Диссертация (1155108), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Она есть функция классаW2,∞ ([0, 1]), а на отрезках постоянства J(t) – класса C2 . Она п.в. удовлетворяет уравнению (58), а также условию (61).66Обратимся к примеру, приведенному в начале Главы. Ясно, что ϕ0 (x1 ) =ϕ00 (x1 ) = 0 ∀ x1 ∈ C, и P ((x1 , 0)) = O ∀ x1 ∈/ C. Поэтому (58) превращается вуравнение ẍ = 0, что и дает в данном случае кратчайшую.673Исследование вариационных систем общего видаВ этой главе изучаются свойства управляемости дифференциальных управ-ляемых систем с геометрическими концевыми ограничениями, то есть ограничениями вида p ∈ C, где C – некоторое замкнутое множество. Доказательстваопираются на некоторую абстрактную теорию и модифицированный вариационный принцип Экланда (см.
[62]). Смысл модификации состоит в том, что если аргумент задачи распадается на две части, одна из которых конечномерна иограничена, то возмущать в классическом вариационном принципе достаточнолишь бесконечномерную часть. С его помощью получен критерий метрическойрегулярности, а в свою очередь на основе этого критерия доказываются условия управляемости. Эти условия управляемости представляют собой уже известные (классические) условия управляемости по Робинсону, записанные длячастного вида систем с геометрическими концевыми ограничениями. Поэтому косновному результату Главы 3 следует отнести скорее сам метод исследования,базирующийся на модификации классического вариационного принципа. Предлагаемый метод охватывает задачи только с конечномерным образом, но можетбыть также развит и на задачи с образом в пространстве Аспланда (см.
[69]), ив частности, на задачи с образом в гильбертовом пространстве. Соответственноон может быть также использован для решения некоторых задач оптимальногоуправления с регулярными смешанными ограничениями. Смешанные ограничения – это регулярные фазовые ограничения общего типа, которые включаютограничения как на фазовую переменную x, так и на переменную управленияu (подробнее о смешанных и фазовых ограничениях см.
Главу 1).3.1Критерий метрической регулярности и модифицированныйвариационный принцип ЭкландаРассмотрим банахово пространство X, евклидово пространство Y , гладкое поФреше отображение ϕ : X → Y и замкнутое множество S ⊆ Y , которое содер-68жит точку y = 0. Пусть x∗ ∈ X, ϕ(x∗ ) = y∗ .
В этой главе нас будет интересоватьвопрос о существовании решения включенияϕ(x) ∈ y + S(62)в окрестности точки (x∗ , y∗ ). Включение вида (62) еще называют вариационнойсистемой, поскольку необходимость решать подобного рода задачу приходитк нам из вариационного анализа, в связи, например, с негладким правиломмножителей Лагранжа, см. подробнее в [69].Определение 14 Будем говорить, что функция ϕ является метрически регулярной в точке x∗ относительно множества S, если существуют числаc, δ > 0 такие, что для любых (x, y) ∈ Bδ (x∗ ) × Bδ (y∗ ) имеет место:d(x, ϕ−1 (y + S)) ≤ c · d(ϕ(x), y + S).Здесь Bδ (x) – шар радиуса δ с центром в x, а d(x, A) – расстояние до множества.
Причем расстояние до пустого множества считается равным +∞.Определение 15 Функция ϕ удовлетворяет условию Робинсона относительно множества S в точке x∗ , еслиNS ∩ ker ϕ0∗ (x∗ ) = {0}.(63)Здесь NS – нормальный конус Мордуховича ко множеству S в точке y =0 (см. [68]).
