Диссертация (1155108), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поэтому, возникает естественный вопрос:при каких дополнительных условиях по сравнению с условиями регулярности из предыдущих разделов можно гарантировать абсолютную непрерывностьмеры-множителя Лагранжа? В данном разделе показывается, что таким дополнительным условием может служить усиленное условие Лежандра. При этом,оказывается, что усиленное условие Лежандра гарантирует даже липшицевостьфункции распределения этой меры.Рассмотрим следующее важное понятие.Определение 13 Будем говорить, что экстремаль (p∗ , x∗ , u∗ ) удовлетворяет усиленному условию Лежандра, если найдутся множители Лагранжа (λ,ψ, µ, ν) такие, что для почти всех t ∈ T , верно следующее неравенство ∂ 2 H̄∂ 2 r E(t) − ν(t), 2 (t) [ξ, ξ] ≤ − const |ξ|2 ∀ ξ ∈ Rm .2∂u∂uD(50)Здесь, константа const > 0 не зависит от t.Следующее предположение регулярности есть небольшое усиление слабойрегулярности из Определения 12.Предположение (P) Для любых t ∈ T , u ∈ U(t), векторыl = 1, ..., d(g1 ),независимы.∂Γj2∂u (u, t),j ∈ J(t): Γj2 (u, t) = 0,∂ri∂u (u, t),∂Γl1∂u (u, t),i ∈ I(u, t), линейно48Теорема 4 Предположим, что (p∗ , x∗ , u∗ ) есть экстремаль и (λ, ψ, µ, ν) сутьсоответствующие ей множители Лагранжа.
Пусть процесс (p∗ , x∗ , u∗ ) удовлетворяет Предположениям A), P), и выполнено усиленное условие Лежандра (50). Кроме того, предположим, что имеет место (35).Тогда, µ2 (t) липшицева на (t∗1 , t∗2 ).Теорема 4 является развитием результатов из [56] на случай, когда такжеприсутствуют ограничения типа равенств.Рассмотрим два вспомогательных утверждения.Предложение 11 Пусть матрица A ∈ Rm×m знакоопределена, и матрицаB ∈ Rm×k имеет полный ранг.
Тогда,∗A B =det 6 0.B 0 Доказательство. Пусть вектор (x, y), где x ∈ Rm , y ∈ Rk , принадлежит ядру блочной матрицы. Тогда, Ax+B ∗ y = 0 и Bx = 0. Умножая второе уравнениена y ∗ слева и транспонируя, получаем x∗ B ∗ y = 0. Умножая первое уравнениена x∗ слева, получаем x∗ Ax = 0 ⇒ x = 0, y = 0. Следовательно, ядро блочнойматрицы тривиально, а ее определитель не равен нулю.Лемма 4 В условиях Теоремы 4, U(t) конечно для t ∈ T .
Более того, существует число N > 0 такое, что |U(t)| < N ∀ t ∈ T.Доказательство. Предположение P) влечет слабую регулярность экстремального процесса. Поэтому из Предложения 8 и условия (35) получаем, чтофункция µ2 непрерывна на (t∗1 , t∗2 ). Кроме того, проводя аналогичные рассуждения, как и в доказательстве пункта iii) Теоремы 2 , изменяя µ2 на µ̄2 и учитывая,что новый набор множителей Лагранжа λm , ψm , µ1 , µ̄2 , ν (см. его определениев доказательстве теоремы) снова удовлетворяет ПМ кроме, возможно, (5), неограничивая общности будем считать, что функция µ2 непрерывна всюду на T .49Пусть Mε,c (t), где ε, c > 0, t ∈ T , множество таких векторов u ∈ Rm , длякоторых существуют множества индексов J ⊆ J(t) и I ⊆ I(u, t), и числа al ,l ∈ L := {1, ..., d(g1 )}, bj , j ∈ J, ci , i ∈ I такие что ∂ 2HX ∂ 2 ΓlX ∂ 2 Γj12al 2 (u, t) −(u, t) −bj(u, t)−22∂u∂u∂uj∈Jl∈LX ∂ 2rici 2 (u, t) [∆u]2 ≤ −ε|∆u|2 ;∂ui∈IX ∂ΓlX ∂Γj∂H1al(u, t) −(u, t) −bj 2 (u, t)−∂uk∂uk∂ukj∈Jl∈LX ∂rici(u, t) = 0, k = 1, ..., m;∂uki∈IΓl1 (u, t) = 0, Γj2 (u, t) = 0,|al | ≤ c, |bj | ≤ c, |ci | ≤ c, l ∈ L, i ∈ I, j ∈ J,векторы∂Γl1∂u (u, t),l ∈ L,∂Γj2∂u (u, t),j ∈ J,∂ri∂u (u, t),i ∈ I линейно независимы,и матрица, составленная из них, имеет минор порядка |L| + |I| + |J|, модулькоторого не меньше ε.Очевидно, что множество Mε,c (t) является замкнутым для всех t ∈ T , ивсех ε, c > 0.
