Диссертация (1155108), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Поэтому t∗δ > 0. ясно также, чтов силу 2) будет t∗δ < σ.Применим к задаче (67) необходимые условия экстремума из [69]. Существуют число λ0δ ≥ 0, вектор λδ ∈ NS (ζδ ), где ζδ = ϕ(x∗δ ) − t∗δ ȳδ − yδ , и векторыaδ , bδ ∈ B1 (0) такие, чтоλ0δ (c−1 aδ + 2p|yδ | · bδ ) + ϕ0∗ (x∗δ )λδ = 0,(69)λ0δ |ȳδ | = λδ , ȳδ ,(70)λ0δ + |λδ | = 1.(71)73Здесь, получая условие (70), мы уже учли (68). Из (70), поскольку ȳδ 6= 0,выводим, что λ0δ ≤ |λδ |. Но из (71) λ0δ = 1 − |λδ |. Поэтому1|λδ | ≥ .2(72)Возьмем последовательные пределы при δ → 0 и потом при c → ∞.
Переходя кподпоследовательности, в виду (71) и (72), можно считать, что λδ → λ 6= 0: λ ∈NS . Переходя к пределу в (69) при δ → 0, c → ∞ получим, что ϕ0∗ (x∗ )λ = 0, чтопротиворечит условию Робинсона. Поэтому функция ϕ метрически регулярнаотносительно S.Если предположить, что Y банахово или даже гильбертово, то утверждение Теоремы 8 уже неверно. Действительно, с одной стороны, известно, что вбанаховых пространствах принцип Лагранжа для задачи условной минимизации функции f (x) при ограничениях ϕ(x) = 0 уже неверен, если образ оператора ϕ0 (x0 ) незамкнут.
Здесь x0 – точка локального минимума. Но с другойстороны, принцип Лагранжа есть следствие Теоремы 8.9 Поэтому Теорема 8неверна для общих отображений ϕ одного банахова пространства в другое. Более того, даже в предположении замкнутости образа производной, метод доказательства встречает серьезные трудности, когда Y банахово.
Эти трудности,которые связаны с потерей компактности, потерей проекции на S и др., вообще говоря, совершенно неясно как преодолевать. По всей видимости, на этомнаправлении не стоит ожидать какого-либо общего утверждения без дополнительных априорных и предположений на пространство Y и множество S (см.[69]).9Действительно, отображение (f, ϕ) не может быть метрически регулярным относительно множества{f (x0 )} × {0} в точке x0 в силу свойств локального минимума. Поэтому из Теоремы 8 для (f, ϕ) нарушаетсяусловие Робинсона.
Однако отрицание этого условия и есть принцип Лагранжа.743.2ПриложенияЕстественные приложения результатов, подобных Теореме 8, лежат в областиоптимального управления. Рассмотрим управляемую динамическую систему:ẋ = f (x, u), t ∈ [0, 1], x(0) = 0 ∈ Rn , u(·) ∈ L∞ ([0, 1]).Пусть S – замкнутое подмножество Rn , содержащее нуль, которое можети не иметь гладкой структуры.
Например, “еж”, полученный объединением всехкоординатных осей в Rn . На плоскости это будет “крест”.Пусть система обладает состоянием покоя, т.е. нулевым решением x(t) = 0при некотором u0 (·) ∈ L∞ ([0, 1]).Представим, что означенный выше “еж” не жестко закреплен в нуле исовершает некоторые колебания в малой окрестности нуля, переходя, соответственно, во множество y + S при малых по норме y.
Тогда представляетсянебезынтересным вопрос о том, а при каком условии мы всегда сможем попастьв “ежа”, причем при любом его малом отклонении от нуля y? Такая постановказадачи носит явный инженерный характер. Если ответ на этот вопрос положительный, то система называется локально управляемой относительно S.Ответ на поставленный вопрос и дается, очевидно, условием Робинсона(63), записанным для отображения ϕ(u) = x(1) : L∞ ([0, 1]) → Rn и множестваS. В точке покоя необходимо вычислить оператор L = ϕ0 (u0 ) : L∞ ([0, 1]) →Rn . Известно, что Lδu = δx(1), где δx(t) есть решение уравнения в вариациях(линеаризованной системы):˙ = f 0 (0, u0 (t))δx + f 0 (0, u0 (t))δu, δx(0) = 0, δu ∈ L∞ ([0, 1]).δxxuДалее необходимо вычислить im L.
Пересечение ортогонального дополнения к образу (im L)⊥ со множеством NS (0) – т.е. с нормальным конусом к S в нуле (это множество, как правило, легко вычисляется), должно быть тривиально.Тогда в рассмотренной системе будет локальная управляемость относительномножества S.75ЗаключениеПеречислим основные результаты диссертационной работы:• Получены достаточные условия непрерывности функции распределениямеры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенстви неравенств.• Получены достаточные условия липшицевости функции распределения мерымножителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств.• Изучены свойства кратчайшей кривой в сложной области, и, в частности,доказано, что кратчайшая кривая в сложной области является функциейкласса W2,∞ .
