Автореферат (1155071), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

е. при любом   D( A) доказывается неравенствокоэцитивности для решения этой задачи. При этом  A –производящий оператораналитической полугруппы exp{tA} (t  0) . Задача (2) имеет единственноенепрерывно дифференцируемое решениеv(t )  exp{tA}( I  exp{ A})1{   exp{(  s) A} f (s)ds} 0t  exp{(t  s) A} f (s)ds.0Теорема4.Предположим,A  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E )чтопринекоторых 0     , 0    1 .

Тогда для единственного решения задачи (2)имеем Av, v  C0 , ( E), v  C ( E  ) и выполнено неравенство коэрцитивностиv C  , ( E )  Av C  , ( E )  v C ( E0 0)11A  f ( )  f (0) E f C  , ( E )  ,  (1   )0  где M не зависит от  ,  ,  и f .Далее, в разделе 2.2 исследуется разрешимость нелокальной задачи (2) вбанаховом пространстве C0 , ( E  ) . Доказывается следующее утверждение.M Теорема 5.

Пусть A  f ( )  f (0)  E  , f  C0 , ( E  ) при некоторых0       , 0    1. Тогда существует такое единственное решение задачи(2), что Av, v  C0 , ( E  ), v C (E  ) и справедливо неравенствоv C  , ( E0  ) Av C  , ( E0 M  A  f ( )  f (0) E  v C ( E1f (1   )C  ,  )  )0( E  ) с M , не зависящей от  ,  ,  ,  и f .В разделе 2.3 в гёльдеровых пространствах C ( E ) и C0 , ( E )устанавливается разрешимость нелокальной задачи (2). Если в доказаннойтеореме 4    и   0 , то получаем:Теорема 6. Пусть A  f ( )  f (0)  E , f  C ( E) при некотором 0    1.Тогда существует такое единственное решение задачи (2), чтоAv, v C (E) , v  C ( E ) и справедливо неравенство1v C ( E )  Av C ( E )  v C ( E )  M A  f ( )  f (0) E 1f (1   )с постоянной M , не зависящей от  ,  и f .В весовом пространстве Гёльдера имеет место следующий результат:10C ( E ) Теорема 7.

Пусть   D( A) и f  C0 , ( E ) при некотором 0    1. Тогдазадача (2) разрешима в C0 , ( E ) и справедливо неравенство коэрцитивностиv C , ( E )  Av C , ( E )  M  A E 00с постоянной M , не зависящей от  ,  и f .1f (1   )C , ( E )0nЗамечание 1. Если оператор I   ci exp{i A} имеет ограниченный обратныйi 1в E , то тогда используя те же методы, мы можем получить аналогичныерезультаты для решения более общей нелокальной задачиnv(t )  Av(t )  f (t ) (0  t  1), v(0)   ci v(i )  ,i 1где 0  1  2  ...

 n  1.В разделе 2.4 приводим применения доказанных теорем. Полученные вабстрактной ситуации результаты применяются к двум следующим классамоператоров:а) сильно эллиптическим функционально-дифференциальным операторам срастяжением и сжатием пространственных переменных в ограниченнойобласти   Rn ;б) эллиптическим операторам в ограниченной области   Rn с нелокальными краевыми условиями, связывающими значения функции и её производных на границе области со значениями на некотором компакте внутри области(таким образом, охвачен случай параболических уравнений с нелокальнымиусловиями как по времени, так и по пространственным переменным).Отметим, что смешанные задачи для параболических дифференциальноразностных уравнений со сдвигами пространственных переменных изучалисьметодами теории полугрупп в работах23,24. Начальные задачи для параболических функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием повремени и неограниченными операторными коэффициентами рассматривалисьв работе В.

В. Власова25. В работах А. Л. Скубачевского, Е. И. Галахова и др.параболические уравнения с нелокальными условиями по пространственнымпеременным играют важную роль в теории многомерных диффузионныхпроцессов (см.26 и приведенную там библиографию). А в работах А. Ю. Савинаи Б.Ю. Стернина построена эллиптическая теория (теорема о фредгольмовости)Скубачевский А.Л., Шамин Р.В. Первая смешанная задача для параболического дифференциальноразностного уравнения // Матем. заметки.