Если множество S выпуклое, то это определение превращаетсяв классическое определение регулярности по Робинсону, которое говорит, чтоNS + im ϕ0 (x∗ ) = Y .Теорема 8 Пусть функция ϕ удовлетворяет условию Робинсона (63) в точке x∗ . Тогда ϕ является метрически регулярной в точке x∗ относительномножества S.Доказательству теоремы предпошлем некоторый модифицированный вариационный принцип. Смысл нижеследующей леммы состоит примерно в том, что69если аргумент задачи распадается на две части, одна из которых конечномернаи ограничена, то возмущать в вариационном принципе достаточно лишь бесконечномерную часть.Пусть E = Rn , и M – замкнутое подмножество произведения X × E.Элементы M будем обозначать через (x, t), где x ∈ X, t ∈ E.
Пусть заданыполунепрерывные снизу и неотрицательные на M функции f (x) : X → R1 иr(t) : E → R1 . Обозначим Φ(x, t) := f (x) + r(t).Лемма 8 Предположим, что существует такое ограниченное множествоB ⊆ E, что M ⊆ X × B. Пусть заданы числа ε, λ > 0 и точка (x0 , t0 ) ∈ M :Φ(x0 , t0 ) ≤ ε. Тогда существуют точка (x∗ , t∗ ) ∈ M , а также функция ψ(x) :X → R1+ такие, что:a) kx∗ − x0 k ≤ λ;b) Φ(x∗ , t∗ ) ≤ Φ(x0 , t0 );c) ψ(x0 ) ≤ λ, и |ψ(x0 ) − ψ(x00 )| ≤ 2kx0 − x00 k ∀ x0 , x00 ∈ X;8d) функция Φ(x, t)+ λε ψ(x) достигает своего абсолютного минимума на множестве M в точке (x∗ , t∗ ).Доказательство, очевидно, достаточно провести для случая λ = 1, так какобщий случай сводится к этому умножением нормы в X на λ−1 .
ґроме того, егобудет удобно провести в конструктивной формулировке, см. [39]. Пусть числаP22αk > 0, k = 0, 1, 2, .. таковы, что ∞k=1 αk ≤ 1, и α0 > 3 . Положим βk = αk приk ≥ 1. Заметим, достаточно показать, что найдется последовательность точек(xk , tk ) ∈ M : kxk − x0 k ≤ 1, xk → x∗ при k → ∞, и числа γ0 ∈ [0, 1], γk ∈ [0, βk ],k ≥ 1, такие, что имеет место b) и функцияΠ(x, t) := Φ(x, t) − ε∞Xγk ξk (x)k=08т.е.
функция ψ липшицева равномерно в X с константой 2. Эту константу можно уменьшить до любогочисла κ > 1.70достигает на множестве M минимума в точке (x∗ , t∗ ). Здесь ξk (x) = 1 − αk−1 kx −xk k – так называемая холм-функция, [39]. Действительно, рассмотрев тогдаP−1ψ(x) = ∞k=0 γk αk kx − xk k получим все условия a)–d) теоремы.Положимγ0 = sup{γ ≥ 0 : Φ(x, t) − εγξ0 (x) ≥ 0 ∀ (x, t) ∈ M }.ясно, что γ0 ≤ 1. Действительно, для этого достаточно в выражении вышерассмотреть точку x = x0 . Заметим, что если γ0 = 1, то теорема очевиднодоказана с γk = 0 при k > 0 и дальнейшие рассуждения уже не нужны. Поэтомуниже будем считать, что γ0 < 1.Положим Φ1 (x, t) := Φ(x, t) − εγ0 ξ0 (x).
Эта функция по определению полунепрерывна снизу и неотрицательна на M . Покажем, что ее нижняя грань на(Bα0 (x0 )×E)∩M равна нулю. Действительно, если эта грань равна некоторомучислу κ > 0, то для всех (x, t) ∈ M : kx − x0 k ≤ α0 имеемΦ1 (x, t) = Φ(x, t) + εγ0 α0−1 kx − x0 k − εγ0 ≥ κ.Отсюда, поскольку функция Φ неотрицательна, увеличив число γ0 на ε−1 κ,получим, что по-прежнему Φ1 (x, t) ≥ 0 для всех (x, t) из M . Это однако противоречит определению γ0 .Если нижняя грань достигается в какой-то точке (x∗ , t∗ ), то снова приходим к утверждению Леммы 8. Если же нижняя грань не достигается, тонайдется точка (x1 , t1 ) ∈ M :Φ1 (x1 , t1 ) ≤ β1 ε.Уменьшая при этом, если потребуется, число β1 , добьемся того, чтобы Φ(x1 , t1 ) ≤Φ(x0 , t0 ).Повторим всю конструкцию, но заменив Φ на Φ1 , ε на β1 ε, α0 на α1 , x0 наx1 , t0 на t1 , и ξ0 на ξ1 .
