Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Тарлыков В.А. Основы лазерной техники (1990) (1151950), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Разность фаз д зависит от отношения о/л н опре- деляется следующим уравнением: д = агсФд (сс/л). Из уравнений (2.22) и (2.23) следует, ~то в час.гном' случае при большом значении у и ие слишком малом периоде, когда е' оказывается значительно меньше 4у'Т", я =л — )/ руТ. Прн этом $д 6 = 1 и 6 =- 45'. 4О 2.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД (2.24) (2.26) (2.26) Граничное условие Ет, = Ет, позволяет иметь следующее Равенство: Ет+ Ег = Е'„подставия в которое значения Е, Е„Ер из (2. 24) — (2,26), по- лучим уом — акти, Е.
т (е г-а к к) оге + сто т г г = ©е ( к "к'и ) (2.27) Введя обозначения Е е пма —. а Е~ ~ га = (т и Еае~ коа = с, уравнение (2.27) можно представить в следующем виде: Рис. 2.2. отражение электромагнитных волн на гравице раздела двух диэлектрических сред 41 ае "'+(гег г' =се~"к . (2 28) Отражение н преломление электромагнитных волн. Рассмотрим оведение плоской моиохроматической электромагнитной волны а границе двух диэлектрических сред, Пусть электромагнитная волна, распространяясь в среде направлении единичного вектора п падает на плоскую границу вздела двух сред 7 и П под некоторым углом О, где Π— угол ежду и и направлением нормали к границе раздела и, (рис.
2.2). иэлектрические постоянные двух сред обозначим ет и з,. До- устим, что рт — — ра = 1. Заметим, что для световых волн это опущение не ограничивает общности наших рассуждений. Про- никнув во вторую среду, световая волна в ней будет распростра- яться уже с другой скоростью и в направлении, не совпадающем и. Известное в электродииамике граничное условие, заключа- щееся в необходимости равенства таигенциальных составляющих апряженности электрического поля в двух средах на границе вздела, требует существования помимо падающей н преломлен- ной волн еще третьей, отраженной, волны, распространяющейся в той же среде 1, как и падающая. Пусть направление распро- трапевия волны во второй среде (преломленной волны) опре- рдляется единичным вектором п„а направление отраженной волны п„.
Представим уравнении всех трех волн в комплексной Форме: Е = Еое~ г ' ька' — падающая волна; Е, = Еее~ ( " а "'д) — отраженная волна; Е, = Еоке~ ( л' ~к'к") — пРеломленнаЯ волна, Беря производную по времени, принимая во внимание, что а, Ь и с от времени ие зависят, будем иметь аае~ +Ьв ев" =са еп'в. (2.29) Исключая а из (2.28)' н (2.29), найдем аеим (в — в) = Ье~~~ (в, — мв). (2.30) Действительные и мнимые части (2.30)' дают два уравнения, поделив одно на другое, приходим к заключению, что (д в1 =- = 1д м„й т. е.
ю = гэ„. Исключив из (2.28) н (2.30) Ь, найдем в„= ав. Очевидно, что м = е, = ев, т. е, частота электромагнитной волйы не изменяется при ее отражении и преломлении. Заметим, что показатель преломлення электромагнитных волн определяется диэлектрическими проницаемостямн среды. В диапазоне длин воли, когда е не зависит от частоты, показатель преломления п оказывается также ие зависящим от частоты н может быть вычислен по статическому значению диэлектрической проницаемости диэлектрика, т. е.
определена в постоянном нли весьма медленно изменяющемся поле. При весьма высоких частотах электромагнитных волн, соответствующих видимому участку спектра, величина е является сложной функцией частоты (длнны волны), что определяет дисперсию света. Расчет и по статическим зна~ениям з в агом случае невозможен. Вопрос о зависимости з н а от частоты будет рассмотрен несколько позже. Теперь перейдем к вопросу о соотношении интенсивностей падающей, отраженной и преломленной волн. Представим себе, что на границу раздела падает плоская плоскополярпзованная световая волна, Рассмотрим волну, поляризованную в плоскости, перпеядякуляриои к плоскости падения. Прн этом вектор Е располагается в плоскости падения (в плоскости, проходящей через пв и и), вектор Ы оказывается параллельным границе раздела (см.
рис. 2.2). Тогда очевидно, что Н„ = Н,' = Нв = О; Нв = Н, = Н, = 0 н вектор будет иметь только одну составляв юшую, отличную от нуля и направленную по осн р. Из известного соотношения между векторами )/вЕ = )/рН получим Н„= 1/ ~' Е; Н', = 1/ — "" Е', Н„= 1/ — 'Ев. (2.3Ц Если угол падения волны О, то О„= О. Компоненты вектора Е будут равны: Е„= О; Е;, = 0;. Е" = 0~ Е» Е созО; Е', = — Есозй; Ев = ЕвсозОв) Е, = — Езптй; Е; — Е" мпй; Ев = — Евзщй .
(2.32) Из граничных условий 0~ = О,1 :Вт = Вз при рт р, найдем: е~ (Е, + Е;) = е.Еа, Нэ+ Н' = На. Подставляя соответствующие значения Н и Е из (2.31) и (2.32), получки ет(Е -(- Е') з1пО = ееЕаз(пОз; )' а, (Е + Е') = ) 8,Ез. Принимая во внимание равенство )~ е,7е~ = з(п 0(з(п Ое после соответствующих тригонометрических преобразований найдем Е,(Е = (и(Π— О,Ри(О+ О,). (2.33) Проведя аналогичные распределения для волны, поляризоваккой в плоскости падения, получим Е„ГЕ = з(п(0 — О,уз(п (О+ 0,). (2.34) Уравнения (2.33) и (2.34) представляют собой формулы Френеля, которые позволяют определить амплитудные коэффициенты отражения электромагнитных волн при двух различных их поляризациях. Энергетическим коэффициентом отражения электромагнитных волн называется отношение энергии отражекной электромагнитной волны (Р„к энергии падающей волны (Р.
