Диссертация (1154395), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Совместное распределение с.в. R0 и D1 имеет вид2W1,1 ( y1, y2 )  i 1 Y3,iw1,2 ,3 ( y1, i ( y1, y2 , y3 ), y3 )  y2y22  y12  y12 cos2 ( y3 )dy3 ,(5.27)гдеi ( y1, y2 , y3 )  y2 cos( y3 )  y12  y22  y22 cos2 ( y3 ) ,i ( y1, y2 , y3 )  y2 cos( y3 )  y12  y22  y22 cos2 ( y3 ) , а области интегрировании1231Y3,1  Y3,1Y3,1 Y3,1и Y3,2  Y3,22Y3,2вычисляются по формулам- 170 -y2  y1 ,2 y12  y2210yacos(),32y221Y3,1 0  y2  y1,0  y3  2 ,3Y3,1y2  y1 ,2 y12  y2212acos()  y3  2 ,2y222Y3,22Y3,11Y3,2y2  y1 ,2 y12  y2210yacos(),32y22y2  y1 ,2 y12  y2212acos()  y3  2 .22y2Далее рассмотрен пример численного анализа для случая равномернораспределенных с.в.

R0 , U1 и  1 . В рассматриваемом примере полученныйвыше метод использован для расчета математического ожидания отношениясигнал/интерференция, которое определяется следующей формулой:y E[ SIR]    y12  W1,1 ( y1, y2 )dy2dy1 .0 y1 r0 y20(5.28)Рассматривается случай [55], когда целевой приемник Rx0 находитсявнутри круга единичного радиуса r0  1 ,в центре которого расположенпередатчик Tx0 , а интерферирующий передатчик Tx1 – в кольце вокругпередатчика Tx0 внутренним радиусом r0 и внешним радиусом h0 , как показанона рис. 5.5. Тогда с.в.

R0 расстояния от целевого передатчика Tx0 досоответствующего ему приемника и с.в. U1 расстояния от целевого передатчикаTx0доинтерферирующегопередатчикаTx1имеютраспределениясплотностямиf R0  x  fU1  u  2x 2x , 0  x  1,r02(5.29)2u2u 2 , 1  u  h0 .2 r0 h0  1h02Будем считать, что с.в. угла  1 равномерно распределена на отрезке 0, 2  ,а коэффициент потерь в формуле (5.21) принимает значение   2 . Принятыусловныеединицыизмерения,например,расстояниемежду- 171 -взаимодействующими устройствами может измеряться в метрах, а величинаSIR в децибелах.Rx0γ1Tx0Tx1Рис. 5.5.

Пример взаимодействия двух устройствПо предложенному выше методу были рассчитаны математическоеожиданиеисреднеквадратическоесигнал/интерференция,показанныенаотклонениерис. 5.6вотношениязависимостиотматематического ожидания E U1  расстояния между целевым передатчикомTx0 и интерферирующим передатчиком Tx1 .Рис.

5.6. Числовые характеристики SIR,вычисленные с помощью базовой модели- 172 -Из графика видно, что с ростом расстояния между целевым иинтерферирующим передатчиками обе числовые характеристики отношениясигнал/интерференция растут, поскольку мощность интерферирующего сигналаубывает. Вычисления проводились с использованием вычислительной средыWolfram|Alpha41.5.5.Приближенный метод анализа распределения суммарнойинтерференции в сети с несколькими передающими устройствамиОбобщением базовой аналитической модели, построенной в разделе 5.4,является случай, изображенный на рис.

5.7. Для простоты предполагается, чтомощности всех передатчиков равны между собой, следовательно, радиусы rkтакже равны между собой, и rk  r0 , k  0,..., N .Модель, изображенная на рис. 5.7, выбрана для анализа из геометрическихсоображений, поскольку наибольший вклад в интерференцию вносят слагаемые,соответствующиеближайшимустройствам.Следовательно,модельснесколькими парами взаимодействующих устройств целесообразно исследоватьдля наихудшего случая, когда интерферирующие устройства расположены вмаксимальной близости от целевой пары с учетом ограничения на расстояниемежду передатчиками.Для анализа изображенной на рис. 5.7 модели можно использовать метод,разработанный для базовой аналитической модели с двумя кластерами.В этом случае расстояния U k между центром Tx0 нулевого и Txk k -гокластеров являются константой и равны 2r0 для всех k  1,..., 6 .

Угол  1 является с.в., равномерно распределенной на отрезке 0;  . Плотность 3распределения с.в.  1 имеет вид f1 ( x2 ) 3. Остальные углы  k ( k  2,..., 6 )также являются с.в. и зависят от с.в.  1 . Точка Rx0 равномерно распределена вкруге с радиусом r0 . Плотность распределения с.в. R0 имеет вид f R0 ( x) 412x.r02Программное средство, база знаний и набор вычислительных алгоритмов Wolfram|Alpha.[Электронный ресурс].Режим доступа: https://www.wolframalpha.com (дата обращения:08.11.2016).- 173 -От этих с.в. зависит с.в. Dk расстояния от передатчика Txk до приемника Rx0 ,k  1,...,6 .Tx1U1 D1Tx6D6D2Rx0U6Tx2U21 R03Tx0D5r0U3U5Tx5U4D4D3Tx3Tx4Рис.

