Федоров Н.Д. Электронные и квантовые приборы СВЧ (2-е издание, 1979) (1152182), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Таким образом, прикаждом вынужденном переходе снизу вверх затрачивается квант энергии внешнего поляhv21.Вынужденные переходы, так же как и спонтанные, имеют статистический характер.Поэтому вводятся вероятностные коэффициенты: W21—вероятность вынужденногоперехода сверху вниз и W12 — снизу вверх в 1 с. Эти вероятности пропорциональныинтенсивности (плотности энергии) внешнего поля иν, и определяются соотношениями:166(12.10),где B21 и В12 — коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов с излучением ипоглощением энергии соответственно. Коэффициенты B21 и В12 имеют смыслвероятностей вынужденных переходов в 1 с при единичной объемной плотности энергиивнешнего поля (иv = 1 Дж·см-3·с-1).Число вынужденных переходов сверху вниз с излучением энергии в единицу времени вединице объема пропорционально вероятности W21 и населенности верхнего уровня N2, т.е.
с учетом (12.10)(12.11)Аналогично при тех же условиях число вынужденных переходов снизу вверх споглощением энергии(12.12)Соотношения между коэффициентами Эйнштейна. Связь между коэффициентамиЭйнштейна А21, В21 и В12 можно установить из рассмотрения состояниятермодинамического равновесия системы атомов при определенной температуре Т.Пусть система атомов имеет два уровня энергии ∈2 и ∈1, при переходах междукоторыми излучается или поглощается квант энергии hv21. При термодинамическомравновесии в системе не происходит изменения энергии, поэтому число излученныхквантов должно быть равно числу поглощенных квантов.
Следовательно, в единицувремени во всей системе общее число переходов из верхнего энергетического состояния внижнее должно быть равно общему числу переходов из нижнего состояния в верхнее:(12.13)Это положение называется принципом детального равновесия.В рассматриваемой системе формально нет внешнего поля и должны существоватьтолько спонтанные переходы. Однако спонтанное излучение каждого атома являетсявнешним для других атомов и вызывает вынужденные переходы с поглощением илиизлучением энергии электромагнитного поля. В состоянии равновесия в системе должносуществовать равновесное значение плотности поля собственного излучения иv, котороеможно использовать для расчета числа вынужденных переходов в системе по формулам(12.11) и (12.12).Полное число переходов сверху вниз п12 в (12.13) в состоянии равновесия определяетсясуммой числа спонтанных переходов п12(c) и вынужденных переходов с излучениемэнергии п12(в), т.
е. с учетом (12.6) и (12.11);(12.14)Число переходов п12 снизу вверх определяется только вынужденными переходами споглощением, т. е. с учетом (12.12):(12.15)Приравнивая на основании (12.13) п21 и п12, получаем(12.16)Из выражения (12.16) найдем равновесную плотность энергии собственного поля(12.17)Соотношение населенностей уровней в состоянии термодинамического равновесияопределяется законом Больцмана:167(12.18)где k—постоянная Больцмана; T—абсолютная температура. Подставляя (12.18) в (12.17) иучитывая, что ∈2—∈1=hv21, получаем(12.19)Эйнштейн постулировал, что равновесное значение плотности энергии собственногополя иv, должно совпадать с величиной, рассчитанной по формуле Планка дляравновесного излучения абсолютно черного тела:(12.20)если вместо hv подставить hv21. Сравнивая с учетом этого формулу (12.20) с (12.19),получаем условия тождественности этих формул:(12.21)(12.22)Таким образом, если квантовая система и поле излучения находятся в состояниитермодинамического равновесия, то вероятности вынужденных переходов в единицувремени при единичной плотности поля B12 и B21 должны быть одинаковы.
Вероятностьспонтанных переходов пропорциональна третьей степени частоты перехода, поэтомуспонтанное излучение сильнее всего проявляется в оптическом диапазоне волн.Безызлучательные переходы. Атомы и молекулы газа в результате неупругихсоударений друг с другом или с электронами теряют или приобретают энергию. При этомне происходит ни излучения, ни поглощения энергии электромагнитного поля. Такиеэнергетические переходы принято называть безызлучательными.
В твердом телебезызлучательные переходы происходят вследствие колебательного движениякристаллической решетки.Безызлучательные переходы характеризуются также вероятностью перехода междууровнями j и i (i<j) сверху вниз wji, и снизу вверх wij соответственно с потерей иполучением порции энергии ∆∈=∈j—∈i.В соответствии с принципом детального равновесия в состоянии термодинамическогоравновесия подобно (12.13) число безызлучательных переходов с уровня j на уровень i в 1с равно числу обратных безызлучательных переходов с уровня i на уровень j:wjiNj=wijNi.Используя закон Больцмана (12.18) для состояния термодинамического равновесияNjБ /NiБ=exp(−(∈j − ∈i )/kT),получаем с учетом (12.2)wji/wij = exp(hνji /kT)(12.23)Если hvji<<kT, что обычно справедливо для квантовых приборов СВЧ-диапазона, товыражение (12.23) можно заменить приближенным выражениемwji /wij≈1+ hνji /kT(12.24)Таким образом, вероятность безызлучательных переходов сверху вниз больше, чемснизу вверх, т.
