Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Доказано (см., например, [64]), что пороговое значение йоо,р не зависит от того, когерентный или некогерентный прием имеет место. В [64] показано, что при когерентном и некогерентном приеме т ортогональных сигналов пороговое отношение сигнал/шум совпадает с пороговым отношением в идеальной т-ичной СПИ. В работах [21, 28] рассмотрены особенности порогового эффекта при некогерентном приеме т ортогональных сигналов. Результаты отмеченных работ позволяют считать, что при т >) 2 и-ичные СПИ с 64 ортогональными сигналами реализуют помехоустойчивость идеальной СПИ.
При этом т-ичные СПИ обеспечивают выигрыш по мощности по сравнению с двоичными СПИ. Однако выигрыш по мощности в и-ичных СПИ сопровождается требованием расширения полосы частот, необходимой для передачи информации, как это будет показано в следующем параграфе. Поэтому перейдем к сравнению двоичных и гп-ичных СПИ по мощности и по требуемой полосе частот. 2А. Сравнение двоичных и пг-ичных систем передачи информации При сравнении двоичных и и-ичных СПИ необходимо иметь в виду, что объем алфавита источника и и объем алфавита сигналов гп могут быть не равны между собой.
Поэтому в зависимости от соотношения между ними применяются различные методы декодирования символов зв в символы 5„. С этой точки зрения двоичные СПИ можно разделить на два класса: двоичные СПИ без декодирования или просто двоичные СПИ (т = и = 2); двоичные СПИ с и-ичным декодированием (т = 2, п ) 2). К первому классу относятся СПИ, в которых двоичные символы источника информации взаимно независимы и используются получателем информации независимо друг от друга. Примером двоичной СПИ может служить командная радиолиния управления, в которой каждый двоичный символ поступает по своему адресу.
Ко второму классу относятся СПИ, у которых последовательность двоичных символов на выходе приемника преобразуется в п-ичные символы. Примером двоичной СПИ с п-ичным декодированием может служить двоичная СПИ, в которой непрерывная информация передается с помощью двоичной кодовой импульсной модуляции (КИМ), называемой некодированной КИМ (64). В двоичной СПИ с п-ичным декодированием при заданной скорости передачи информации Я длительность двоичных сигналов удовлетворяет равенству (2.12). Если один п-ичный символ заменяет собой й двоичных единиц, то согласно (2.13) а = 2». Будем полагать, что в дальнейшем равенство п = т имеет место.
Такие СПИ будем называть двоичными СПИ с и-ичным декодированием. 'Аналогично, т-ичные СПИ можно разделить на два класса: т-ичные СПИ без декодирования или просто т-ичные СПИ (т = = и ) 2); и-ичные СПИ с двоичным декодированием (и ) 2, п =2). К первому классу относятся СПИ, у которых получатель информации непосредственно использует т-ичные символы. Например, при передаче .непрерывной информации путем дискретизации по времени и квантовании по уровню каждый т-ичный символ может быть непосредственно преобразован в квантованный отсчет. Такой метод передачи информации называется т-ичной или кодирован- 65 ной КИМ 1641. Ко второму классу относятся СПИ, в которых каждый т-ичный символ преобразуется в последовательность из й двоичных символов. Примером т-ичной СПИ с двоичным декодированием может служить командная радиолиння управления, в которой для повышения помехоустойчивости применяется укрупненный алфавит сигналов, или СПИ, в которой передача информации осуществляется с помощью двоичной КИМ.
Сравнение двоичных и т-ичных СПИ всех классов следует производить с учетом получателя информации. С этой точки зрения двоичные СПИ без декодирования и и-ичные СПИ с двоичным декодированием эквивалентны, так как в обоих случаях на входе получателя информация представлена в виде двоичных символов. При сравнении таких СПИ необходимо сравнивать вероятности ошибки, приходящиеся на один двоичный символ. Точно так же для получателя информации двоичные СПИ с и-ичным декодированием и т-ичные СПИ без декодирования эквивалентны, так как в обоих случаях на входе получателя информация представлена в виде т-ичных символов.
В таких СПИ необходимо сравнивать вероятности ошибки, приходящиеся на один т-ичный символ. Перейдем к сравнению двоичных и и-ичных СПИ. Сравнение по мощности. Общий метод сравнения двоичных и иичных СПИ заключается в том, чтобы найти выигрыш по мощности в и-ичной СПИ при равных вероятностях ошибок 164, 171). Сначала произведем сравнение двоичной СПИ без декодирования с т-ичной СПИ с двоичным декодированием. Основы такого сравнения приведены в (64). В и-ичной СПИ с двоичным декодированием источник информации создает информецию в виде двоичных символов со скоростью Я. Кодер последовательно разбивает двоичные символы на кодовые последовательности из й двоичных символов.
Согласно (2.13) число различных кодовых последовательностей т = 2". Затем кодер каждую кодовую последовательность преобразует в тичный символ, который передается соответствующим сигналом. Назовем кодовую последовательность, соответствующую переданному сигналу, исходной. В приемнике восстанавливается т-ичный символ, который затем преобразуется в кодовую последовательность из Й двоичных символов. Эту кодовую последовательность назовем восстановленной.