5.7. Модель с шестью интерферирующими передатчикамиЗаметим, что с.в. SIR прямо пропорциональна сумме с.в. Dk расстояний отпередатчика Txk до приемника Rx0 , k  1,..., 6 , каждое слагаемое которой всвою очередь зависит от с.в. R0 , и с.в.  1 . Таким образом, для нахожденияхарактеристик с.в. SIR необходимо найти совместное распределение с.в. R0 ,Dk и  k , k  1,..., 6 .Зависимость величин Dk от заданных с.в. можно найти из теоремыкосинусовDk  R02  4r02  4R0 r0 cos  k  .(5.30)Тогда выражение для искомого отношения сигнал/интерференция запишется вследующем виде- 174 -SIR R006k 1,(5.31)Dk kD1  R02  4r02  4r0 R0 cos  1  , D2  R02  4r02  4r0 R0 cos    1  ,3гдеD3  R02  4r02  4r0 R0 cos    1  , D4  R02  4r02  4r0 R0 cos  1  ,3D5  R02  4r02  4r0 R0 cos    1  D6  R02  4r02  4r0 R0 cos    1  .33Для исследуемой модели (рис. 5.7) не удалось получить распределениес.в.

SIR в замкнутом аналитическом виде даже в случае равномерногораспределения с.в.R0и  1 . Поэтому в диссертационной работе длякоэффициента потерь  k =2, k  1,..., 6 , предложены два приближенных метода,позволяющие построить функцию распределения SIR [163].В первом методе используется предположение о том, что расстояния отприемника Rx0 до передатчиков Txk , k  1,..., 6 , равны друг другу. В этомслучае формула (5.31) принимает вид21 D SIR    ,6  R0 (5.32)гдеD  R02  4r02  4R0r0 cos  1  ,а с.в. угла  1 имеет равномерное распределение на отрезке  0;   .Следуя разработанному в диссертационной работе для базовой моделиметоду вычисления совместной плотности с.в. R0 и D , получаем [163] формулудля плотности распределения W1  y1  с.в.

1 = SIR в виде- 175 - 24 1  6 y1    6 y1  9 1  6 y1   5  6 y1   arctanarccos3 3  6 y1 4    1  6 y1  6  6 y1  9 1  6 y1  1 3W ( y1 )  , y1   ; ,21 6 2  1  6 y1  24 1  6 y  3 ;  .1, y1 3 2   6 y1  1(5.33)Во втором методе используется предположение о том, что углы  kявляются независимыми с.в., имеющими равномерное распределение на отрезке0;   . Тогда формула (5.31) принимает видSIR R026k 1,(5.34)Dk2гдеDk  R02  4r02  4r0 R0 cos  k  , k  1,..., 6 .В этом случае сначала следует найти приближение знаменателя формулы(5.31) с помощью усеченного нормального распределения, а затем получитьформулу для плотности распределения с.в.

SIR . Для этого на первом этапенаходим плотность распределения с.в. Dk2 , используя метод базовой модели.Полученная [163] в итоге формула для плотности распределения W1  y1  с.в. 1= Dk2 имеет вид1 r02 y12  Z1  Z 2 , y1  1 9r02 ;1 3r02  ,WD1 ( y1 )  22Z  Z1 , y1  1 3r0 ;1 r0  , 2(5.35)гдеZ1  arccos 5r02 y1  1 4r02 y1Z 2  arcsin 1  r y 9r20 1 r y2 20 120 y1  1,2r0 y1   r02 y12 .На втором этапе необходимо построить приближение распределения    с.в. Dk2 с помощью нормального распределения N  Dk2 ,  Dk2 . Дляэтого по формуле (5.35) определяются параметры распределения- 176 - Di2  0.2877r02 ,  Di2  0.1684r02 ,(5.36)а затем математическое ожидание  и среднеквадратическое отклонение  6с.в.    Dk2 в видеk 1  1.7262r02 ,   1.0104r02 .(5.37)На третьем этапе строим приближение плотности с.в.  с помощьюусеченного нормального распределенияN   ,   .

С учетом того, чтозначения с.в.  принадлежат интервалу  2 3r02 ;6 r02  , плотность распределенияс.в  имеет следующий вид:W  x   0.463r02  e xr02 1.72622.04182.(5.38)Наконец, на четвертом этапе мы получаем выражение для плотностираспределения W1 ( y1 ) с.в.  1  R02  . Таким образом, доказана следующаятеорема.6Теорема 5.3. Если с.в.    Dk2 распределена по нормальному закону соk 122значениями параметров   1.7262r0 и   1.0104r0 , тогда плотность с.в. 1  R02  имеет вид 0.463 6 e t 1.7262 2 2.0418dt , y1  1 6 ; 3 2 , y12 1 y1tW 1 ( y1 )   0.5717 y 2 , y1  3 2 ;   . 1Точностьобоихприближенныхметодов(5.39)проверенаспомощьюимитационного моделирования методом Монте-Карло с.в.  1 .

Заметим, что при k =2, k  1,..., 6 , распределение с.в. SIR не зависит от расстояния R0 междуцелевыми приемником Rx0 и передатчиком Tx0 . На рис. 5.8 рассчитанная попервомуприближенномуметоду6приближенномуметоду(  Dk2k 1W1 ( y1 )( Dk  D ,N   ,    )k  1,..., 6 )плотностьиповторомураспределения- 177 -с.в. SIRсравниваетсясполученнойимитационныммоделированиемплотностью распределения с.в. SIR ( Dk зависят от с.в.  1 ).Аналитическая модель (5.31)Приближенный метод 1 (5.33)Приближенный метод 2 (5.39)y1Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации