Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151997), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Дифференцируя (6.1) по параметру ал после изменения порядка дифференцирования, получаем (6.5) х(1с) = [[х(]с -1), ц(1с -1), а(1с - 1), 1с - 1] вектор чувствительности д Р[х(1с - !), в(1с - 1), а(1с -1), ()с -1)] да! д Р[х(1с - 1), в(1с - ! ~ а, !(1с - 1)] дх(1с -!) + ' ' ', у)=0. д Р[х(1с -1),н(!с -1),а(!с -1),(!с -1)] ди(!с -!) дв(!с - !) да, Здесь )с и )с — 1 обозначают соответствующие моменты дискретизации. Зная коэффициенты чувствительности, можно определить отклонения фазовых координат при известных изменениях обобщенных параметров системы. Аналогично можно решить и обратную задачу: определить поле допусков изменений параметров по допустимым отклонениям фазовых координат.
При обосновании выбора метода оптимизации и вида формируемого управляющего сигнала при прочих равных условиях следует отдать предпочтение управлению, для которого коэффициенты матриц чувствительности имеют меньшие значения. На стадии анализа точности функционирования РЭСУ можно получить примерно одинаковые ошибки управления (5.2) при различных наборах коэффициентов штрафов функционала качества. В этом случае также предпочтительна система с меньшей чувствительностью. На основании анализа коэффициентов чувствительности можно более целенаправленно скорректировать коэффициенты штрафов по отдельным коэффициентам и управляющим сигналам.
При синтезе оптимальных РЭСУ целесообразно включать в состав минимизируемого функционала качества дополнительные слагаемые, учитывающие чувствительность системы. Синтезированное по такому критерию управление будет совместно наилучшим как по точности, так и по чувствительности РЭСУ к вариациям ее обобщенных параметров.
Пример синтеза такой системы рассмотрен в [31]. Необходимо отметить, что коэффициенты чувствительности, определяемые уравнениями (6.4) и (6.6), в общем случае, являются функциями времени. Поэтому с их помощью можно сравнивать чувствительность синтезированных систем лишь в дискретные моменты времени, что затрудняет количественную оценку чувствительности на всем 169 интервале управления. С учетом этого желательно иметь интегральную оценку чувствительности за все время функционирования. В качестве такой оценки можно использовать чувствительность минимизируемого функционала качества, объективно включающего весь набор обобщенных параметров, учитываемых в (6.4) и 16.6).
Оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности минимизируемого функционала правомочна, поскольку оптимальность синтезированного управления адекватна минимуму функционала качества. Поэтому вариации обобщенных параметров, приводясцие к отклонениям управляемого процесса от его номинальной фазовой траектории, будут приводить и к отклонениям функционала качества от его номинального значения.
Достоинством рассматриваемого способа оценки чувствительности оптимальных РЭСУ является получение уравнений чувствительности, в явном виде отражающих ее зависимость от коэффициентов штрафа. Это позволяет более аргументировано выбирать конкретные значения элементов матриц штрафов. Следует отметить, что вариации обобщенных параметров не только ухудшают точность функционирования РЭСУ, обусловливая тем самым определенный информационный ущерб, но и изменяют управляющие сигналы, а соответственно и экономичность системы. В отличие от других алгоритмов, оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности оптимизируемого функционала позволяет еще на стадии проектирования определять обобщенный информационно-энергетический ущерб для любой совокупности интересующих параметров, в том числе и различной физической природы. В общем случае уравнение чувствительности функционала качества Летова-Калмана представляет собой разновидность уравнения Беллмана [48).
Данная особенность достаточно удобна, поскольку дает возможность получить уравнение чувствительности в процессе синтеза оптимального управления. Дополнительные сведения по общей теории чувствительности динамических систем и ее приложениях к теории оптимального управления приведены в 110, 49). Поскольку на практике оптимальные фильтры РЭСУ 1информациониые контуры) и ее оптимальный регулятор (контур управления) синтезируются, как правило, раздельно (см. 2.1.3), то чувствительность контуров управления и информационного контура будем исследовать раздельно. 170 6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНОГО ПО ЛОКАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ Оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности минимизируемого функционала качества достаточно трудоемка и может потребовать значительных вычислительных затрат.
В связи с этим целесообразно использовать алгоритмы оценки чувствительности с наименьшим числом, по сравнению с другими, вычислительных операций. Рассмотрим один из таких алгоритмов, экономичность которого основана на том, что чувствительность РЭСУ по всем обобщенным параметрам оценивается на основе вектора х„заданной части, а не на основе обобщенного вектора состояния (2.13). Пусть для РЭСУ с заданной частью (2.7) х, = Еух, + В,п+»у, найден векторный сигнал управления (3.35) по=К В'Щх,— х ), минимизирующий локальный функционал качества (1.5) 1 М у [ х т ( 1 ) х у ( 1 ) 1 ( ~ [ х ~ ( 1 ) х у ( 1 ) 1 + [ и ( 1 )К и ( 1 ) д 1 Необходимо найти уравнение чувствительности функционала (1.5), не расширяя вектор состояния (2.7), при условии, что имеют место вариации всех обобщенных параметров РЭСУ.
