Автореферат (1155071), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теория возмущений линейных операторов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1972.2913областью определения D( AR )  H 1() такой, что aR[u, w]  ( ARu, w) L2 () приu  D( AR ) , w  H 1() .Оператор ( AR ) является генератором аналитической полугруппы, если онсекториальный в следующем смысле (см.31,32):существует число   0 такое, что угол  2  { 0  z ℂ: arg z   2   }содержится в резольвентном множестве оператора ( AR ) и для любого  (0, ) существует M   0 : zI  AR Лемма 1. Оператор ( AR )1Mz( z  2  ) .секториальный в указанном выше смысле.1Замечание 2. Резольвента  zI  AR  существует и в окрестности точкиz  0 . Вместе с леммой 1 это означает, что спектр оператора ( AR ) сдвинутвлево от мнимой оси и имеет место неравенство zI  AR 1M1 z(Re z  0) .Таким образом, мы приходим к основному результату этого пункта –следствию из теоремы 7.Следствие 2.

При   D( AR ) и f  C0 , ( L2 ()) задача (4), (5) имеетединственное решение v( x, t ) , функции vt (, t ) и ARv(, t ) принадлежатпространству C0 , ( L2 ()) , и справедлива оценкаvtC0 , ( L2 ()) ARv C , ( L ())  M R  AR 02L ( )21f (1   )2 (  ))C , ( L0с постоянной M R  0, не зависящей от  ,  и f .б) Параболическое дифференциальное уравнениес нелокальным условием на .В этом подразделе изучается задачаEngel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. – New York: SpringerVerlag, 2000.32Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений.

Пер. с англ. – М.: Мир,1985.3114nvt ( x, t )   aij ( x)vxi x j ( x, t )  a0v( x, t )  f ( x, t ), ( x , 0  t  1),(12)i , j 1S0 v( x, t )  bs ( x)v(s ( x), t ) s 1 [0,1]v t 0  v t    ( x) ,(13)Здесь   ограниченная область в Rn с гладкой границей,   (0,1] , a0 R ,aij , bs  C  (Rn ) , aij ( x)  a ji ( x)  вещественные функции,n aij ( x)i j  0i , j 1( x , 0   Rn ) ,и s (s  1,..., S )  C  - диффеоморфизмы, отображающие некоторую окрестностьU границы  на множества s (U )   . Введем неограниченный операторAГ : D( AГ )  L2 ()  L2 () с областью определенияD( AГ ) H Г2 ()  u  H 2 () :  u( x) bs ( x)u(s ( x))   0s 1 Sдействующий по формулеAГ u( x) n aij ( x)ux xi , j 1i j, u  H Г2 () .Лемма 2.Оператор AГ  a0 I - секториальный при всех достаточно больших a0 .Следствие 3.

Пусть a0  0 достаточно велико. Тогда при всех функциях  H Г2 () и f C0 , ( L2 ()) задача (12), (13) имеет единственное решениеv( x, t ) , функции vt (, t ) и AГ v(, t ) принадлежат пространству C0 , ( L2 ()) , исправедлива оценкаvtC0 , ( L2 ())   AГ  a0 I  v M Г    AГ  a0 I  L2 ( )C0 , ( L2 ())1f (1   )C0 , ( L2 ( )) с постоянной M Г  0, не зависящей от  ,  и f .Третья глава “Нелокальная задача с переменным оператором”.В разделе 3.1 в пространстве C0 , ( E ) изучается разрешимость нелокальнойзадачи (3).15Лемма 3. Пусть A(t ) A1( p)  A(t   ) A1( p) при некоторых 0  t  t   , p[0,1] .Тогда для любых 0  s  t  t   , u  D справедливо тождествоU (t, s)u  U (t  , s   )u .Лемма 4.

Пусть выполняются условия леммы 3. Тогда оператор I U (,0)имеет ограниченный обратный и справедливы неравенства( I U ( ,0))1M ,A(0)( I U (,0))1 A1( )M .E EE EПри выполнении условий леммы 3 и 4 для единственного непрерывнодифференцируемого решенияt00v(t )  v(t,0)( I  v(,0)) {   v(, s) f (s)ds}   v(t, s) f (s)ds1задачи (3) доказывается следующее утверждение.Теорема 8.

