Диссертация (1154395), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В случае группового потока интерес представляет функция распределенияразмера группы заявок. Руководствуясь физическим смыслом и способомзадания ряда распределения, учитывая невозможность прихода группы заявокразмера ноль, из дискретных распределений для исследования данной СМОподходят следующие распределения: сдвинутое геометрическое распределение(Фарри), дискретное равномерное, детерминированное, логарифмическое,распределение Ципфа [117, 121].

Для нахождения характеристик необходимополучитьначальныемоментыразмерагруппызаявокдлякаждогораспределения и провести сравнение полученных характеристик (4.5), (4.7),(4.9) при одинаковых средних значениях размера группы заявок [28]. Такойанализ позволяет выбрать для дальнейших исследований одну ф.р. размерагруппызаявок,котораяслужилабыоценкойсверхудляосновныххарактеристик функционирования SIP-сервера.В случае распределения размера группы заявок по закону Ципфа размергруппы ограничивается сверху числом M . Пусть m длина группы заявок, M 1m  1, M , тогда lm   m  j 1 j 1вероятность того, что поступившая группазаявок имеет длину m .

Таким образом, значения размера группы заявокупорядочены в порядке убывания вероятности появления – чаще всеговстречается группа, содержащая одну заявку ( m  1 ), реже всего – грамма из Mзаявок ( M  1 ). Начальные моменты с.в. размера группы, распределенного позакону Ципфа, имеют видMl (1) M  1 M , l (3) M M , l (2) M112jj 1j 1 j i2i 1M1jj 1(4.13)- 144 -Учитывая большие значения M , можно ограничить конечную суммуMгармонического ряда1 j  ln(M )   ,где   0,5772 постоянная Эйлера-j 1Маскерони. Применив формулу Фаульхабера для суммы квадратов первых MMнатуральных чисел, получим, что i2 i 1M ( M  1)(2M  1). В этом случае6формулы (4.13) преобразуются к видуl (1)  M  1 M , l (3)  M (M  1)(2M  1) .M, l (2) ln( M )  2(ln( M )   )6(ln( M )   )(4.14)Для детерминированного распределения размера группы заявок вероятностьтого, в группе находится ровно m заявок, равняется единице, то естьl0  0, lm  1, li  0, m, i  , i  m .Если группы заявок поступают на прибор в соответствии со сдвинутымгеометрическим распределением (распределение Фарри), то вероятностьпоступления m заявок в группе равняется l0  0, lm  p 1  p m1, m  1 , где p –вероятность того, что поток заявок не будет ординарным.

Значения начальныхмоментов случайной величины, характеризующей число заявок в группе,представлено формуламиl (1) 21 (2) 2  p (3) 6 1  p   p, l  2 , l .ppp3(4.15)Логарифмическое распределение размера группы заявок характеризуетсяпараметром p, 0  p  1. Вероятность того, что в группе находится m заявок,определиммоментовl (1) поформулеразмераpml0  0, lm  , m  1.m  ln 1  p группызаявокДляиспользуютсяначальныхформулы p 1  p pp, l (2) , l (3) .21  p  ln 1  p 1  p  ln 1  p 1  p 3 ln 1  p В случае поиска параметра p для среднего значения m  25 удобновоспользоватьсяp  1приближенной1 5 m 1      m  1  2  ln m 3 16 .формулой[28]- 145 -В случае дискретного равномерного распределения размера группы заявокмаксимальная длина группы ограничена числом M , при этом вероятность того,что в СМО пришла группа, состоящая из m заявок, равна lm , m  1,..., M .

Здесьl0  0 , lm 1, m  1,..., M . Начальные моменты имеют видMM  1 (2) 2M 2  3M  1 (3) M  M  1, l , l .2642l(1)(4.16)Цель эксперимента - найти такое распределение размера группы заявок,которое давало бы оценку сверху для средней длины очереди, времениожидания начала обслуживания и среднего разброса длины очереди. Численныйэксперимент проводится для заданного значения среднего (первый моментразмера группы заявок) для пяти типов распределений размера группы заявок.Для группы, состоящей в среднем из 3 заявок, начальные моментывышеупомянутых распределений отражены в табл. 4.1.Табл.

