Диссертация (1155108), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Рассмотрим задачу:Z 1φ(x, u)dt → min,0ẋ = θ(x) + u,(41)|uj | ≤ a, j = 1, ..., k,w,x≤ 0,x(0) = x , x(1) = x .ABПредположим, что∃ j∗ > k : wj∗ 6= 0.(42)Тогда любой допустимый процесс задачи 41 слабо регулярен.Доказательство. Покажем, что в примере выполнены все предположения, сформулированные в Замечании 1. Тогда в его силу любой допустимыйпроцесс будет слабо регулярным. Действительно, имеем:g2 (x) = w, x , rj (u) = uj − a, j = 1, ..., k,rj (u) = −uj−k − a, j = k + 1, ..., 2k,Γ2 (x, u) = w, θ(x) + u .Легко видеть, что векторы∂rj∂u (u),j ∈ I(u), и∂Γ2∂u (x, u)линейно незави-симы на множестве(x, u) : Γ2 (x, u) = 0, g2 (x) = 0.Действительно,∂rj∂u (u)есть соответствующий единичный вектор (взятыйс плюсом или минусом), у которого все координаты с номером выше, чем k,равны нулю, а∂Γ2∂u (x, u)= w. Поэтому условие (42) сразу влечет, что век-торы не коллинеарны.

Значит, выполнены все предположения Замечания 1.Поэтому любой допустимый процесс является слабо регулярным.42Примеры 2 – 4 легко обобщить, рассматривая их на некоторой регулярнойповерхности уровня, т.е. добавляя фазовые ограничения типа равенств.Рассмотрим ряд вспомогательных утверждений. Следующее утверждениеявляется простым следствием Предложения 5, условия (35) и определений G + ,G +.Следствие 1 Существуют числа C, δ > 0 такие, что для произвольного t∗ ∈(t∗1 , t∗2 ), u∗ ∈ U(t∗ ), j ∈ J(t∗ ) и ∆t > 0 справедливы следующие оценки.Если u∗ ∈ U − (t∗ ) ∩ G + (t∗ ) и Γj2 (u∗ , t∗ ) > 0, то|µj2 (t∗ + ∆t) − µj2 (t−∗ )| ≤C · ∆tΓj2 (u∗ , t∗ ).Если u∗ ∈ U + (t∗ ) ∩ G − (t∗ ) и Γj2 (u∗ , t∗ ) < 0, то|µj2 (t∗ − ∆t) − µj2 (t+∗ )| ≤−C · ∆tΓj2 (u∗ , t∗ ).Предложение 8 Пусть экстремальный процесс слабо регулярен и выполненоусловие (35). Тогда справедлива Лемма 3.Доказательство дается дословным повторением доказательства Предположения 5, но при слабой регулярности.

Добавляя (35) к оценкам Предложения 5,ввиду слабой регулярности, получаем необходимую равномерность оценок.Предложение 9 Пусть t∗ ∈ (t∗1 , t∗2 ), j ∈ J(t∗ ). Предположим, чтоU(t∗ ) ∩ {u : Γj2 (u, t∗ ) = 0} = ∅,(43)Тогда, µj2 (t) является постоянной в окрестности точки t∗ , то есть ∃ δ =δ(t∗ ) > 0 : µj2 (t) = µj2 (t∗ ) ∀ t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].Доказательство. В силу (35) существуют векторы u+ ∈ U + (t∗ ) ∩ G − (t∗ ) иu− ∈ U − (t∗ ) ∩ G + (t∗ ). Тогда из (43) следует, что Γj2 (u+ , t∗ ) < 0 и Γj2 (u− , t∗ ) > 0.Далее из Следствия 1 получаем, что функция µj2 имеет линейный рост в точкеt∗ .43Покажем, что существует число δ > 0 такое, что`(Tj ∩ [t∗ − δ, t∗ + δ]) = 0.Здесь Tj = {t ∈ T : j ∈ J(t)}. Действительно, в противном случае`(Tj ∩ [t∗ − δ, t∗ + δ]) > 0 ∀ δ > 0.(44)Функция g2j (t), будучи абсолютно непрерывной, достигает своего максимального значения в каждой точке t ∈ Tj .

Таким образом, для почти всех t ∈ Tjпроизводная этой функции равна нулю. Следовательно,dg2jdt (t)= Γj2 (t) для почтивсех t. Таким образом, Γj2 (t) = 0 для почти всех t ∈ Tj . Теперь, (44) противоречит (43) ввиду определения замыкания по мере. Следовательно, необходимоечисло δ существует.Уменьшая, если необходимо, число δ, можно гарантировать, что условие(43) выполняется для всех t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ], а не только в одной точке t∗ .