Пусть A(0)  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E ) при некоторых0        1, 0    1 . Тогда задача (3) разрешима в C0 , ( E ) и для еёединственного решения v(t ) справедливо неравенствоv C  , ( E )  A()v C  , ( E )  v C ( E ) 0 011A(0)  f ( )  f (0) E f C  , ( E )  ,  (1   )0  где M не зависит от  ,  ,  и f .Теорема 9. Предположим, что A(0)  f ( )  f (0)  E0 , , f  C0 , ( E ) принекоторых 0     , 0      1. Тогда для единственного решения v(t )задачи (3) в C0 , ( E ) справедливо неравенство коэрцитивностиM  ,1f (1   )v C  , ( E )  A()v C  , ( E )  M  A(0)  f ( )  f (0) 0 00C0 , ( E )  ,с M , не зависящей от  ,  ,  и f .

Здесь E0 – банахово пространство,состоящее из всех элементов w  E таких, что конечна норма ,w 0  max e zA(t ) w  sup    ( z   ) (e( z  ) A(t )  e zA(t ) )w .0 z 10 z  z  1EE ,В разделе 3.2 в пространстве C0 ( E  ) исследуется коэрцитивностьнелокальной краевой задачи (3) и доказывается следующее утверждение.Теорема 10. Пусть A(0)  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E  ) при некоторых0          1, 0    1. Тогда существует единственное решение задачи(3), причем A(t )v, v C0 , (E  ), v C (E  ) и справедливо неравенствоv C  , ( E0  ) A()v C  , ( E  )0 v C ( E1f (1)с постоянной M , не зависящей от  ,  ,  ,  и f . M  A(0)  f ( )  f (0) E16  )C  ,0( E  ) В разделе 3.3 доказывается разрешимость нелокальной задачи (3) вгёльдеровых пространствах C ( E ) и C0 , ( E ) .В разделе 3.4 приводятся применения доказанных теорем третьей главы.

Каки в первой главе, рассматриваются три задачи для параболических уравнений.а) Рассмотрим нелокальную краевую задачу для параболического уравнения: v(t , x) 2v(t, x) a(t , x)  v(t, x)  f (t, x), 0  t  1, 0  x  1,x 2 t(14)v(0, x)  v( , x)   ( x), 0  x  1, 0    1,v(t ,0)  v(t,1), v (t,0)  v (t,1), 0  t  1,xxгде a(t , x),  ( x) и f (t , x) достаточно гладкие заданные функции,a(t, x)  a(t  , x)  0 ;   0 – достаточно большое число.Введем банахово пространство C  [0,1] (0    1) всех непрерывных функций ( x), удовлетворяющих условию Гёльдера с нормой ( x   )   ( x). C  [0,1]   C[0,1]  sup0 x x  1Здесь под C[0,1] понимается пространство определенных на [0,1] непрерывныхфункций  ( x) с нормой C[0,1]  max  ( x) .0 x1Tеорема 11.

Для решения нелокальной краевой задачи (14) справедливы оценки 2vvv2t C  , (C  [0,1]) x C  , (C  [0,1]) t C (C 2(   ) [0,1])001f(1) M ( ,  ) C0 , (C  [0,1])1 2 (),a(0, )  ()  f ( , )  f (0, ) x2C 2(   ) [0,1]0      1, 0  2(   )    1, 0    1,vtC  ,0(C 2(  ) [0,1]) 2vx2C  ,0(C 2(  ) [0,1])vtC (C 2(  ) [0,1])1f (1   ) M ( ,  ) C0 , (C 2(  ) [0,1]) 2 (), a(0, )  ()  f ( , )  f (0, )x2C 2(  ) [0,1]0       , 0    1, 0  2(   )    1, 0    1с постоянной M (,  ), не зависящей от  ,  ,  , f и .17б) Пусть   единичный открытый куб, имеющий границу S и принадлежащийn -мерному евклидову пространству Rn (0  xk  1, k  1,..., n) ,    S .Рассмотрим нелокальную задачу для многомерных параболических уравнений: v(t , x) n 2v(t, x)  ar (t , x)  v(t, x)  f (t, x), 0  t  1, x  ( x1,..., xn ) ,xr2r 1 t(15)v(0, x)  v( , x)   ( x), 0    1, x ,v(t , x)  0, x  SЗдесь ar (t , x) , f (t , x) ,  ( x) заданные гладкие функции и ar (t, x)  ar (t  , x)  0 ;  0 – достаточно большое число.Введем банахово пространство C01() (  (1,..., n ),0  xk  1, k  1,..., n) всехнепрерывных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем  (1,..., n ) , k  (0,1) , k  1,..., n и с весом xkk (1 xk  hk )k , 0  xk  xk  hk  1,k  1,..., n , для которых конечна нормаf C  ()  f C () supf ( x1,..., xn )  f ( x1  h1,..., xn  hn ) 0 xk  xk  hk 1, k 1,...,n01nhkk 1 kxkk (1  xk  hk )k .Здесь C () пространство определенных на  непрерывных функций с нормойf C ()  max f ( x) .xTеорема 12.