4.1. Значения моментов с.в. размера группы заявок при среднем l (1)  3l (1)l (2)l (3)Логарифмическое распределение, p  0,85319,3230Геометрическое распределение, p  0,33315,3127Закон Ципфа, M  8313,693,7Дискретное равномерное, M  531145Детерминированное распределение3927Проанализируем характеристики, полученные для среднего значениявремени обслуживания одной заявки, равного 15 мс ( b(1) =15 мс). Пусть средняядлительность прогулки равна среднему времени обслуживания группы заявок,т.е.f (1)  b(1)l (1) .

Если обслуживание поступающих на прибор заявокраспределено в соответствии с экспоненциальным законом, то три первых- 146 -начальных момента ф.р., характеризующие обслуживание заявок и прогулкуприбора, будут иметь видb(1) 1, b(2) 22, b(3) 63, f (1) 1, f (2) 22, f (3) 63.На рис.

4.12 представлены графики зависимости средней длины очередиот интенсивности предложенной нагрузки. Для анализа выбраны следующиеисходныеданные:l (1)  3 ,b(1)  15 мс,f (1)  45 мс,длительностьобслуживания и длительность прогулки распределены по экспоненциальномузаконуN20Логарифмическое распределениеГеометрическое распределениеЗакон ЦипфаРавномерное распределениеДетерминированное распределение15105000.20.40.60.81Рис. 4.12.

Средняя длина очереди для различных распределенийразмеров групп заявокНа рис. 4.13 представлен график зависимости среднего времениожидания заявки в очереди от интенсивности предложенной нагрузки, а нарис. 4.14 изображен график зависимости среднеквадратического отклонениядлины очереди в заявках.

Графики представлены для пяти функцийраспределений длины групп заявок: детерминированного, равномерного,Ципфа, геометрического и логарифмического.В [47] с участием автора диссертационной работы проведен анализчувствительности средней длины очереди и среднего времени ожидания заявкив очереди на основе численных результатов, полученных для различных- 147 -зависимостей вероятностей lm размера группы заявок. Выяснено, что четыре300, мсЛогарифмическое распределениеГеометрическое распределениеЗакон ЦипфаДискретное равномерное распределениеДетерминированное распределение2502001501005000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Рис.

4.13. Среднее время ожидания начала обслуживанияЛогарифмическое распределениеГеометрическое распределениеЗакон ЦипфаДискретное равномерное распределениеДетерминированное распределение2015105000.20.40.60.81Рис. 4.14. Среднеквадратическое отклонение длины очередитипа норм – L1 и C для ф.р. L  x  , L1 для lm и близкая к ним норма в видедополнения до единицы общей площади S графиков для двух плотностей –достаточно точно определяют вариацию величин (4.5) и (4.7) при вариации- 148 -плотностей размера группы заявок.

На основе проведенного анализа предложен[48, 215] изложенный ниже метод оценки параметров модели сервера протоколаустановления сессий с групповым поступлением заявок в зависимости отразмера группы сообщений, использующий коэффициенты чувствительностипараметров модели к изменению расстояний между функциями распределенияразмера группы сообщений.Обозначим через f вариацию вероятностей f (k ) , понимаемую в смыслеопределенной нормы, N (  ) - соответствующую вариацию средней длиныочереди при заданном значении нагрузки  ,  (  ) - вариацию среднеговремени ожидания начала обслуживания заявки. Обработка данных показала(см.

также [47]), что при вариации равномерного распределения, котороеопределялось на промежутке от 1 до максимальной длины группы M, равной врассматриваемом примере M =8, в широком диапазоне значений нагрузки [0,1; 0,9] имеет место связь между N (  ) и f , а также между  (  ) и f сдетерминацией 0,99: N(  )f  0, 2 1  ln    N(  )A0,27; (  ) 0,106  0, 041ln    f   ( )A0,27.(4.17)Здесь коэффициент A в зависимости от выбранной нормы равенAS  AC  F  1,0; AL1 f  2,0; AL1 F  5,7 .Применимформулу(4.17)дляоценкинеопределенностивпозиционировании среднего значения длины очереди, если эмпирическоераспределение групп заявок по длинам строится по выборке длины n в моментвремени t .

