Диссертация (1155108), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Действительно, для этой редукции необходимо решить неявную системуΓ1 (x∗ (t), u, t) = 0 в окрестности точки (u∗ , t∗ ) относительно части переменныхu1 , u2 , ..., um . Тем самым локально относительно (u∗ , t∗ ) сведем условия принципа максимума к случаю, когда d(g1 ) = 0.Предложение доказано.Лемма 2 Пусть t∗ ∈ (t∗1 , t∗2 ), j ∈ J(t∗ ). Существует число c = c(t∗ ) > 0такое, что для ∆t > 0 справедливы следующие оценки.Если x∗ (t) выходит негладко на границу j-ого фазового ограничения вточке t∗ , тогда справедлива оценка линейного роста справа:|µj2 (t∗ + ∆t) − µj2 (t−∗ )| ≤ c · ∆t.Аналогично, в случае негладкого схода с границы j-ого фазового ограничения,справедлива оценка линейного роста слева:|µj2 (t∗ − ∆t) − µj2 (t+∗ )| ≤ c · ∆t.Доказательство.
Сначала докажем оценку линейного роста справа. Если выход на границу j-ого фазового ограничения негладкий, то существует ∂gj 2jвектор v ∈ D− (t∗ ): ∂g(t),v+ ∂t2 (t∗ ) > 0. В силу Предложения 3, имеем∂x ∗v ∈ conv ϕ(U − (t∗ ), t∗ ). Тогда , по теореме Каратеодори, существуют векторыPui ∈ U − (t∗ ) и числа αi ≥ 0, i = 1, .., n + 1 такие, что n+1i=1 αi = 1 иv = α1 ϕ(u1 , t∗ ) + α2 ϕ(u2 , t∗ ) + ... + αn+1 ϕ(un+1 , t∗ ).Применяя к каждому вектору ui Предложение 4, получаем оценкуd(g2 )XΓk2 (ui , t∗ ) · ∆+µk ≤ O(∆t) = C∆t.k=1Здесь ∆+µk = |µk2 (t∗ + ∆t) − µk2 (t−∗ )| и константа C не зависит от i и t∗ . Умножаяпоследнее неравенство на αi и суммируя по i = 1, .., n+1, принимая во внимание28определение Γ2 , получаем оценку:d(g2 )DXk=1Однако,E ∂g k∂g2k2(t∗ ), v +(t∗ ) ·∆+µk ≤ O(∆t).∂x∂t(21) ∂g2k(t),v+ ∂t (t∗ ) ≥ 0 ∀ k ∈ J(t∗ ).
Для всех k, которые не принадле∂x ∗ ∂g2kжат множеству J(t∗ ), имеем ∆+µk = 0 для малых ∆t. Таким образом, из (21)следует неравенство∂g2j(t∗ ), v +(t∗ ) ·∆+µj ≤ O(∆t).∂x∂t 2j ∂g2jОтсюда, поскольку ∂g(t),v+ ∂t (t∗ ) > 0, следует линейный рост µj2 справа.∂x ∗D ∂g j2EЛинейный рост слева выводится аналогично.Поскольку экстремальный процесс регулярен, то из соображений компактности, существует такое число k > 0, что для всех (u, t) ∈ Gr U, найдетсяjединичный вектор d = d(u, t) ∈ Rm такой, что d ∈ ker ∂r∂u (u, t) ∀j ∈ I(u, t),1d ∈ ker ∂Γ∂u (u, t) и ∂Γj2(u, t), d > k ∀j ∈ J(t).∂u(22)Следующее утверждение является развитием Предложения 4 на второйпорядок.Предложение 5 Существуют числа C, δ > 0 такие, что для произвольныхt∗ ∈ (t∗1 , t∗2 ), u∗ ∈ U − (t∗ ) найдется такой единичный вектор d∗ = d∗ (u∗ , t∗ ) ∈Rm , удовлетворяющий условиям регулярности (22) в точке u = u∗ , t = t∗ ,что∂rjd∗ ∈ ker(u∗ , t∗ ) ∀j ∈ I(u∗ , t∗ ),∂u∂Γ1d∗ ∈ ker(u∗ , t∗ ),∂u(23)(24)и для ∆t ∈ (0, δ) справедливы следующие оценки.Если u∗ ∈ U − (t∗ ), тоd(g2 )Xj=1+ j∆µ ·Γj2 (u∗ , t∗ )√+∆t ·D ∂Γj2∂uE(u∗ , t∗ ), d ≤ C · ∆t.(25)29Если u∗ ∈ U + (t∗ ), тоd(g2 )X− j∆µ ·Γj2 (u∗ , t∗ )√+∆t ·j=1D ∂Γj2∂uE(u∗ , t∗ ), d ≥ −C · ∆t.(26)jj +− jЗдесь ∆+µj = |µj2 (t∗ + ∆t) − µj2 (t−∗ )|, ∆ µ = |µ2 (t∗ − ∆t) − µ2 (t∗ )|.Доказательство.