Этовозможно в силу полунепрерывности сверху отображения U(t) и непрерывностиΓj2 . Тогда, используя рассуждения, приведенные выше, получаем, что µj2 имеетлинейный рост в каждой точке [t∗ − δ, t∗ + δ]. Более того, ввиду оценки изСледствия 1, этот рост равномерен. Тогда µ2 (t) липшицева на этом интервале.Однако, носитель µj2 лежит во множестве Tj , которое имеет нулевую меру. Этодоказывает, что µj2 является постоянной.Предложение 10 Пусть t∗ ∈ [t∗1 , t∗2 ), j ∈ J(t∗ ).

Предположим, чтоU + (t∗ ) ∩ {u : Γj2 (u, t∗ ) = 0} = ∅.(45)Тогда функция µj2 (t) является постоянной справа в окрестности t∗ , то есть∃ δ = δ(t∗ ) > 0 : µj2 (t) = µj2 (s) ∀ t, s ∈ (t∗ , t∗ + δ).Если t∗ ∈ (t∗1 , t∗2 ] и U − (t∗ ) ∩ {u : Γj2 (u, t∗ ) = 0} = ∅, тогда ∃ δ = δ(t∗ ) > 0 :µj2 (t) = µj2 (s) ∀ t, s ∈ (t∗ − δ, t∗ ).Доказательство. Докажем, что µ2 (t) является постоянной справа. Используя условие (45) и тот факт, что U + (t∗ ) = Limsup U(t), выберем число δ такое,t→t∗ +44чтоU(t) ∩ {u : Γj2 (u, t) = 0} = ∅ ∀ t ∈ (t∗ , t∗ + δ).Тогда из Предложения 4 следует, что µj2 является постоянной в окрестностикаждой точки t ∈ Tj ∩ (t∗ , t∗ + δ).

Из условия (a) ПМ не трудно получить, чтоµj2 является постоянной на (t∗ , t∗ + δ).Доказательство слева от точки t∗ аналогично.Доказательство Теоремы 3. Из Предложения 8 и Леммы 2 сразу следует ii). Таким образом, µ2 непрерывна на (t∗1 , t∗2 ). Будем использовать это ниже.Далее, покажем, что в предположениях слабой регулярности выполненоусловие нетривиальности (13). Предположим, что (13) нарушается. Тогда, λ0 =∂g120 и ∃ t0 ∈ T : ψ(t0 ) − µ2 (t0 ) ∂g∂x (t0 ) = a ∂x (t0 ), где a есть некоторый вектор изRd(g1 ) .

В силу Замечания 3.1 из [54], получаем, что множители Лагранжаλ, ψ̃(t) := ψ(t) − (a, µ2 (t0 ))∂g(t), µ̃(t) := µ(t) − (a, µ2 (t0 )), ν∂xудовлетворяют всем условиям ПМ кроме условия б).Вначале предположим, что t0 ∈ (t∗1 , t∗2 ). Рассмотрим произвольную точкуt∗ ∈ (t∗1 , t∗2 ) такую, что µ̃2 (t∗ ) = 0. Установим существование положительныхчисел δ и const, где const не зависит от t∗ , таких, что|µ̃2 (t)| ≤ const |ψ̃(t)| для почти всех t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].(46)Пусть выполняется предположение 1) теоремы.

Тогда отображение J(t)является постоянным справа и слева от точки t∗ . Поэтому, существует число δтакое, что J(t) = J(s) = Q ∀ t, s ∈ (t∗ , t∗ + δ). Тогда, µ̃j2 (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ , t∗ + δ]∀ j ∈ J(t∗ ) \ Q. (Здесь мы пользуемся непрерывностью µj2 и условием a) ПМ.)Для j ∈ Q имеем g2j (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ , t∗ + δ]. Поэтому, существует вектор u∗ ∈U + (t∗ ): Γj2 (u∗ , t∗ ) = 0 ∀ j ∈ Q.Выберем вектор d, соответствующий u∗ , t∗ из определения слабой регулярности оптимального процесса, и умножим равенство (11) на вектор −d. Тогдаучитывая монотонность µj2 и тот факт, что µ̃j2 (t) ≤ 0, где t ≥ t∗ , уменьшая при45необходимости δ, получаем оценку (46) справа от t∗ .

(См. подробнее в [56], Теорема 4.5). Выполняя те же самые рассуждения слева от точки t∗ , но умножая(11) на вектор d, а не на −d, получаем оценку (46) слева от точки t∗ . Константаconst не зависит от t∗ в силу стандартных соображений компактности и слабойрегулярности.Пусть выполняется предположение 2) теоремы. В этом случае, если существует вектор u∗ ∈ U + (t∗ ): Γj2 (u∗ , t∗ ) = 0, j ∈ J(t∗ ), проведем все те же самыерассуждения, что и в случае 1). Если такого вектора не существует, тогда в силунепрерывности µ̃j2 и Предложения 10 получаем, что µ̃j2 (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ , t∗ +δ] длянекоторых δ > 0. Значит имеем оценку (46) справа от t∗ .