Выборка отсчитывается назад от указанного момента времени. Эту,возможно, нестационарную выборочную вероятность того, что длина группызаявокравнаk 1,обозначимf n (k , t ) .Соответствующуюфункциюраспределения обозначим Fn (k , t ) .Прежде всего, исследуем ряд на стационарность его выборочной функциираспределения. Согласно методике, развитой в [95, 96], весь имеющийся массивданных разбит на попарно непересекающиеся выборки длины n .

Максимальнаядлина nmaxвыбрана так, чтобы можно было построить не менее 10непересекающихся пар выборок. По каждой выборке построены распределенияFn (k , t ) , после чего для пар выборок равных длин найдены расстояния между- 149 -ними в норме C. Как известно (см., напр., [77]), для стационарныхраспределений имеет место сходимость по вероятности указанных расстояний кфункции Колмогорова:lim P 0  n / 2 Fn (k , t1 )  Fn (k , t2 )  z  K ( z ) .nРассмотрен так называемый согласованный уровень стационарности  * (n) ,определяемыйусловием:вероятностьпревышениярасстояниямеждураспределениями, равного  , равна значимости используемого для этой целикритерия, т.е.1  *  Kn / 2 * .Затем построена функция распределения Gn ( z ) попарных расстояний zмежду выборками длины n для конкретного временного ряда и численнорешеноуравнениеотносительноэмпирическогосогласованногоуровнястационарности z0 (n) :Gn  z0   1  z0 .Для каждой длины n найден индекс нестационарности J (n) , равныйотношению доли расстояний, не превосходящихz0 (n)по имеющимсяэмпирическим данным, к доле расстояний, не превосходящих стационарныйуровень шума  * (n)J ( n) 1  z0 (n)1   * ( n).Ряд считается стационарным, если J (n)  1, и нестационарным в противномслучае.

Если эмпирическое распределение Fn (k ) оказалось стационарным, тодля определения средних значений параметров модели сервера следуетпоступить следующим образом. Во-первых, построить функцию распределенияWn (q) расстояний между эмпирическим выборочным распределением дляопределенной длины выборки n и равномерным распределением в одной изнорм, указанных в (4.17). Во-вторых, найти его медиану qn,1/2 и содержащий ееинтервал, определяемый квантилями qn,1/2 и qn,1/2 . Подстановка величиныqn,1/2 в формулы (4.17) вместо  f (в соответствующей норме) дает изменениесредней длины очереди и среднего времени ожидания по сравнению с- 150 -равномерным распределением для определенного значения нагрузки.Доверительный интервал на уровне доверия 2 определяется подстановкой в(4.17) квантилей qn,1/2 . Если же распределение Fn (k ) на некоторых длинах nнестационарно ( J n  1 ), то та же процедура приводит к построениюдоверительного интервала, содержащего среднее значение параметра, на уровнедоверия 2 / J n .Практическое применение описанной методики состоит в следующем.Возьмем в качестве опорного теоретического распределения f (k ) равномерноена промежутке 1  k  M .

Для этого распределения формула (4.5) среднейдлины очереди преобразуется к видуN0 v2b 2M 1  22,2v1b13 1   2b1 1  рассматриваемому как нулевое приближение.Впредположении,чтонаблюдаемоестационарно и имеет выборочную ф.р.эмпирическоераспределениеFn (k ) , расстояние между этимраспределением и равномерным может быть вычислено явно. Например, внорме C-F оно равно f  sup Fn (k )  k / M .(4.18)kПодставляя (4.18) в (4.17), получаем оценку средней длины очереди,отвечающей этому эмпирическому распределению:N / N0  1  0, 2 1  ln   f 0,27;  [0,1; 0,9] .(4.19)Формула (4.19) вычислительно гораздо более проста, чем нахождениепроизводящей функции по формуле (4.3), в которой L( z ) вычисляется поэмпирическому распределению Fn (k ) , что, во-первых, технически весьматрудоемко и, во-вторых, приводит к вычислительным погрешностям, которые вотносительных величинах могут превосходить неточность аппроксимации(4.19).В частности, предположим, что эмпирическое распределение f n (k ) взято изгенеральнойсовокупностиf (k ) ,имеющейналогарифмическое распределение с параметром q , т.е.промежутке1 k  M- 151 -f (k ) M1 qkqm., ZZ km1 mВ [47] вычисления были проведены для случая q  0,85; M  8 .

Характеристики

Список файлов диссертации