е. wji>wij (j>i), в отличие от вероятностей вынужденных переходов,которые одинаковы (Wji= Wij).168§ 12.2. Ширина спектральной линииЕстественная ширина спектральной линии. До сих пор мы неявно предполагали, чтоэнергетические уровни вещества бесконечно узкие. Однако даже в идеализированномслучае, когда на частицу не действуют внешние силы, ширина энергетических уровнейконечна. Другими словами, излучение для данного перехода не монохроматическое, аимеет некоторый спектр частот.Узкую область с одним максимумом интенсивности в спектре излучения илипоглощения называют спектральной линией, а графическое изображение её формы—контуром спектральной линии.Рассмотрим случай, когда атом изолирован и не подвержен внешним воздействиям.
Вэтом случае ширина уровней следует из соотношения неопределенностей Гейзенберга:(12.25)где ∆p и ∆x:—неопределенности импульса р и координаты х. Так как ∈ = pψ (ψ—скорость), то ∆p= ∈/ψ. Используя ∆x==ψ∆t, из (12.25) получаем(12.26)Из (12.26) следует, что неопределенность энергии ∆∈ уменьшается при увеличениинеопределенности времени ∆t. Грубо говоря, чем с большей точностью определяетсяэнергия ∈, тем с меньшей точностью мы знаем, какому моментувремени она соответствует.Применим соотношение неопределенностей (12.26) к атому.Предположим, что хотим измерить энергию атома ввозбужденном состоянии, которому на рис. 12.2 соответствуетуровень 2 с энергией ∈2. Время жизни в возбужденномсостоянии определяется выражением (12.5): τ2=l/A21.
Так какспонтанные переходы имеют статистический характер, товеличину τ2 можно считать неопределенностью измерениямомента времени излучения кванта, т. е. ∆t=τ2. Подставляя ∆t в (12.26), получаемнеопределенность энергии уровня 2 ∆∈2 /h/τ2 . Это рассуждение можно применить кмногоуровневой системе. Неопределенность энергии уровня i равна(12.27)где τi – время жизни уровня i, определяемое по формуле (12.9)вероятностями спонтанных переходов с него на нижниеуровни.Соотношение (12.27) определяет зависимость конечнойширины любого энергетического уровня ∆∈i от среднеговремени жизни этого уровня τi. Если оно бесконечно велико(τi →:), то ∆∈i →0, т.
е. неопределенность энергии, илиширина уровня, бесконечно мала. Считают, что основнойэнергетический уровень бесконечно узкий. Наиболееширокими оказываются уровни с малым временем жизни.Рис. 12.3Неопределенность в значении частоты перехода междууровнями i и j (j>i) с шириной уровней ∆∈i и ∆∈j (рис. 12.3,а) ∆ν = νмакс – νмин находится169из соотношения(12.28)и определяется суммой неопределенностей энергии обоих уровней. Ширина спектральнойлинии изолированного и неподвижного атома, определяемая только временем жизни поспонтанному излучению, является минимальной и называется естественной шириной.Ширину контура спектральной линии принято определять как разность частот, на которыхинтенсивность равна половине максимального значения (∆ν, рис.
12.3,б). Частотойперехода (центральнойчастотой перехода) называют частоту, соответствующуюмаксимуму спектральной линии. Форма спектральной линии (контур) может бытьпредставлена так называемой лоренцевой кривой, совпадающей с резонансной кривойколебательного контура. Реальные наблюдаемые спектральные линии имеют ширинубольше естественной. Рассмотрим причины, вызывающие «уширение» спектральнойлинии.Уширение спектральной линии из-за столкновений. В газе происходят упругие инеупругие столкновения частиц. При упругих столкновениях суммарная кинетическаяэнергия сталкивающихся частиц не изменяется: частицы не обмениваются внутреннейэнергией и не переходят в более или менее возбужденное состояние.
При неупругихстолкновениях суммарная кинетическая энергия сталкивающихся частиц либо возрастает(прямые соударения или соударения первого рода), либо убывает (обратные соударенияили соударения второго рода). В этом случае изменяется внутренняя энергиясталкивающихся частиц, характеризуемая электронными, колебательными ивращательными энергетическими уровнями.В результате неупругих столкновений происходит сокращение времени жизнирассматриваемой частицы в данном энергетическом состоянии до величины среднеговремени пробега между двумя столкновениями, что эквивалентно увеличению шириныспектральной линии.
Поясним этот вывод следующим образом. Спонтанное излучениеатома можно рассматривать как цуг затухающих колебаний с частотой квантовогоперехода (см. рис 15.13) . Затухание колебаний определяется временем жизни поспонтанному излучению. Такой процесс имеет определенный частотный спектр.Уменьшение при неупругих столкновениях времени жизни эквивалентно уменьшениюдлительности колебательного процесса (цуга волн) и должно сопровождатьсяувеличением спектра. Подобный подход удобен и для описания влияния упругихстолкновений, которые можно трактовать как изменение (скачок) фазы колебаний в цугебез изменения амплитуды в момент времени, соответствующий столкновению. Изменениефазы также должно приводить к расширению спектра частот, т. е. к уширениюспектральной линии по сравнению с естественной спектральной линией.Вероятность столкновений частиц, а следовательно, и вероятность квантовыхпереходов, одинакова для всех частиц газа.
Поэтому форма и ширина спектральной линиивсего газа и каждой частицы одинаковы, при этом ширина линии газа и частиц сталабольше ширины естественной спектральной линии. Такой процесс называют однороднымуширением спектральной линии.Однородное уширение наблюдается также в случае столкновения частиц газа состенками, ограничивающими объем газа. Влияние этих столкновений на ширинуспектральной линии становится основным при низком давлении газа, вероятностьстолкновений частиц мала.Доплеровское уширение спектральной линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
