Федоров Н.Д. Электронные и квантовые приборы СВЧ (2-е издание, 1979) (1152182), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это уширение связано с эффектомДоплера: с зависимостью наблюдаемой частоты излучения от скорости движенияизлучателя. Если источник, создающий в неподвижном состоянии монохроматическоеизлучение с частотой ν0 , движется со скоростью ψ в сторону к наблюдателю так, что170проекция скорости на направление наблюдения составляет ψх (рис.
12.4), то наблюдательрегистрирует более высокую частоту излучения, определяемую формулой(12.29)где с – фазовая скорость распространения волны; θ – уголмежду направлениями скорости излучателя и наблюдения.В квантовых системах источниками излучения являютсяатомы или молекулы. В газообразной среде притермодинамическомравновесиискоростичастицыраспределены по закону Максвелла — Больцмана.Поэтому и форма спектральной линии всего вещества;будет связана с этим распределением. В спектре,регистрируемом наблюдателем, должен быть непрерывныйнабор частот, так как разные атомы двигаются с разными скоростями относительнонаблюдателя.
Учитывая лишь проекции скорости ψx. в законе Максвелла—Больцмана,можно получить следующее выражение для формы доплеровской спектральной линии:(12.30)Эта зависимость является гауссовой функцией. Ширина линии, соответствующаязначению Iν =I0/2, определяется выражением(12.31)С увеличением массы частиц М и понижением температуры Т ширина линии ∆νDуменьшается.Вследствие эффекта Доплера спектральная линия всего вещества не совпадает соспектральной линией отдельной частицы.
Наблюдаемая спектральная линия веществапредставляет собой суперпозицию спектральных линий всех частиц вещества, т. е. линийс различными центральными частотами. Для легких частиц при обычной температуреширина доплеровской линии в оптическом диапазоне может превышать естественнуюширину линии на несколько порядков и достигать величины более 1 ГГц.Процесс, при котором форма спектральной линии всего вещества не совпадает сформой спектральной линии каждой частицы, называют неоднородным уширениемспектральной линии.
В рассмотренном случае причиной неоднородного уширения былэффект Доплера. Форма доплеровской спектральной линии описывается гауссовойфункцией (12.30). Если распределение скоростей частиц отличается от максвелловского,то и форма доплеровской спектральной линии будет отличаться от гауссовой функции, ноуширение останется неоднородным.Другие причины уширения спектральной линии. В квантовых приборах широкоиспользуют твердые вещества, в которых имеются примесные ионы. Квантовые переходыпримесных ионов являются рабочими.
Колебания кристаллической решетки модулируютэлектрическое поле в том месте, где находится ион, и, следовательно, модулируютположение его энергетических уровней и увеличивают ширину спектральной линии.Естественно, уширение увеличивается с ростом температуры. Кроме того, причинойуширения спектральной линии твердого тела может быть пространственнаянеоднородность физических параметров среды или неоднородность электрического имагнитного полей. Неоднородности отмеченных величин будут вызывать неоднородноеуширение спектральной линии.171Спектральные коэффициенты Эйнштейна. Введенные ранее коэффициентыЭйнштейна Аji, Bji , Bij определяют мощность, излучаемую или поглощаемую во всемспектральном диапазоне данного перехода между уровнями i и j.
Поэтому их называютинтегральными коэффициентами Эйнштейна. Если необходимо учитывать частотноераспределение излучаемой или поглощаемой мощности, то используют спектральныекоэффициенты Эйнштейна aji, bji , bij, которые связаны с Аji, Bji и Bij соотношениями:(12.32)Частотная зависимость всех спектральных коэффициентов одинакова и совпадает сформой контура спектральной линии данного перехода — лоренцевой или гауссовойкривыми. Однако с введением коэффициентов aji, bji и bij, следует уточнить также понятиенаселенности уровней. Под населенностью Ni любого уровня i следует понимать числочастиц в единице объема, энергия которых попадает в пределы размытости уровня i поэнергии ∆∈i,.
Таким образом, числа спонтанных и вынужденных переходов в единичномчастотном интервале вблизи частоты ν в единицу времени можно записать сиспользованием дифференциальных коэффициентов Эйнштейна в виде:(12.33)172§ 12.3. Возможность усиления и генерации в квантовыхсистемахЗакон Бугера. В § 12.1 отмечалось, что под действием внешнего электромагнитногополя возможны переходы сверху вниз с излучением электромагнитной энергии и снизувверх с поглощением энергии поля. Вероятностные коэффициенты переходов одинаковы,но число переходов различно, так как населенности уровней неодинаковы.
В условияхтермодинамического равновесия населенность нижнего уровня больше, чем верхнего,поэтому наблюдается поглощение энергии внешнего электромагнитного поля. Усилениевнешнего поля возможно только в том случае, если число переходов сверху внизпревышает число переходов снизу вверх, т. е. населенность верхнего уровня больше, чемнижнего. Последнее означает, что необходимо нарушить термодинамическое равновесие.Рассмотрим двухуровневую систему с энергиями уровней ∈1 и ∈2 (∈2>∈1) инаселенностями N1 и N1Б.
В состоянии термодинамического равновесия N1=N1Б , N2=N2Б позакону Больцмана (12.18)N2Б = N1Б exp(–(∈2–∈1)/kT)Пусть на эту систему воздействует слабое внешнее электромагнитное поле (сигнал).Для конкретности рассмотрим световое воздействие, но выводы будут иметь общийхарактер.Предположим, что электромагнитная волна падает на рабочее вещество ираспространяется в нем в виде плоской волны понаправлениюосиz(рис.12.5,а).Энергия(интенсивность) волны должна изменяться припрохождении через вещество, так как в нем происходятвынужденные энергетические переходы с поглощениеми излучением энергии.