Кроме того, его пересечение с любым ограниченным шаром конечно. Это легко проверить, решая при каждых фиксированных наборах индексовI, J, m + |L| + |J| + |I| уравненийX ∂ΓlX ∂ΓjX ∂ri∂H12(u, t) −al(u, t) −bj(u, t) −ci(u, t) = 0,∂uk∂uk∂uk∂ukl∈Lj∈Ji∈IΓl1 (u, t) = 0, Γj2 (u, t) = 0, ri (u, t) = 0относительно того же числа неизвестных uk , al , bj и ci .
С помощью теоремыоб обратной функции в окрестности точки u ∈ Mε,c (t), определения Mε,c (t),и также Предложения 11 (в силу которого определитель линеаризованной системы не равен нулю), и так как число уравнений равно числу неизвестных,получаем, что u является изолированной точкой. Поэтому и поскольку приведенные выше рассуждения равномерны по t, а U(t) ограничено, то существуетчисло N = N (ε, c) > 0 : |Mc,ε (t) ∩ U(t)| < N ∀ t ∈ T .50Для того чтобы доказать лемму, достаточно показать, что ∃ ε, c > 0:U(t) ⊆ Mε,c (t) ∀ t ∈ T.(51)Выберем точку t∗ ∈ T и пусть u∗ ∈ U(t∗ ).
Предположим, что t∗ < t∗2 , иu∗ ∈ U + (t∗ ). (Случай u∗ ∈ U − (t∗ ), t∗ > t∗1 рассматривается по аналогии.) Ввидуконечного числа выходов на границу, ∃ δ > 0: J(t) = J(s) = J ∀ t, s ∈ (t∗ , t∗ + δ)и µj2 (t) постоянна на [t∗ , t∗ + δ] для всех j ∈ J(t∗ ) \ J. (Здесь используетсянепрерывность µj2 и условие a) ПМ.) Стандартным образом (см., например,2[55]), вычитая из µ2 (t) значения µ2 (t∗ ), а из ψ(t) функцию µ2 (t∗ ) ∂g∂x (t), придемк набору множителей, в котором µj2 (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ , t∗ + δ] для всех j ∈ J(t∗ ) \J.
(Новый набор множителей Лагранжа удовлетворяет усиленному условиюЛежандра и также всем условиям максимума, кроме б) и (5).) Поскольку j ∈ Jи g2j (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ , t∗ + δ], то Γj2 (t) = 0 ∀ j ∈ J для почти всех t ∈ [t∗ , t∗ + δ].Используя Предложение 2, найдем последовательность точек ti > t∗ таких, что ti → t∗ , u∗ (ti ) → u∗ и таких, что в точках ti выполняется условиестационарности Эйлера-Лагранжа (11), условие (12) и усиленное условие Лежандра (50), а также Γj2 (ti ) = 0 ∀ j ∈ J, I(ti ) = I, где I некоторое постоянное(не зависящее от i) множество индексов. Очевидно, что в силу компактности,Предположения P) и определения Mε,c (t) существуют числа ε, c > 0, которыемогут быть выбраны независимо от (t∗ , u∗ ), такие, что u∗ ∈ Mε,c (t∗ ).Условие (51), и следовательно сама лемма, доказаны.Доказательство Теоремы 4. Из Предположения P) следует слабая регулярность экстремального процесса. Из Предположения 8 и (35) получаемнепрерывность µ2 на (t∗1 , t∗2 ).
Более того, проводя аналогичные рассуждения,как и в доказательстве пункта iii) Теоремы 2, заменяя µ2 на µ̄2 , и учитывая,что новый набор λm , ψm , µ1 , µ̄2 , ν снова удовлетворяет ПМ, кроме, возможно,(5), не ограничивая общности можно считать, что µ2 непрерывна на T .Выберем точку t∗ ∈ [t∗1 , t∗2 ). Докажем, что µ2 имеет линейный рост справаот t∗ . Поскольку число точек стыка конечно, то ∃ δ > 0: J(t) = J(s) = Q51∀ t, s ∈ (t∗ , t∗ + δ) и µj2 (t) постоянна на [t∗ , t∗ + δ] для всех j ∈ J(t∗ ) \ Q. (Здесьиспользуется непрерывность µj2 и условие a) ПМ.)2Вычитая из µ2 (t) значение µ2 (t∗ ), а из функции ψ(t) функцию µ2 (t∗ ) ∂g∂x (t),получаем, что µj2 (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ , t∗ + δ] для всех j ∈ J(t∗ ) \ Q.