Получено уравнение кратчайшей кривой для сложной области в общем случае.• Доказан модифицированный вариационный принцип Экланда, и исследованы его применения к изучению свойств метрической регулярности отображения банахова пространства в евклидово пространство относительнозамкнутого подмножества евклидового пространства. Изучены приложения к теории задач оптимального управления с ограничениями.76Список условных обозначенийconst – положительная константа;conv A – выпуклая оболочка множества A;cl A – замыкание множества A;d(x, S) – расстояние от точки x до множества S;d(g) – размерность вектора g;det A – определитель матрицы A;Gr U – график многозначного отображения U ;im A – образ оператора A;ker A – ядро оператора A;` – мера Лебега на R;NS (y) – нормальный предельный конус ко множеству S в точке y;Rn – n-мерное вещественное пространство;rank A – ранг матрицы A;U – замыкание по мере экстремального управления;k · kX – норма в банаховом пространстве X.77Список литературы[1] Аграчев А.
А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. – М.:Физмалит, 2005. – 392 c.[2] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.–М.: Физматлит, 2007. – 408 с.[3] Арнольд В. И. Теория катастроф. – М. : Наука, 1990. – 128 c.[4] Арутюнов А. В., Тынянский Н. Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. – 1984.
– N4. – С. 60 – 68.[5] Арутюнов A. В. К необходимым условиям оптимальности в задаче с фазовыми ограничениями // Докл. АН СССР. – 1985. – Т. 280, N 5. – С. 1033 –1037.[6] Арутюнов А. В. К теории принципа максимума в задачах оптимальногоуправления с фазовыми ограничениями // Докл.
АН СССР. – 1989. – Т.304, N 1. – С. 11 – 14.[7] Арутюнов А. В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи.– М.: Факториал, 1997.[8] Арутюнов А. В., Карамзин Д. Ю., Перейра Ф. Принцип максимума длязадач оптимального управления при ограниченных фазовых координатахв форме Р.В. Гамкрелидзе и его связь с другими условиями оптимальности// Доклады Академии наук. – 2011. – T.
436, N 6. – C. 738 – 742.[9] Арутюнов А. В. Свойства множителя Лагранжа в принципе максимумаПонтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, N 12. – С. 1621 –1630.78[10] Арутюнов А. В., Карамзин Д. Ю., Перейра Ф. Л. Условия отсутствия скачка решения сопряженной системы принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями // Тр. ИММ УрО РАН.– 2014. – Т. 20, N 4. – C. 29 – 37.[11] Арутюнов А. В., Карамзин Д.
Ю. Принцип максимума в задаче оптмального управления с фазовыми ограничениями типа равенств // Дифференциальные уравнения. – 2015. – Т. 51, N 1. – С. 34 – 47.[12] Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Милютин А. А., Чуканов С. А. Необходимое условие в оптимальном управлении. – М.: Наука, 1990. – 320 с.[13] Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщенный методмоментов в задачах оптимального управления. – М.: Изд-во МГУ, 1989.
–142 с.[14] Васильев Ф. П., Осипов Ю. С., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 237 с.[15] Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М., Разгулин А.В. Приближенное решение двойственных задач управления и наблюдения. – М.:МАКС Пресс, МГУ, 2010. – 384 с.[16] Васильев Ф. П.
Методы оптимизации. Кн. 2. – М.: МЦНМО, 2011. – 433 с.[17] Гамкрелидзе Р. В. Оптимальные по быстродействию процессы при ограниченных фазовых координатах // Докл. АН СССР. – 1959. – Т. 125, N 3. –С. 475 – 478.[18] Гамкрелидзе Р. В. Оптимальные процессы управления при ограниченныхфазовых координатах // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1960. – Т. 24, N 3.– C. 315 – 356.79[19] Гончарова Е. В., Старицын М.
В. Задача оптимального импульсного управления с фазовыми и смешанными ограничениями // Доклады академиинаук. – 2011. – Т. 441, N 1. – С. 29 – 32.[20] Горбачева (Давыдова) А. В., Карамзин Д. Ю. Уравнение геодезическойкривой как приложение теории принципа максимума// Теоретические иприкладные задачи нелинейного анализа. – М.: ВЦ РАН, 2014. – C. 138 –147.[21] Горбачева (Давыдова) А. В., Карамзин Д.
Ю. О некоторых свойствах кратчайшей кривой в сложной области // Дифференциальные уравнения. –2015. – Т. 51, N 12. – C. 1647 – 1657.[22] Горбачева (Давыдова) А. В., Карамзин Д. Ю. Исследование вариационныхсистем общего вида // Вестник ТГУ. – 2015. – Т.20, Вып.6. – C. 1755 – 1759.[23] Горбачева А. В., Карамзин Д. Ю. Уточнение условий оптимальности в задачах управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и техническиенауки. – 2016 – Т. 21, Вып.
1. – С. 40 – 55.[24] Горбачева А. В. Непрерывность меры-множителя Лагранжа из принципамаксимума для задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств в условиях слабой регулярности экстремального процесса // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественныеи технические науки. – 2016. –Т. 21, Вып. 1. – C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