Рассмотрим изменение энергииволны в объеме некоторой «трубки» рабочего веществас площадью сечения 1 см2. Пусть Р(0,ν)—поверхностнаяплотность мощности падающей волны при z=0. Найдемизменение энергии в слое dz на расстоянии z.Число вынужденных переходов с поглощениемэнергии в слое dz в одиночном частотном интервале (1 Гц) в единицу времени с учетом(12.12) и (12.32)dn12(в) =b12 (v)uνN1 dz(12.34)а число вынужденных переходов с излучением энергии при тех же условиях с учетом(12.11) и (12.32)(12.35)где иν—объемная плотность энергии электромагнитного поля в точках сечения скоординатой z. Поглощение и излучение энергии в единицу времени в слое dz определим,умножив (12.34) и (12.35) на квант энергии hν21:(12.36)(12.37)173Спонтанные переходы в (12.37) не учитываются, так как они с сигналом не связаны и напроцесс взаимодействия поля и вещества непосредственно не влияют.Изменение энергии электромагнитного поля в слое dz в единицу времени, т.
е.изменение мощности равно(12.38)Подставляя (12.36) и (12.37) в (12.38), получаем:(12.39)Как известно, объемная плотность энергии иν, связана с поверхностной плотностьюмощности на 1 см2 (такое сечение взято при рассмотрении) соотношением(12.40)где ψгр2групповая скорость волны в данной среде.
Для светового потока(12.41)причем с—скорость света, а п—коэффициент преломления среды. Используя (12.40),приведем (12.39) к виду(12.42)В левой части равенства (12.42) отмечено, что мощность является функцией координаты ичастоты ν. Предположим пока, что объемная плотность энергии поля настолько мала влюбом месте образца; что можно пренебречь изменением населенностей N1 и N2 и,следовательно, зависимостью их от координаты z. В этом случае, произведяинтегрирование от z=0, где мощность Р(0, ν), до z, получаем(12.43)где(12.44)Умножим обе части равенства (12.44) на dν и проинтегрируем по всему диапазону частот.Практически это означает, что необходимо произвести интегрирование в пределахконтура спектральной линии, чтобы учесть все возможные переходы между уровнями(12.45)Значения ν21 мало отличаются от центральной частоты ν0 перехода, если ширинаспектральной линии мало по сравнению с ν0.
Таким образом, в (12.45) вместо ν21 можнопоставить ν0 и вынести ее за знак интеграла. Кроме того, в пределах спектральной линиидопустимо считать постоянной (не зависящей от частоты) групповую скорость. Поэтому(12.45) запишем в виде174(12.46)Переходя на основании (12.32) к интегральным коэффициентам, вместо (12.46) получаемвыражение(12.47)Из выражения (12.44) следует, что частотная зависимость æ(ν) совпадает с частотнойзависимостью дифференциальных коэффициентов b12(ν) и b21(ν). Интеграл в левой части(12.47) можно представить в виде(12.48)где æ(ν0) – коэффициент, соответствующий центральной частоте перехода, a ∆ν —некоторый интервал частот. С учетом (12.48) выражение (12.47) преобразуется к видуТак как из (12.21) В12=В21=В, то окончательно(12.49)Подставив (12.49) в (12.43), получим закон изменения мощности сигнала в процессепрохождения через вещество для случая, когда частота сигнала совпадает с центральнойчастотой перехода(12.50)Соотношение (12.50) в оптике называют интегральным законом Бугера, в отличие отдифференциального закона Бугера (12.42).
В интегральном законе коэффициент æ(ν0) впоказателе экспоненты не зависит от координаты z, так как ранее было сделанопредположение о независимости от координаты населенностей N1 и N2.Из (12.49) следует, что величина æ(v0) положительна, когда N1>N2, например, еслисистема находится в термодинамическом равновесии. В этом случае энергия внешнегополя поглощается в веществе, а æ(v0) имеет смысл коэффициента поглощения и показывает, на какой длине мощность сигнала уменьшается в е= =2,72 раза.Формально при æ(v0)<0 происходит рост мощности сигнала P(z,v0) с увеличениемкоординаты z. Коэффициент æ(v0) может стать отрицательным только при N2>N1, т. е.
в175случае, когда нет термодинамического равновесия и распределение населенностей неподчиняется закону Больцмана (12.18).Инверсия населенностей. Состояние, при котором населенность верхнего уровня N2больше, чем нижнего N1, называется состоянием с инверсией населенностей уровней илис инверсной населенностью, а среда, в которой оно возникает, активной средой. Такимобразом, при прохождении излучения через среду с инверсией населенностей уровнейвозможно усиление этого излучения. В этом случае закон Бугера (12.50) можно записатьв видеР(z, v0)=P(0,v0) exp(æaz),(12.50a)где величинуæа=—æ(v0)(12.51)можно назвать показателем усиления активной среды.При равенстве населенностей (N1=N2), æ(v0)=0 и мощность сигнала в среде неослабляется и не усиливается, т. е.
остается неизменной. В этом случае среду можнорассматривать как прозрачную для внешнего электромагнитного сигнала. Состояние сравными населенностями уровней принято называть состоянием насыщения перехода.Зависимость мощности сигнала от расстояния при прохождении через вещество дляразличных знаков æ(v0) показана на рис. 12.5бЗакон Больцмана (12.18), справедливый для термодинамического равновесия, можнотакже записать в видеВ состоянии термодинамического равновесия N1>N2 и поэтому температураположительна (T>0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
