Канащенков А.И., Меркулов В.И. Авиационные системы радиоуправления. Том 1 (2003) (1151993), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При этом обобщенный показатель качества Летова-Калмана (1.4) можно представить в виде [29) 1 =МЦА,х,~1„) — А„х„(1„)]'Я~А,х,(1„) — Ауху(1ф )]+ $„. 1„. + ~ ~~х 1 1 ) Аулу 1 1)] 1,[А„х,(1 ) — А„ху (1 )]с)1+ ) ц" Кинет, (2. 1 2) о о где матрицы А, и А„уравнивают размерности векторов х, и хв Для сокращения записей, введем обобщенный вектор х=1х, 'х„')'. Тогда, с учетом (2.7), (2.8) и 11.4), можно записать 52 х(с) = Р(с)х(с)+ В(с)ц(с)+ с „(с), (2.13) ю=м~ '(с,сг, ь,ь/1*'щ и~ "к )ь~, о.н~ о где $ О~ ОЗ Чт Ст О4 о к ' ~ в ' ~" ц ' ~() о с г у 5 у А,'9А,.
— А'„(1А А,"1 А„— А„'.1 Ау — А,"ЯА„Ау9А — А„'1.А, Аус Ау а О,— Оэ — нулевые матрицы соответствующей размерности. Для задачи линейного оптимального управления, наблюдения полагаются линейными и описываются уравнениями х(с) = н(с)х(с)+ ~„(с), (2.16) где ~„— белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей односторонних спектральных плотностей С„. При нелиней- ных наблюдениях уравнение (2.16) представляется соотношением х(с) = а(х,с)+Р„(с), (2.17) 53 в котором з(х,С) — нелинейная вектор-функция.
Однако при большом отношении сигнал!шум и высокой точности измерений задачу с нелинейными наблюдениями можно привести к эквивалентной задаче линейных наблюдений. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном линейные наблюдения (2.16). В общем случае задача синтеза системы оптимального управления на основе математического аппарата СТОУ формулируется следующим образом: для системы с заданной частью (2.7), предназначенной для отработки процесса (2.8), при наличии измерений (2.16) или (2.17), необходимо найти сигнал управления и, обеспечивающий минимум того или иного функционала качества (например (2.14)). Из физических соображений ясно, что для формирования сигналов управления необходима информация о фазовых координатах вектора состояния х (2.13).
При получении информации о компонентах х, () =1,2п) необходимо учесть две особенности. Первая определяется х = М(х! (2.18) Необходимо отметить, что все существующие алгоритмы оптимальной фильтрации сводятся к вычислению (2.18). Несомненно, что оценивание вектора х будет тем точнее, чем точнее сведения о параметрах используемых процессов и систем. В моделях (2.7), (2.8), (2.13) роль параметров играют коэффициенты матриц ЄфЄ„, С„и Н, С„. Особое значение имеет точность сведений об этих параметрах для нестационарных систем и процессов, в которых коэффициенты перечисленных матриц являются функциями времени. Для текущего оценивания параметров целесообразно использовать алгоритмы ТОИ, которые позволяют найти оценки, оптимальные по минимуму СКО Н=М(Н~ ~, Р=М~Е~ ~, В=М(В~ ~, С =М~С~ ~, (2.19) используемые в алгоритмах фильтрации и вычисления сигналов управления.
Таким образом, в процессе решения задачи синтеза оптимальной системы управления в общем случае необходимо сформировать алгоритмы вычислений оптимальных сигналов управления, оптимальной фильтрации всех фазовых координат и оптимальной идентификации параметров всех исходных моделей. Эти выводы распространяются и на синтез РЭСУ на основе нелинейных моделей х„х„и х. 54 наличием возмущений, и „, что обусловливает случайный характер процессов х, и хг По этой причине никакие априорные сведения о х, и х„не позволяют точно оценить их мгновенные значения.
Вторая особенность предопределена тем, что не все компоненты х; (1 = 1,2л ) могут поддаваться инструментальному контролю. В модели многомерного измерителя (2.16) это учитывается тем, что размерность вектора х не превышает размерности вектора х (ш<2п). В связи с этими особенностями для получения информации о фазовых координатах х; необходимо использовать алгоритмы ТОО.
Очевидно, что при формировании сигналов управления в реальном масштабе времени оценки х процесса х должны формироваться на основе алгоритмов оптимальной фильтрации. Известно [54), что наилучшим по критерию минимума СКО приближением оценки х к случайному процессу х является условное математическое ожидание Для задач с дискретным временем соответствующие модели состояния и наблюдений определяются уравнениями х()с) = Ф((с, 1с — 1)х()с — 1)+ В()с — 1)ц()с — 1)+ Р,х ((с — !), (2.20) ~х ()с)~' ' Оз Ф„((с,)с — 11' ОЗ Р,(1с — 1) В()с — 1) = ~, Р,„(1с — !) = Р, (1с — !) (2.20,а) х()с) = Н()с)х()с)+ с „()с), (2.21) в которых: Ф()с,(с — !) — переходная (фундаментальная) матрица; Ф.,(!с,(с-!) н Ф„((с,(с-!) — переходные матрицы требуемого и управляемого процессов, являющихся аналогами (2.8) н (2.7), соответственно; О~— О1 — нулевые матрицы соответствующей размерности, а функционал качества — соотношением (2.22) смысл слагаемых в котором аналогичен функционалу (1.4).