В итоге найдем векторы x2 ∈ Bα1 (x1 ), x3 ∈ Bα2 (x2 ), и т.д.xn ∈ Bαn−1 (xn−1 ), а также точки t1 , t2 , .., tn ∈ E, причем (xn , tn ) ∈ M при всех71n. Последовательность {xn } – это последовательность Коши и в силу полнотыX она сходится к некоторому вектору x∗ ∈ X. По предположению Леммы 8 последовательность {tn } ограничена. Переходя к подпоследовательности, tn → t∗ .В силу замкнутости M имеем (x∗ , t∗ ) ∈ M . Из полунепрерывности снизу функции Φ и того, что Φn (xn ) ≤ βn ε следует, что Π(x∗ , t∗ ) ≤ 0. Однако функция Πпо построению неотрицательна. Поэтому Π(x∗ , t∗ ) = 0, и точка (x∗ , t∗ ) искомаяточка минимума. Легко также проверить, что верно a) и b).
Лемма доказана.Доказательство Теоремы 8. Проведем доказательство от противного.Пусть ϕ не является метрически регулярной в точке x∗ . Тогда для любых δ, c >0 существуют векторы xδ ∈ Bδ (x∗ ), yδ ∈ Bδ (y∗ ), которые зависят также и отчисла c, чтоd(xδ , ϕ−1 (yδ + S)) > c · d(ϕ(xδ ), yδ + S).(64)Пусть вектор ξδ ∈ S таков, чтоd(xδ , ϕ−1 (yδ + S)) > c · |ϕ(xδ ) − yδ − ξδ |.(65)Этот вектор существует в силу (64) исходя из определения расстояния.
Положим ȳδ = ϕ(xδ ) − yδ − ξδ . Отметим, что ȳδ 6= 0 в силу (65). Положимε = ε(δ) := |ȳδ | > 0.Составим экстремальную задачу.c−1 kx − xδ k + εt → min,ϕ(x) − tȳδ ∈ yδ + S, x ∈ X, t ∈ [0, σ].(66)Здесь σ > 1 – произвольное число.В задаче (66) существует допустимая точка x = xδ , t = 1, а значениеминимизируемого функционала на ней равно ε. Применим к задаче (66) Лемму8, рассмотрев в ней:M = {(x, t) ∈ X × [0, σ] : ϕ(x) − tȳδ ∈ yδ + S},72(x0 , t0 ) = (xδ , 1) и λ =√ε.Тогда существуют точка (x∗δ , t∗δ ) ∈ M и липшицевая с константой 2 функция ψ : X → R1 такие, что√1) kx∗δ − xδ k ≤ ε;2) c−1 kx∗δ − xδ k + εt∗δ ≤ ε;3) точка (x∗δ , t∗δ ) является решением задачи√c−1 kx − xδ k + εt + εψ(x) → min,ϕ(x) − tȳδ ∈ yδ + S, x ∈ X, t ∈ [0, σ].(67)Покажем, чтоt∗δ 6= 0.(68)Действительно, иначе было быϕ(x∗δ ) ∈ yδ + S ⇒ kx∗δ − xδ k ≥ d(xδ , ϕ−1 (yδ + S)).Однако, в силу (65), имеемd(xδ , ϕ−1 (yδ + S)) > c|ȳδ | = cε.Поэтому минимальное значение функционала в задаче (66) будет строго больше, чем ε, что, однако, невозможно ввиду 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