Поскольку энергии волны )р пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, кз (2.33) и (2.34) следует, что коэффициент отражения волны, поляризованной в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения, равен 1~' (З вЂ” Зз) ц'(э+о ) ' (2.35) Для волки же, поляризованной в плоскости падения, имеем ыа' (з — за) з1а' (0 + З ) ' (2.36) Г1ри малых углах падения, т, е. при приближении к нормальному падению з(п (Π— 0 ) — э. (я (Π— О ) -э- (Π— Оз) и при этом сбп 0(з(п Оа = О/О, - и, так что е, в-в, В -З+З,— +1' г- — а+1 При падении естественного (неполяризованного) света на границу раздела, коэффициент отражения определяется по формуле 1 р = —,(р.-)- ь). На рис.
2.3 приведена зависимость от угла падения О коэффициентов отражения электромагнитной волны иа границе двух 43 Рис. 2.З. Зависимость коаффициеота отраиеияя на граница двух сред от угла иадеиих двух вааимио иервеидякулярио иолкриаоваияых ваехтромативтных ВОЛН Рис. 2А. Полное внутреннее отражение електромагнитных волн аа гравице двух дкелектрических сред, праисхахяшее ари увеличении угаа 6 свыше критического аиачеяиа диэлектриков при двух взаимно перпендикулярных поляризапиях. Из (2.35) следует, что при (6 + О ) =- тс12 коэффициент отражения плоскополярнзованной волны, в которой вектор Е лежит в плоскости падения, равен нулю, Волна полностью проходит во вторую среду. Критический угол О, при котором О + Ол = иг2, называется углом Брюстера. При угле Врюстера 1д 0 = л. рассмотрим падение электромагнитных волн на границу раздела двух сред, когда угол О превосходит критическое значение О, определяемое выражением з(п 6„= песо Так как из закона преломления следует, что з(п ОВ = з(п О/иг„то при О = 0 имеем Ол = и~2.
Направление распространения света во второй среде оказывается касательным к поверхности раздела, т. е. преломленная волна движется вдоль поверхности, разделяющей две среды, Прн углах еще больших, чем О, закон преломления не дает вещественного значения для угла преломления. В таком случае луч полностью отражается от границы раздела и ие проникает во вторую среду. При этом мы говорим о полном внутреннем отражении в том смысле, что в этих условиях поток энергия полностью отражается в первую среду. Тем ие менее, как будет показано ниже, электромагнитное поле существует во второй среде, однако одностороннего потока энергии во второй среде через границу раздела существовать не будет. Очевидно, что этот случай осуществляется толька тогда, когда игл —— '1I — '"' -1. Если же иг,х ~ 1, то даже при угле т Егрг падения а/2, когда з|п 6 = 1, значение з(п ОВ все же оказывается 44 меньше единицы, и угол преломления О» имеет вполне определенное вещественное значение.
Представим уравнение падагощей волны в комплексной форме: пп) г гг — ) Š— Ее'г"" " '=Е,е » созе+» пм а+л ссзт) 1Ф ж = Еое Прн распологкеггигг коордггнатнъгх осей, хак указано на рнс. 2.4, 'последнее уравнение принимает внд (» 5гп 8+» со» В) Е=Е,е Падобнвгм же образом для преломленной волны будем иметь »»гпь ~.лсо»8»~ Пч г- Е» = Ео»е т ° -.
г, = гг: а * ~„- г~| — ° » г 1"Г'и' з!п' 0 — 1, то при а з1п 0 > 1 угол цреломленяя чисто .мнимый, пе содержит вещественной части, волна не распространяется во второй среде, и в этом случае имеет место полное вну'треннее отражение. Таким образом, при полном внутреннем отражении Это есть уравнение волны, распространяющейся в направлении оси х, г. е. вдоль границы раздела двух сред, Скорость распространения волны при этом оказывается равной п,/1»1п О»).
Прн этом она меныпе скорости распространения электромагнитных волн во второй среде и,. Кзк видно из 12.37), амплитуда волны убывает в направлении осн з — имеет место затухание а направ»генни, перпендикулярном к границе раздела. Амплитуда убывает в е раз при о» з= в 1г'п»»пг» а — 1 Плоскость равной фазы к = сопз1 волны параллельна плоскости роз, плоскость равной амплитуды з = сопз1 параллельна гранигге раздела сред. Произведя соответствующие тригонометрические преобразования 12.33), получим отношение напряженности электрического поля отраженной волны к напряженности волны падаюгцей для волн», поляризованной в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения: й', агп 0 со» 8 — со» 6» згп О» к мп и со» + со» 8»»гп 9» Так как в данном случае з(п йв = л з(п 0, а соз йв = - ~' 'Р зв㻠— с Е» в!пасов 0 — /л вгп 0 багга» зшв 6 — ! (2.38) К Мп 6 Сов 0+ )л вш 0 )/лв Мо» 0 — ! Формула (2.38) является отношением двух сопряженных комплексных величин, поэтому очевидно, что !Е',~ =- !Е( и отражение действительио является полиъгм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