В соотношени- ях (2.20К2.21) смысл обозначений аналогичен принятым в (2.12)-(2.16). 2.1.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СИНТЕЗА РЭСУ 55 В общем случае синтез оптимальных РЭСУ сводится к получению оптимальных алгоритмов оценивания, идентификации и управления. Необходимо отметить, что эта процедура достаточно затруднительна. Кроме того, полученные алгоритмы, как правило, настолько сложны, что без специальных трудоемких исследований, связанных в том числе и с моделированием полученных законов на ЭВМ, невозможно судить о работоспособности РЭСУ. В связи с этим желательны такие критерии и математический аппарат, которые еще до получения алгоритмов оценивания, идентификации и управления позволили судить о возможности их осуществления. Указанные критерии и математический аппарат были разработаны в процессе изучения свойств динамических систем (моделей), называемых измеримостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью и управляемостью.
Поскольку основной целью изучения тгих свойств является выяснение гап1с ~П~ П', ... Пн',~ =М, (2.23) где гап1с — ранг матрицы; Пв =Н(1); П; =П; ~+П, )Е(1), 1=1,М вЂ” 1. (2.24) Для стационарных систем, в которых Р=сопзй Н=сопвй условие (2.23), (2.24) приводится к виду (2.25) Анализ (2.23) — (2.25) позволяет прийти к следующим заключениям. Наблюдаемость зависит от вида детерминированных связей оцени- 56 принципиальной возможности синтеза алгоритмов фильтрации, идентификации и управления при выбранных моделях состояний и измерений, то оно проводится для идеальных условий, без учета всех видов возмущений.
Несмотря на идентичность понятий измерение и наблюдение, понятия измеримости и наблюдаемости имеют различный смысл. Нод измеримостью понимают возможность непосредственного инструментального контроля (наблюдения) той или иной фазовой координаты. Синоним измеримости — непосредственная наблюдаемость. Необходимо отметить, что ряд фазовых координат, используемых в РЭСУ при формировании законов наведения, не поддаются непосредственному измерению. К таким координатам, например, относятся угловая скорость линии визирования цели и абсолютные параметры движения цели. В отличие от измеримости, понятие наблюдаемости включает в себя еще и возможность косвенного определения некоторых фазовых координат, на основе измерения других компонент состояния. В математическом плане задача наблюдаемости формулируется следующим образом, По полученному множеству измерений г, связанному функцией я(х) с множеством состояний Х с известными моделями, необходимо определить х или подмножество х„н Х.
Возможность формирования оценок х процесса х на основе наблюдений я определяется по критерию наблюдаемости. Для линейных нестационарных систем смысл этого критерия состоит в том, что для формирования Х оценок (2.18) всех фазовых координат (2.13) на основе гп измерений (2.16) (пз<М=2п) необходимо, чтобы (35, 49] ваемого процесса, определяемых в (2.13) матрицей Р(1), и от набора и вида измерителей, определяющих в (2.16) матрицу Н(1). Проведенные исследования показали [29), что в общем случае при увеличении числа ш измерителей наблюдаемость улучшается.
Аналогичный критерий можно привести и для дискретных моделей состояний и измерений. Для этого достаточно в (2.23)-(2.25) заменить матрицу Г(!) фундаментальной матрицей Ф()с,)с-! ) процесса (2.20) [23]. Физический смысл условий (2.23) — (2.25) состоит в том, что при их выполнении можно на основе (2.16) и (2.13) получить Н независимых уравнений с Н неизвестными, однозначно связывающими измерения с оценками фазовых координат. В прикладном плане наряду с вьтснением самой возмолсноспш синтеза алгоритма филыпрации критерии 12.23)-(2.25) позволяют определшпь лшнимахьло необходимый набор измеряелзых координат, при коп1орок будет обеспечиваться оценивание требуемого вектора состо>тин. Как правило, для получения всех нужных оценок необходимо, чтобы в каждой группе функционально связанных координат измерялись, как минимум, наименьшие производные вектора состояния.
Например, для формирования оценок дальности до цели, скорости сближения с ней и относительного ускорения, а также бортового пеленга цели и скорости его изменения необходимо, по крайней мере, измерять дальность и угол. Параметрическая идентифицируемость характеризует собой возможность оценивания параметров математических моделей систем или процессов по результатам измерения определенных выходных величин в течение определенного времени. Под параметрами систем или процессов (2.16), (2.13) понимаются коэффициенты матриц Р, В, Н и матриц Св и С„спектральных плотностей возмущений «в и «„. Параметры, обозначаемые в дальнейшем элементами а; вектора а () =1,М ) по сравнению с фазовыми координатами х; (1=1,Х) (2.13) и результатами измерений г; (1=1,ш ) (2.16) считаются медленно изменяющимися величинами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