Доказательство проведем по аналогии с доказательствомПредложения 4. Предположим, что d(g1 ) = 0 (общий случай рассматриваетсяпо аналогии с Предложением 4). Докажем (25). Пусть u∗ ∈ U − (t∗ ). Рассмотриммножество E − , соответствующее точке (u∗ , t∗ ) из Предложения 2. Таким образом, `(E − ∩ [t∗ − ε, t∗ ]) > 0 ∀ ε > 0 и u∗ (ti ) → u∗ как только ti ∈ E − , ti → t−∗.Для любого εi = i−1 выберем точку ti ∈ E − ∩ [t∗ − εi , t∗ ) так, чтобы в ней выполнялись условие оптимальности (8) и условие Эйлера-Лагранжа (11). Далее,поскольку функция h(t) непрерывна, и µ2 (t) непрерывна слева в t∗ при i → ∞,имеем:∗H̄(u (ti ), ti ) = h(ti ) → h(t∗ ) ⇒так как H̄(u (ti ), ti ) → H̄(u∗ , t∗ ) ⇒∗H̄(u∗ , t∗ ) = h(t∗ ).(27)Покажем, что существуют числа δ, α0 > 0 такие, что для всех (u, t) ∈ Gr Uсуществуют векторы q = q(u, t), d = d(u, t), удовлетворяющие соответственно(2), (22), такие, что√u + ∆t · d − ∆t · α0 q ∈ U (t + ∆t) ∀ ∆t ∈ (0, δ) : t + ∆t ∈ T.(28)Действительно, ∀ α ∈ R очевидно, что√√r(u + ∆t · d − ∆t · αq, t + ∆t) ≤ r(u + ∆t · d − ∆t · αq, t) + const ·∆t,где постоянная const > 0 не зависит от u, t, d, q, α и ∆t, если предполагается,что α∆t ≤ 1 и ∆t < 1.Воспользуемся разложением в ряд Тейлора до второго порядка:√rj (u + ∆t · d − ∆t · αq, t) = rj (u, t) +D jED jE√∂r∂r+ ∆t · ∂u (u, t), d − ∆t · ∂u (u, t), αq + O(∆t) + o(∆t).30Функция O(∆t) не зависит от числа α, в отличие от функции o(∆t) (в этоми есть смысл записи O + o).
Следовательно, для некоторых фиксированныхu, t, d, q и j ∈ I(u, t), используя (23) и регулярность смешанных ограничений, в jсилу которой ∂r(u,t),q> 0, получаем, что существует достаточно большое∗∗∂uчисло α0 > 0 и малое число δ > 0 такие, чтоjr (u +√∆t · d − ∆t · α0 q, t∗ + ∆t) < 0∀ ∆t ∈ (0, δ) : t + ∆t ∈ T.Отсюда, используя условие компактности, полунепрерывность сверху многозначного отображения I, и Определение 9, получаем, что числа α0 , δ могутбыть выбраны одинаковыми для всех (u, t) ∈ Gr U, где векторы d, q зависят отu, t.
