Меркулов В.И., Дрогалин В.В. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151997), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Преобразование входных ошибок алгоритмов В общем случае алгоритм функционирования системы управления самолетом представляет собой некоторую совокупность функциональных операторов, порядок выполнения которых определен. Назовем цепочками вычислений всевозможные последовательности функцио- 149 нальных операторов, которые могут встретиться при выполнении численного алгоритма. Произвольную цепочку можно представить в виде Г1(х~ х2 ...~ хп1) У2 Г2(уп Хн Х2, ..., Х~п) У„=Г(уп ..., у„н хп ..., х ), где 1,(хьхз,...,х„,), ..., Г,(уь...,у„а,хп....,х„,) — некоторые функциональные операторы, а хп ..., х„, — входные данные. Реальные вычисления отличаются от (5.24), так как при вычислении функциональнглх операторов в общем случае приходится оперировать с неточныгаи значениями аргументов и выполнять псевдооперации.
В действительности рассматриваемая цепочка будет иметь вид у|~=Г~(х~*, Х2~, ..., Хея)+б~', У2*=Г2(у~я Х~~ Х2~, ", х ~)+521 у„"*=Г„(у1~, ..., У„п *, х|*, ..., х„,*)+5„, где б; (1=1,п) — ошибки, которые определяются многими факторами, в том числе величинами х;* и уь*, инструментальными ошибками, реальным машинным алгоритмом и т.п. Грубые предварительные оценки ошибок вычислений могут быть получены до завершения этапа построения машинного алгоритма. Если погрешность, получаемая при вычислении произвольного функционального оператора цепочки (5.25), можно представить в виде суммы преобразованных операторами входных ошибок и инструментальных ошибок, то для анализа погрешности реализации численного алгоритма достаточно получить и оценки результата трансформации входных ошибок функциональными операторами и оценки накопленных зарождающихся ошибок. Функции, входящие в реальные алгоритмы, являются обычно гладкими и при малом диапазоне изменения ошибок допускают линеаризацию.
Если диапазон изменения ошибки достаточно мал, то ошибку ез произвольной функции Р(х) можно приближенно выразить через ошибку е„аргумента в виде с$Г(х) К2 = — К„. дх 150 Тогда математическое ожидание и дисперсию ошибки вычисляемой функции г(х) можно выразить через математическое ожидание пз,„ и дисперсию гг,, ошибки е„: Ж(х) Ж(х) пз„= пз,„ бх Если вычисляется функция многих переменных ((хп ..., х„,), имеем выражения для математического ожидания т,г =2, — ш„ и дисперсии выходной ошибки 0ы =2 — 0„+2',» ,'> ы) (5.26) (5.27) где )са — корреляционный момент. В случае, когда ошибки аргументов не коррелированны, диспер- сия ошибки функции имеет вид (), =Х( )'О,;, ,ы д х, Ошибки округления ЦВМ производит операции в величинами, представленными в цифровой форме с фиксированной или плавающей запятой.
151 В алгоритмах обработки информации и управления кроме функций часто встречаются аппроксимирующие выражения (разностные уравнения), используемые при вычислении неопределенных интегралов, решении дифференциальных уравнений, и соотношения, описывающие линейные фильтры. Названные выражения близки с точки зрения преобразования входных ошибок. Дисперсии преобразованных ошибок для таких выражений могут быть получены, используя соответствующие передаточные функции. Таким образом, численные алгоритмы преобразуют входные ошибки или случайные процессы, описывающие поведение входных погрешностей, и практически во всех случаях могут быть получены оценки преобразованной функциональным оператором (трансформированной) ошибки.
)и 610,5 1 [5.29) где и — количество умножений, г, — величина максимальной абсолютной ошибки округления, и' — коэффициент, гарантирующий выполнение неравенства с вероятностью 1 [о=1,!... 1,5). Для второго случая [наличие обратных связей) в [4б) так же получен ряд формул. Например, для формулы вычисления неопределенного интеграла вида 14 Вч) у, =осу -~+очу„з+Ь[Ь ~уа+Ьоуа ~+Ь!у„-~)+Е4 [О) получена оценка максимальной погрешности накопления ошибок округления при вычислениях с фиксированной точкой в предположении малости 152 При реализации произвольных функциональных операторов на ЦВМ возникают ошибки округления, в результате накопления которых формируется ошибка оператора, обусловленная ограниченной разрядной сеткой машины.