В случае правильного приема переданный и принятый и-ичные символы совпадают, что приводит к совпадению исходной и восстановленной кодовых последовательностей во всех символах. Если произошла ошибка в приеме и-ичного символа с вероятностью Р, то переданный и принятый символ не совпадут. (Индекс и подчеркивает, что вероятность ошибки относится к и-ичному символу.) Из-за симметричности канала на выходе приемника может появиться равновероятно любой из гп — 1 остальных т-ичных символов, которые назовем ошибочными. В результате восстановленная кодовая комбинация равновероятно может быть любой из т — 1 = 2» — 1 ошибочных кодовых комбинаций.
При этом исходная и восстановленная 66 кодовые комбинации отличаются друг от друга, причем отличие сводится к тому, что часть символов илн все символы в этих кодовых последовательностях при позиционном сравнении (по номерам) будут различны. Но некоторые символы могут совпадать, даже если произошла ошибка. Этот факт необходимо учитывать при расчете вероятности ошибки, приходящейся на один двоичный символ. Эта вероятность согласно (64) равна ош2 6~5п2 (лт 1) 1 ошо1 (2.43) Обозначим ошибку при приеме двоичного символа в двоичной СПИ через Р,, Приравнивая вероятности ошибки в двоичном символе двоичной СПИ без декодирования и т-ичной СПИ с двоичным декодированием Р 2 = Р; 2 и подставляя в (2.43), имеем Р, ~ = 0,5л2 (л2 — 1) 'Р (2.44) , Таким образом, если имеет место равенство (2.44), то двоичная СПИ без декодирования и л2-ичная СПИ с двоичным декодированием эквивалентны с точки зрения равенства вероятностей ошибки в одном двоичном символе.
Вероятности Р, 2 и Р определяются или формулой (2.32), или (2.33) при л» = 2 н л2 ~ 2. Основы сравнения и-ичных СПИ без декодирования и двоичных СПИ с и-ичным декодированием можно найти в [171), где вычисляется вероятность ошибки, приходящаяся на один и-ичный символ. Пусть Р, 2 — вероятность ошибки при приеме двоичного символа в двоичной СПИ с и-ичным декодированием. Вероятность правильного приема одного двоичного символа равна 1 — Р 2, а вероятность правильного приема й двоичных символов равна (1 — Р, 2)», так как она равна вероятности того, что всей символов приняты правильно.
Поэтому вероятность ошибки при приеме й двоичных символов (одного л2-ичного символа) Рошш = 1 — (1 Рош2) ° (2.45) Вероятность ошибки при приеме т-ичного символа в л2-ичной СПИ обозначим, как и раньше, через Р, . Приравнивая вероятности ошибок. приема й двоичных единиц двоичной и т-ичной СПИ Р; ,'= Р и подставляя в (2.45), получаем 1 — (1 — Р 2)»=Р (2.46) Таким образом, если имеет место равенство (2.46), то двоичная СПИ с и-ичным декодированием и л2-ичная СПИ без декодирования эквивалентны с точки зрения равенства вероятностей ошибки при приеме одного т-ичного символа (й двоичных единиц). Если Р, 2 (( (( 1, то из (2.46) находим 1ош2 — о Рошш (2.47) Формула (2.47) определяет эквивалентную вероятность ошибки, приходящуюся на одну двоичную единицу информации в и-ичной 67 ха а СПИ.
Можно заметить, что вероятности ошибки, приходящиеся на одну двоичную единицу,. рассчитанные по формулам (2.44), (2.46), (2А7), будут различны. Это различие определяется следующим. При расчете вероятности ошибки в и-ичной СПИ с двоичным декодированием было показано, что ошибка в и-ичном символе приводит лишь к ошибке в части двоичных символов. При пересчете вероятности ошибки в т-ичной СПИ без декодирования к вероятности иошбки, приходящейся на один двоичный символ, было положено, что ошибка в па-ичном символе приводит к ошибке во всех двоичных символах.
Л2' Конкретизируем общие щ=а9 формулы для сравнения СПИ, полагая, что прием некоге- а рентный. В соответствии с Гщ зтим в (2.43) и (2.45) будем подставлять значения вероятРаша ностей ошибок, рассчитанные по (2.33) при т ~ 2 и по оаш 2 ааа ш (2.26) при т = 2. Напомним, /а' что (2.26) частный случай (2.33) при т = 2. ха-а На рис. 2.8 представлены графики вероятностей ошибок Рощ2 Рощ та Рош 2а Рош та построенные по формулам (2.26), (2.33), (2.43), (2.45). Аргументом, как и ранее, Рищ 2.в является отношение сигнал/ шум /22 (2.21), приходящееся на один двоичный символ.
Графики построены для ла = 64, й = 6. Из графиков следует, что при и ~ 2 имеют место неравенства Рош2 ( Рощ т ( Рош2 Рощ2( Рошт Рощт( Рошт. Из неравенств видно, что наилучшую помехоустойчивость обеспечивает па-ичная СПИ с двоичным декодированием. Особенно зто заметно в области малых отношений сигнал/шум /22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