Таким образом, получено (28).Возьмем d∗ = d(u∗ , t∗ ), q∗ = q(u∗ , t∗ ). Умножая равенство (11) на векторd∗ , учитывая (23) и (12), для больших i получаем ∂ H̄ ∗ ∂ H̄∂r(u (ti ), ti ), d∗ = ν(ti ) (u∗ (ti ), ti )d∗ → 0⇒(t∗ ), d∗ = 0. (29)∂u∂u∂u√Обозначим ∆u = ∆u(∆t) = ∆t · d∗ − ∆t · α0 q∗ . Теперь, из определенияh(t), используя (28) и тот факт, что в силу (9) функция h(t) липшицева, и,используя (27), для всех ∆t ∈ (0, δ) имеем:H̄(u∗ + ∆u, t∗ + ∆t) − H̄(u∗ , t∗ ) ≤ O(∆t) ⇒H(u∗ + ∆u, t∗ + ∆t) − H(u∗ , t∗ ) − − µ2 (t∗ + ∆t), Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ + ∆t) + µ2 (t∗ ), Γ2 (u∗ , t∗ ) ≤ O(∆t).Прибавляя и вычитая из левой стороны неравенства H(u∗ +∆u, t∗ ), µ2 (t∗ ), Γ2 (u∗ +∆u, t∗ + ∆t) , и раскладывая в ряд Тейлора, получаем:DE ∂H+(u,t),∆u+∆µ,Γ(u+∆u,t+∆t)−∗ ∗2 ∗∗∂u(30)2− µ(t∗ ), Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ + ∆t) − Γ2 (u∗ , t∗ ) ≤ O(∆t) + O(|∆u| ).Здесь, ∆+µ = (∆+µ1 , ∆+µ2 , ..., ∆+µd(g2 ) ). Очевидно, что ∆+µ ≥ 0.31Опять же путем преобразований и разложения получаем:Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ + ∆t) = Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ + ∆t) − Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ ) ++ Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ ) − Γ2 (u∗ , t∗ ) + Γ2 (u∗ , t∗ ) == O(∆t) + Γ2 (u∗ + ∆u, t∗ ) − Γ2 (u∗ , t∗ ) + Γ2 (u∗ , t∗ ) == Γ2 (u∗ , t∗ ) +∂Γ2∂u (u∗ , t∗ )∆u+ O(∆t) + O(|∆u|2 ).Подставляя это выражение в (30), получаем оценкуD ∂HE DE∂Γ2∂Γ2+(u∗ , t∗ ) − µ2 (t∗ )(u∗ , t∗ ), ∆u + ∆ µ, Γ2 (u∗ , t∗ ) +(u∗ , t∗ )∆u =∂u∂u∂uE DED ∂ H̄∂Γ2+(u∗ , t∗ ), ∆u + ∆ µ, Γ2 (u∗ , t∗ ) +(u∗ , t∗ )∆u ≤ O(∆t) + O(|∆u|2 ).=∂u∂uИз (29) получаем∂Γ2+∆ µ, Γ2 (u∗ , t∗ ) +(u∗ , t∗ )∆u ≤ O(∆t) + O(|∆u|2 ) = O(∆t).∂uОтсюда и из определения ∆u получаем оценку (25) и существование требуемойконстанты C > 0.
Очевидно, что константа C может быть выбрана независимо от t∗ u∗ , так как все функции O были получены в результате разложенияфункций H, Γ2 , ν в ряд Тейлора в непосредственной близости от экстремальныхзначений, и, следовательно, из-за свойств этих функций, приведенные вышерассуждения и оценки являются равномерными по t. Оценка (26) доказываетсяаналогично. Обозначим через ε(t∗ ) наибольшее положительное число ε > 0 такое, чтоJ(t) ⊆ J(t∗ ) ∀ t ∈ (t∗ − ε, t∗ + ε), значение +∞ включая.
(Будем считать, чтоx∗ (t) = x∗2 ∀ t > t∗2 и x∗ (t) = x∗1 ∀ t < t∗1 ). Многозначное отображение J(t)полунепрерывно сверху, поэтому число ε > 0 существует (оно зависит от t∗ ).Лемма 3 Существуют числа C, δ > 0 такие, что для произвольных t∗ ∈(t∗1 , t∗2 ) и ∆t ∈ (0, min{δ, ε(t∗ )}) выполняются следующие оценки.Оценка корневого роста справа:|µ2 (t∗ + ∆t) − µ2 (t−∗ )| ≤ C ·√∆t.32Оценка корневого роста слева:|µ2 (t∗ − ∆t) −µ2 (t+∗ )|≤C·√∆t.Доказательство. Докажем оценку корневого роста справа. Выберем t∗ ипроизвольный вектор v ∈ D− (t∗ ). Из Предложения 3 v ∈ conv ϕ(U − (t∗ ), t∗ ).
