ((1) п. 2.5.6; 1, и з фиксированы)„ — (з, 1„«(т», О)) ~, „, = — Й(з, т») ср(т», х(т»), й(т )), дХ дх»вЂ” ((5) и (6) и.
2.5.7; классическая теорема применима, поскольку на отрезке (т», з1 управление й( ) непрерывно и т» < т»+ Я+ 1) а» < з)' д)', ,), (1, т,х( ))~, х„=Ч(т», х(т),о,), д)', д( (т» 1» Х(~»))~ц=х = 'р(тЫ'С(т») "»)ю д'х' †» (т», т„, у,) = Е дУ» (формулы (4) — (6) п. 2.5.7, где следует положить Р (1, х)= =ср(1, х, о ) и учесть, что всегда Я(1, ()=Е); и, наконец, х(т )=ср(т„, х(с»), й(т»)) из (7).
Таким образом, дх дх(1" сс)~ дХ (" ~ ~ дХ(ь т»,х(т»)) + д (з т» х(т»)) ( д( (т» т» х(т»))(«+1)+ + у-(т» т» х(т»))й+ д (т», тм х(т„))х(т»)Й1~= „а Уа =11(1., з)( — 11(з т»)р(т» х(т»), й(т»))(й+1)+ +11(~, т»)(ср(т» х(») о )(а+1) — ср(» «( ) о )х+ +ср(т», х(с»), й(т») Йи=— = й (г„т») (~р (т„, х (т»), о») — ср (т„х (т»), и (т„))1, чем доказано (13) п. 4.2.3 (равенство 11((„з) й(з, ть)= =Р((„тл) имеет место по основному свойству фундаментальной матрицы (11) п. 2.5.4). 4.2.7. Доказательство леммы об интегральных функционалах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