(Новый набормножителей Лагранжа удовлетворяет усиленному условию Лежандра и также всем условиям максимума, кроме б) и (5).) Поскольку j ∈ Q и g2j (t) = 0∀ t ∈ [t∗ , t∗ + δ], то Γj2 (t) = 0 ∀ j ∈ Q для почти всех t ∈ [t∗ , t∗ + δ]. Выберемвектор u∗ ∈ U + (t∗ ) таким образом, что для множества E + соответствующегоu∗ в силу Предложения 2, точка t∗ не является точкой разрежения (см. [47]).Это осуществимо благодаря конечности множества U(t∗ ), см.
Лемму 4. Такимобразом, существует последовательность точек ti ∈ E + таких, что:ti → t∗ +,ti+1 < ti ,ti − t∗≤ const ∀ i,ti+1 − t∗(52)u∗ (ti ) → u∗ , а также в точках ti выполнены условия стационарности ЭйлераЛагранжа (11), условие (12), усиленное условие Лежандра (50) и Γ1 (ti ) = 0,Γj2 (ti ) = 0 ∀ j ∈ J, I(ti ) = I, где I некоторое постоянное (не зависит от i)множество индексов. При этом константа const не зависит от t∗ (Лемма 4).Не ограничивая общности можно считать, что Q = {1, 2, ..., |Q|}, I ={1, 2, ..., |I|}.
Покажем, что ν(ti ) → ν∗ и µ1 (ti ) → µ∗1 , где ∗−1 ∗∂φ∂φ∂φ∂ H̄(µ∗1 , ν∗ ) =(u∗ , t∗ ) (u∗ , t∗ )(u∗ , t∗ )(u∗ , t∗ ),∂u∂u∂u∂u∗и φ = (Γ1 , r). Заметим, что в силу Предположения P) обратная матрица ∂φ∂u (u∗ , t∗ )·∂φ∂u (u∗ , t∗ )существует.Из (11) и Предположения Р) следует, что: ∗−1 ∗∂φ∂φ∂φ∂ H̄(µ1 (ti ), ν(ti )) =(ti ) (ti )(ti )(ti ),∂u∂u∂u∂uгде ν(ti ) = (ν 1 (ti ), ν 2 (ti ), ..., ν |I| (ti )). По построению, принимая во внимание, чтоµ2 непрерывна, правая часть стремиться к (µ∗1 , ν∗ ).
Поэтому из (12) следует, чтоν(ti ) → ν∗ µ1 (ti ) → µ∗1 .52Тогда, при i → ∞, выполнены следующие соотношения:DE∂ 2 H̄∂2r∗a) A := ∂u2 (µ1 , u∗ , t∗ ) − ν∗ , ∂u2 (u∗ , t∗ ) < 0;b)c)∂ H̄∂r∗∂u (µ1 , u∗ , t∗ ) − ν∗ ∂u (u∗ , t∗ ) = 0.Γj2 (u∗ , t∗ ) = 0 ∀ j ∈ Q, и µj2 (t∗ ) =0 ∀j ∈/ Q;/ I.d) ri (u∗ , t∗ ) = 0 ∀ i ∈ I, и ν∗i = 0 ∀ i ∈e) Γl1 (u∗ , t∗ ) = 0 ∀ l ∈ L := {1, ..., d(g1 )}.Обозначим через µ̃2 вектор R|Q| , который получается из µ2 отбрасываниемвсех j-координат таких, что j ∈/ Q. Соответственно, ν̃ ∈ R|I| есть вектор ν, вкотором отброшены координаты с номерами i ∈/ I.
Рассмотрим вектор-функциюF (u, µ1 , µ̃2 , r̃, t):F : Rm+|L|+|Q|+|I|+1 → Rm+|L|+|Q|+|I| ,с компонентамиX ∂ΓlX j ∂Γj∂H1l(u, t) −µ1(u, t) −µ̃2 2 (u, t) −∂uk∂uk∂ukj∈Ql∈LX ∂rj(u, t), k = 1, ..., m;ν̃ j∂ukj∈IΓl1 (u, t), l ∈ L;Γj2 (u, t), j ∈ Q;rj (u, t), j ∈ I.Очевидно, что ввиду b), c), d) и e), имеемF (u∗ , µ1 (t∗ ), µ̃2 (t∗ ), ν̃∗ , t∗ ) = 0.Решим уравнение F (u, µ1 , µ̃2 , ν̃, t) = 0 относительно переменных u, µ1 , µ̃2 , ν̃ вокрестности (u∗ , µ1 (t∗ ), µ̃2 (t∗ ), ν̃∗ , t∗ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