Потеореме Каратеодори существуют такие векторы ui ∈ U − (t∗ ) и числа αi ≥ 0,Pi = 1, .., n + 1 такие, что n+1i=1 αi = 1 иv = α1 ϕ(u1 , t∗ ) + α2 ϕ(u2 , t∗ ) + ... + αn+1 ϕ(un+1 , t∗ ).Применяя Предложение 5 к каждой паре t∗ , ui , получаем, что существует единичный вектор di , удовлетворяющий (22), такой, чтоd(g2 )X+ j∆µ ·Γj2 (ui , t∗ )√+∆t ·j=1D ∂Γj2∂u(ui , t∗ ), diE≤ c · ∆t.Это неравенство справедливо для ∆t ∈ (0, δ). Числа c, δ не зависят отi, t∗ .
Умножим это неравенство на αi и затем просуммируем по i = 1, .., n + 1.Принимая во внимание определение Γ2 , получаем:d(g2 )X+ j∆µ ·j=1Однако,Dn+1EX D ∂Γj√∂g2j2αi(t∗ ), v +(t∗ ) + ∆t ·(ui , t∗ ), di≤ c · ∆t.∂x∂t∂ui=1D ∂g jE2∂g2j∂x (t∗ ), vEj2+ ∂g∂t (t∗ ) ≥ 0 ∀ j ∈ J(t∗ ). Для тех j, которые не принадлежатмножеству J(t∗ ),имеем ∆+µj = 0 ∀ ∆t ∈ (0, ε(t∗ )). Следовательно, применяя(22) при ∆t ∈ (0, min{δ, ε(t∗ )}), получаем оценкуd(g2 )X√κ ∆t ·∆+µj ≤ c · ∆t,j=1из которой следует оценка корневого роста справа при C = k −1 c.Оценка корневого роста слева µ2 доказывается аналогично.Доказательство Теоремы 2.Утверждение ii) уже получено в Леммах 2 и 3.33Докажем i).
Предположим, что (13) нарушается. Тогда, λ0 = 0 и ∃ t0 ∈ T :∂g1d(g1 )2ψ(t0 ) − µ2 (t0 ) ∂g. Вначале∂x (t0 ) = a ∂x (t0 ), где a есть некоторый вектор из Rпредположим, что t0 ∈ (t∗1 , t∗2 ). В силу Замечания 3.1 из [54], получаем, чтомножители Лагранжаλ, ψ̃(t) := ψ(t) − (a, µ2 (t0 ))∂g(t), µ̃(t) := µ(t) − (a, µ2 (t0 )), ν∂xудовлетворяют всем условиям ПМ кроме условия б).Рассмотрим произвольную точку t∗ ∈ (t∗1 , t∗2 ) такую, что µ̃2 (t∗ ) = 0. Установим существование положительных чисел δ и const, где const не зависит отt∗ , таких, что|µ̃2 (t)| ≤ const |ψ̃(t)| для почти всех t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].(31)Выберем произвольное u∗ ∈ U(t∗ ) и вектор d, соответствующий u∗ , t∗ всилу Oпределения 9.
Умножим равенство (11) на вектор −d. Тогда учитываямонотонность µj2 и тот факт, что µ̃j2 (t) ≤ 0, где t ≥ t∗ , уменьшая при необходимости δ, получаем оценку (31) справа от t∗ . (См. подробнее в [56], Теорема4.5). Выполняя те же самые рассуждения слева от точки t∗ , но умножая (11)на вектор d, а не на −d, получаем оценку (31) слева от точки t∗ .Таким образом, (31) доказано.
Из регулярности процесса и (31) несложновытекает оценка|µ̃1 (t)| + |ν(t)| ≤ const |ψ̃(t)| для почти всех t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].(32)Теперь докажем, чтоψ̃(t) = 0,µ̃2 (t) = 0 ∀ t ∈ (t∗1 , t∗2 ).(33)Заметим, что обе функции непрерывны на рассматриваемом интервале.Далее, принимая во внимание, что множество нулей вектор-функции (ψ̃, µ̃2 )не пусто (точка t0 принадлежит множеству нулей), для доказательства (33)достаточно установить что, если ψ̃(t∗ ) = 0 и µ̃2 (t∗ ) = 0, то найдется число δ > 034такое, что ψ̃(t) = 0, µ̃2 (t) = 0 ∀ t ∈ [t∗ − δ, t∗ + δ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