Для решения нелокальной краевой задачи (15) имеет местоследующее неравенство:n 2v1v M ( ,  ) f C  , (C  ())  2(1)t C  , (C  ()) r 1 xr C  , (C  ())001001001n1 2 (), ar (0, )  ()  f ( , )  f (0, )2   r 1xrC 2(   ) (  )010      1, 0  2(   )    1,   {1,..., n ), 0  k  1, k  1,..., n,где M (,  ) не зависит от  ,  , f и .в) Наконец, рассмотрим нелокальную задачуr v(t , x) v(t , x)ar (t , x) r1  v(t , x)  f (t , x),rnx...x tr 2mn1n0  t  1, x, r  R , r  r1  ...  rn ,nv(0, x)  v( , x)   ( x), 0    1, x  R ,(16)где ar (t, x)  ar (t  , x) , f (t , x) и  ( x) достаточно гладкие заданные функции,  0 – достаточно большое число.18Банахово пространство всех непрерывных функций  ( x) , определенных наR и удовлетворяющих условию Гёльдера с нормой ( x  y )   ( x), C  (Rn )   C (Rn )  supx, yRnyy 0nобозначим через C  (Rn ) (0    1) , где C (Rn ) – банахово пространствоопределенных на Rn непрерывных функций  ( x) с нормой C (Rn )  maxn  ( x) .xRТеорема 13.

Для задачи (16) справедливы неравенства коэрцитивностиvtC  ,0(C  ( Rn ))r 2 m vr1x1 xnrnrC0 , (C  ( Rn ))vt1f  (1   ) M ( ,  ) 1 C0 , (C  ( Rn ))C (C 2 m (   ) ( Rn ))  ()ar (0, ) r1  ()  f ( , )  f (0, )x1 xnrnr 2mr,C 2 m (   ) ( Rn ) 0      1, 0  2m(   )    1, 0    1,vtC0 , (C 2 m (  ) ( Rn ))r 2m vr1x1 xnrnrC  ,0(C 2 m (  ) ( Rn ))1f(1) M ( ,  ) C0 , (C 2 m (  ) ( Rn ))  ()  ar (0, ) r1  ()  f ( , )  f (0, )x1 xnrnr 2 mrvtC (C 2 m (  ) ( Rn ))C 2 m (  ) ( Rn ) 0       , 0    1, 0  2m(   )    1, 0    1с M (,  ), не зависящей от  ,  ,  , f и .ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИСтатьи в научных журналах и сборниках1.

Ашыралыев А., Ханалыев A. Коэрцитивная разрешимость нелокальнойкраевой задачи для параболических уравнений в пространствах гладкихфункций // Известия АН Туркменистана, серия физ.- техн., хим. и геол. наук.– Ашхабад, 1996. – №3. – С. 58–63.2. Ашыралыев А., Ханалыев A. Коэрцитивная оценка в гельдеровых нормахдля параболических уравнений с переменным оператором // Моделированиепроцессов разработки газовых месторождений и прикладные задачитеоретической газогидродинамики. – Aшхабад: Ылым, 1998.

Характеристики

Список файлов диссертации