Проводя рассужденияслева от точки t∗ , получаем (46) слева.Таким образом, (46) доказано. Из слабой регулярности процесса и (46)несложно вытекает оценка|µ̃1 (t)| + |ν(t)| ≤ const |ψ̃(t)| для почти всех t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].(47)Теперь докажем, чтоψ̃(t) = 0,µ̃2 (t) = 0 ∀ t ∈ (t∗1 , t∗2 ).(48)Заметим, что обе функции непрерывны на рассматриваемом интервале. Далее,принимая во внимание, что множество нулей вектор-функции (ψ̃, µ̃2 ) не пусто(точка t0 принадлежит множеству нулей), для доказательства (48) достаточноустановить что, если ψ̃(t∗ ) = 0 и µ̃2 (t∗ ) = 0, то найдется число δ > 0 такое, чтоψ̃(t) = 0, µ̃2 (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].

Однако последнее является следствиемнеравенства Гронуолла, (6) и неравенств (46) и (47).Ясно, что (47) и (48) влечет µ̃1 = 0, ν = 0.Из условий трансверсальности (7), (10), и определения H̄, получаем:∂l∗∗s+1 ∂lmax∗ (−1)(p , λ), ϕ(u, ts ) = (−1)s (p∗ , λ), s = 1, 2.(49)∂xs∂tsu∈Ω(ts )Из (48), в силу условий трансверсальности (7), получаем(−1)s∂l ∗∂g2 ∗(p , λ) = µ̃2 (t∗s )(t ), s = 1, 2.∂xs∂xs s46Аналогично, в силу (10) и непрерывности h,(−1)s∂l ∗∂g2 ∗(p , λ) = µ̃2 (t∗s )(t ), s = 1, 2.∂ts∂ts sВ итоге, µ̃2 (t∗1 ) ≥ 0 и µ̃2 (t∗2 ) ≤ 0 в силу условия в) ПМ и того факта, что µ̃2 (t) =0 ∀ t ∈ (t∗1 , t∗2 ).

Поэтому, подставляя полученные формулы в (49), используяусловия управляемости в p∗ (которые выполняются благодаря Предложению 7),получаем µ̃2 (t∗1 ) = µ̃2 (t∗2 ) = 0. Следовательно, µ̃2 = 0 и тогда µ2 (t) = µ2 (t0 ) ∀ t ∈∗1T ⇒ µ2 = 0 в силу условия б). Поэтому ψ(t0 ) ∈ im ∂g∂x (t0 ). А это противоречит(5) и Теореме 1.

Значит, (13) доказано.Случай, когда t0 = t∗1 или t0 = t∗2 рассматривается аналогично, но в опреде∗−лении µ̃2 из µ2 вычитаем µ2 (t∗+1 ) или µ2 (t2 ) соответственно, а не µ2 (t0 ). Утвер-ждение i) доказано.Утверждение iii) доказывается полностью аналогично утверждению iii)Теоремы 2.Далее покажем, что µ̄2 удовлетворяет (14). Предположим, что выполняется 1). Рассматривая интервалы, где J(t) является постоянной, применяя Лемму3, рассматривая конечное покрытие для каждого интервала (оно существуетблагодаря равномерной оценке на ∆t) и осуществляя те же самые выкладки,что и при доказательстве пункта iv) Теоремы 2, выводим оценку (14).Предположим, что выполняется 2). В силу условия J(t) ≤ 1 ∀ t ∈ T иполунепрерывности сверху J(t) существует число ε0 > 0 такое, что |t − s| > ε0 ,как только |J(t)| = |J(s)| = 1 и J(t) 6= J(s). Следовательно, если J(t∗ ) 6= ∅,тогда ε(t∗ ) > ε0 .

Теперь проведем выкладки аналогичные выкладкам доказательства пункта iv) Теоремы 2. (Разница лишь в том, что вместо δ нужно взятьmin{δ, ε0 }). Условие (14) получено.Теорема доказана.471.4Липшицевость µ2 (t).В предыдущих разделах при определенных условиях регулярности была установлена гельдеровость функции распределения меры-множителя Лагранжа µ2 (t).Однако, монотонная гельдерова функция может не быть абсолютно непрерывной. Например, для каждого α ∈ (0, 1), легко построить канторову лестницу, которая гельдерова с показателем α. Но канторова лестница, как известно,не является абсолютно непрерывной.

Характеристики

Список файлов диссертации