– 1999. – Т. 66, № 1. – С. 145–153.24Селицкий А.М., Скубачевский А.Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциальноразностного уравнения // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. – 2007. – Вып. 26. – С. 324–347.25Власов В.В. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и ихспектральный анализ. – Том VIII. Математика. – Вып.1. – М.: Издательство Попечительского Советамеханико-математического МГУ им. М. В. Ломоносова, 2011.26Галахов Е.И., Скубачевский А.Л. О сжимающих неотрицательных полугруппах с нелокальнымиусловиями // Матем.

сб. – 1998. – Т. 189, № 1. – С. 45–78.2311для задач с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем (см.27,28).Далее, через H 1() обозначается пространство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих L2 () вместе с обобщенными производнымипервого порядка, а через H 1 ()  замыкание множества C0 () финитныхбесконечно дифференцируемых функций в H 1() . Пространства H 1() иH 1 ()  гильбертовы со скалярными произведениямиu, wH ()   (uw  uw)dx ,u, wH ()   uwdx .11Пространство H 1 () можно отождествлять с подпространством функций изH 1(Rn ) , равных нулю вне  . В обозначении для нормы оператора  E Eиндекс будем опускать.а) Параболическое функционально-дифференциальное уравнениес растяжением и сжатием пространственных переменных.В этом подразделе рассматривается задачаnvt ( x, t )   ( Rij vxi ( x, t )) x j  f ( x, t ), 0  t  1, x ,(4)i , j 1v t 0  v t    ( x) ,v [0,1]  0.(5)Действие операторов Rij связано только с переменной x , они определяютсяформулойRiju( x)   aijl u(q l x) .(6)lЗдесь   (0,1] и q  1  фиксированныечисла,   Rn  ограниченнаяобласть, содержащая начало координат, aijl  заданные комплексные числа, аf ( x, t ) и  ( x)  заданные комплексные функции.

Индекс l пробегает конечноеподмножество целых чисел и может быть как положительным, так иотрицательным. Если ql x  при некоторых l и x , то считаем u(ql x)  0в (6) (другими словами, функции продолжаются нулём вне  передприменением к ним оператора Rij ). Центральное предположение, связанное соСавин А.Ю., Стернин Б.Ю. Эллиптические задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях скраем // Докл. Акад.

наук. – 2016. – Т. 469, № 2. – С. 154-156.28Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. Эллиптические задачи с растяжениями-сжатиями на многообразиях скраем. C*-теория // Дифференц. уравнения. – 2016. – Т. 52, № 10. – С. 1383-1392.2712nструктурой выражения   ( Rij uxi ( x, t )) x j , состоит в том, что мы требуемi , j 1выполнения неравенства типа ГордингаnRe  (Rijux )ux dx  c1 u L ()  c2 u L ()i , j 1 2ij222(u  C0 ()) ,(7)в котором постоянные c1  0 и c2  0 не зависят от u  C0 () . В работеЛ.

Е. Россовского29 показано, что данное неравенство равносильно алгебраическому неравенствуnRe  aijli j z  0(z  ℂ , zln q2;i , j 1  Rn ,   1) ,(8)причем из (8) вытекает (7) с постоянной c2  0 и постоянной c1 , равнойминимуму выражения слева в (8). В этом подразделе условие (8) будемпредполагать выполненным. Чтобы воспользоваться результатом предыдущейчасти работы, необходимо дать формальное описание оператора, отвечающегоуравнению (4) (в нашем случае это будет постоянный, не зависящий от t ,оператор). Для этого зададим на пространстве L2 () полуторалинейную формуaR [u, w] n (Rijux , wx )L ()ii , j 1j2(9)с плотной в L2 () областью определения D(aR )  H 1() . В силу основногопредположения этого пункта, она удовлетворяет неравенствуRe aR[u, u]  c1 u2L2 ()(u  H 1()) .(10)Кроме того, очевидно, существует постоянная M  0 такая, чтоaR[u, w]  M u2L2 ()2w L ()(u, w  H 1()) .(11)2Из (10) и (11) следует замкнутость полуторалинейной формы и еёсекториальность: значения aR[u, u], 0  u  H 1() , лежат на комплекснойплоскости внутри угла с вершиной в нуле, охватывающего положительнуювещественную полуось и имеющего полураствор argtg  M c1  .

Согласно первойтеореме о представлении (см.30), формой (9) однозначно задается m-секториальный (в смысле Т. Като) оператор AR : D( AR )  L2 ()  L2 () c плотной в L2 ()Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием ирастяжением аргументов неизвестной функции // СМФН. – 2014. – Т.54. – С.3–138.30Като Т.

Характеристики

Список файлов диссертации