Под обобщенными параметрами а, (1 = 1, р) далее будем понимать фазовые координаты ха (1 = 1, и ) требуемой траектории (2.8), элементы матриц штрафов О и К в (1.5), коэффициенты матриц Ру и В и действующие возмущения»,в (2.7). Следует отметить, что все принятые исходные данные удовлетворяют условиям применения теоремы разделения (см. 2.1.3).
В связи с этим чувствительность контура управления будет рассматриваться независимо от чувствительности фильтровой части РЭСУ. Кроме того, поскольку все не предусмотренные при синтезе РЭСУ отклонения х, и возмущения»„, действующие на заданную часть, рассматриваются как вариации обобщенных параметров а,, дальнейшее исследование чувствительности правомерно проводить в рамках детерминированных моделей х, и х„, а в (1.5) можно опустить знак математического ожидания. !71 Приняв во внимание зависимость (2.7) и (1.5) от ая рассмотрим эти соотношения как функции р-мерного вектора а обобщенных параметров. Если компонент а; вектора а системы (2.7), (3,35) и (1.5) отличается от номинального значения а на малое значение Ла, то (1.5) полу! я чит линейное приращение Л1, =1я (х„,ц,а,,1) — 1-, (х„,цо,ар1) = уз(х„,а,1)Ла,, (67) где 7„(х„,а,1) = д1, (х„,ц,а,1)/да,) (6.8) — динамический коэффициент чувствительности функционала, количественно равный его отклонению, приходящемуся на единицу изменения а;, Ниже для упрощения опустим обозначение а = а, указывающее на то, что все частные производные и фазовые координаты вычисляются на номинальной траектории параметров аг Поскольку минимизированный функционал качества представляет собой функцию Беллмана (см.
93.1), то (6.7) и (6.8) можно представить в виде: ЛБи = 8„(ху,а,1) — Я-,„(ху,а,1) = У,(х„,а,1)Ла„; у1(ху,а,г) = дЯ, (х,а,г)/да; (6.9) ЭБ, (х„,а,г) дЯ, (х„,а,г) — =ц'Кцч-(Бух -ьВуц+Г„)' ' "; (6.10) у д8, (ху,а,1) — = — 20(х — х ), а' т у х (6.11) которые решаются при граничных условиях Я„(ху,а,1„) = 1х,(1,) — х (1„)1'0[х,(1„) — ху(1„)]. (6.12) где Би и ЛБ„; — функция Беллмана и ее приращение при возникновении Ла;.
Правомочность замены в функции Беллмана обобщенного вектора х вектором х„основана на том, что управляющий сигнал и воздействует только на заданную часть ху [29]. Подставив в (2.7) и (1.5) функцию Беллмана (3.9), получим уравнения: д1дБа(х„,а,С)~ ди Кц д(г„х„+В„ц+б,„)' дБ, (х,а,с) д дБ, (хт,а,С) х ' +(Р х +В ц+Р, )' — ' . (6,13) дх да дх" ху 3 ху Изменив в (6.13) порядок дифференцирования, с учетом (6.9) получим ду,(ху,а,с) дц'кц д(В ху + Втц+ Ц„)' дБ, (х,а,с) да; дх„ , ду(х,а,с) +(Бух„+ В„и+б,у)' (6.14) дх„ Будем искать решение (6.14) в классе квадратичных форм у;(ху,а,с) = х„"Г,хт+ 2хтч, + 13,, (6.15) где Гд ч„(33 — соответственно симметричная матрица, вектор и скалярная функция, которые подлежат определению.
Частные производные от (6.15), в общем случае, имеют вид: дс да; ду (х,а,с)!дх' = 2[Г х + ч ]; — ду„(хт,а, С)!дС = — х'Г)ху — 2х'„'ч; — )31. (6.16) (6.17) Подставив (3.35), (6.11), (б.! 6) и (6.17) в (6.14), перейдем к соотношению д[Хт — Ху) С)В„К ВуЩХт — Ху)1 — х Г х — 2х'ч — р У 3 У У 3 ' 3 да ! д[х„'В„'+(х, — „)'~В„К 'В'„+~"„) +2[х'„Р„'+(х,— х„)'ЗВУК 'В„"+Ц)[Г3х +ч ). (6.18) 173 Соотношение (6.11) получено путем сравнения (3.16) и (3.35). В связи с тем, что рассматривается случай, когда оптимальное управление уже найдено„в правой части (6.10) опущена операция минимума, имевшая место в (3.9).
Для определения чувствительности найдем частную производную от(6.10) по а, Г =() — ~К В'Я+ЯВ В'Я+1~В К вЂ” ~() — — ~Я— да г " аа " ' да аа ) ! 3 1 де„ вЂ () †" — Р„'Г; — Г)Р + ЯВ„К 'В'„Г, + Г)В„К 'В'„Я . (6.19) 3 Сравнение в правых и левых частях (6.18) линейных, относительно х„, слагаемых и свободных членов позволяет перейти к следующим уравнениям: ар„' а~„ав„,, ак-', '. = — "()х, -Π— "-(2 — "К 'В'Ох, -ОВ В'Охт— аа ' аа да " ' ' да 3 3 3 3 , ав'„ — ()В„К ' — "()х, — Рт9, +(~в„к 'В"„9; — Г,В„К ~В'„9х.„; (6.20) а; ав„,, „. ак',, а1„ )г) = 2х,'9 — "К В'„9х, + хтОву Ву0х, + 2хЯ вЂ”"— — 2х',1~В„К 'В'„9,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