Процесс возникновения и накопления ошибок округления определяется типом вычислительного процесса и последовательностью операций, посредством которой реализуется данный процесс. В практике построения систем управления в алгоритмах встречаются следующие основные типы вычислений: матричные вычисления, вычисление неопределенных интегралов, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, цифровая фильтрация и вычисление элементарных функций. Анализ алгоритмов, реализующих эти вычисления, позволяет получить достаточно простые схемы накопления ошибок округления. В тех случаях, когда функция определяется только входными данными, имеет место суммирование ошибок округления, возникающих на соответствующих шагах вычисления, и процесс накопления ошибок округления при статистическом подходе может быть описан законом повторного логарифма [55).
Тогда, когда в алгоритме используются не только значения входных переменных, но и значения вычисляемой функции в предыдущие моменты времени, возникает обратная связь, при учете которой могут быть получены достаточно простые выражения накопленной ошибки округления, так же опирающиеся на закон повторного логарифма. Так в [46) с использованием статистического подхода получены оценки максимальных величин накопленных ошибок округления для типичных вычислений [первый случай), выполняемых в арифметике с фиксированной точкой вида величины шага интегрирования 1з, что позволило пренебречь ошибками округления, возникающими при вычислении выражения в круглых скобках.
Максимальная погрешность удовлетворяет неравенству Ц ( з/0,5п!п 1и и Р, (1+ а,) (5.30) 5.3.4. ОШИБКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ КВАНТОВАНИЕМ ПО ВРЕМЕНИ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В многоканальных цифровых системах управления решение задач на ЦВМ осуществляется в некотором выбранном порядке. Обычно измерение параметров внешней среды и ввод информации в БЦВМ производятся соответственно порядку решения задач. Моменты измерения могут быть равиостоящими (равномерное или периодическое квантование) и неравно отстояшими друг от друга (неравномерное квантование). Наиболее часто применяется периодический закон квантования по времени. Однако из-за сбоев, возникающих в каналах связи или ЦВМ, периодическое квантование представляет собой идеализацию реальных процессов дискретизации по времени.
В случае сбоев для описания процесса квантования по времени можно использовать модель квантования с пропусками, где ключ не замыкается в произвольные моменты ~„с вероятностью Р, равной вероятности того, что задача не будет решена в такте. Тогда задача анализа погрешности дискретизации с последующим преобразованием дискретного сигнала в непрерывный 153 где ос=1 — ап и — коли гество умножений иа интервале интегрирования (без умножения в круглых скобках); г, — максимальная абсолютная ошибка округления; б — коэффициент, гарантирующий выполнение неравенства с вероятностью равной единице. Аналогичные выражения оценок максимальных накопленных ошибок округления могут быть получены и при вычислениях в арифметике с плавающей точкой.
Отличия будут заключаться только в том, что при вычислениях с плаваюшей точкой, ошибки округления могут возникать при выполнении любой арифметической операции, а следовательно и — это общее количество арифметических операций, выполняемых при реализации численного алгоритма, за исключением операций, которыми можно пренебречь в силу малости сомножителей, входящих в выражения.
Следует обратить внимание на то, что в итерационных процессах накопления ошибок округления не происходит и в этом смысле это более эффективные процессы. может быть рассмотрена в следующей постановке. Если стационарный случайный сигнал х(>) с известным математическим ожиданиям т„и автокорреляционной функцией К„(т) квантуется по времени с пропусками и поступает на окстраполятор, выходным сигналом которого является у(>), то дисперсия ошибки зкстраполятора нулевого порядка 13,.=К,(0) может быть выражена в виде (4] Р >в4»Т Ке(0)=2[К„(0)- — ~РО ~Кк(ц)4)ц), Т =о вт О4 О,б О,бКДО> 0.4КДО> оскдо> 0.4 2Т 4Т '1 бТ Рис.
5.9 Ряс. 5.1>> Реализация управляющих алгоритмов в БВС вызывает запаздывание формируемого сигнала. Величина запаздывания зависит от времени реализации алгоритма, метода диспетчеризации вычислений и способа обмена информацией между БВС и внешними устройствами. 154 где Р— вероятность сбоя; Т вЂ” период дискретизации. При Р=О формула (5.31) совпадает с известными выражениями дисперсий ошибок зкстраполятора нулевого порядка. Формула (5.31) дисперсии ошибки экстраполятора нулевого порядка учитывает как влияние периода квантования, так и сбоев в системе на точность выходного сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
