Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В этой же работе получено более точное при- 60 ближенное выражение для вероятности ошибки при некогерентном приеме т ортогональных сигналов Р, г 1 — (Йз — )/Тп 2)) '21оязш! + + 1(т — 1)/2]ехр 1 — (Й3/2)!онат) Л(й, — 2) 1)п2)ф' 1од,т). (2.36) Если Й,()~1п2, то первое слагаемое в (2.36) стремится к единице, так как его аргумент большое положительное число.
Второе слагаемое стремится к нулю, поскольку аргумент у интеграла вероятности большое отрицательное число. Если Й, ) а ~~" х ! г д 4 х ) 2(~ 1п2, то первое слагаемое в (2.36) стремится к нулю, так как его аргумент— большое отрицательное число. -г Интеграл вероятности, являю- т=Я щийся множителем второго слагаемого, стремится к единице. Расчеты показывают, м 4 что при й, ~ 2Т/1п 2 первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым, ко- м х торое в свою очередь стремится к асимптотическому м 4 выражению (2.35).
Таким образом, (2.35) следует применять при Й~з ) 4 !п 2. В промежуточном случае )Г!п 2 ( й, (2)/1и 2 оба слагаемых в (2.36) вносят соизмеримые вклады. Расчеты показывают [28), что формула (2.36) обеспечивает точность достаточную для практических расчетов при любом Йа. На рис.2.7 представлены графики вероятности ',ошибки !при когерентном и некогерентном приеме ортогональных сигналов для т = 2 (двоичные СПИ) н т = 64,!024. Для когерентного приема кривые изображены сплошными линиями, а для некогерентного— штриховыми.
Кроме того, для сравнения на рис. 2.7 представлен график вероятности ошибки при приеме двух противоположных: сигналов (кривая ФМ, т = 2). Графики рис. 2.7 отображают зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал/шум Й, (2.21),, приходящиеся на одну двоичную единицу информации. Поскольку в формулах (2.32), (2.33) используется отношение сигнал/шум Й (2.30), то согласно (2.14) можно заменить Й на Йз по формуле Й = Йд~ Й = Йд~!оязт.
(2.37) 6! Соотношение (2.37) позволяет рассчитать вероятности ошибки при любом и как функции.йь Отметим, что выбор йз в качестве аргумента при сравнении вероятностей ошибок с различным и является наиболее обоснованным, так как й, содержит основные энергетические и информационные характеристики СПИ: мощность сигнала на входе приемника Р„которая пропорциональна мощности передатчика; спектральную плотность мощности шума У, и скорость передачи информации Я. Из графиков рис. 2.7 видно, что с увеличением объема алфавита и помехоустойчивость и-ичной СПИ растет, так как при йз — — сопз( вероятность ошибки уменьшается. Поскольку т-ичные СПИ обеспечивают большую помехоустойчивость при йз = сопз1, то они дают возможность передавать информацию с заданной помехоустойчивостью (Р„„= сопз1) и при меньшем значении отношения сигнал/шум й,.
Из рис. 2.7 следует, что при Р„„= сопз1 требуемое значение йз тем меньше, чем больше т. Тем самым и-ичные СПИ обеспечивают выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению с двоичными СПИ. При постоянных значениях Ж, и Я выигрыш в отношении сигнал!шум йз эквивалентен согласно (2.21) выигрышу в мощности сигнала Р,.
Будем называть его выигрышем по мощности. Таким образом, и-ичные СПИ являются более помехоустойчивыми, чем двоичные, а при заданной вероятности ошибки обеспечивают выигрыш по мощности, поэтому применение в СПИ алфавитов с объемом и ) 2 имеет практическое значение. Преимущество и-ичных СПИ перед двоичными известно давно [97). Оно полностью согласуется с общими положениями теории информации П90). Отметим, что приведенный результат (рис. 2.7) по сути подтверждает основную теорему Шеннона П90) о пропускной способности канала.
Однако в настоящее время известно лишь несколько примеров СПИ с алфавитами, объем которых и ) 2 111, 135, 184, 2141. Многочисленные исследования в теории кодирования не привели пока к реальной возможности создания СПИ с большими алфавитами. Таким образом, и-ичные СПИ имеют преимущество перед двоичными, но пока что не получили широкого распространения.
Очень часто в качестве основной причины слабого развития и-ичных СПИ указывают на техническую сложность реализации оптимальных приемников. Действительно, при передаче информации с помощью сигналов оптимальный когерентный приемник должен содержать т каналов, в каждом из которых должен быть свой согласованный фильтр и решающее устройство, которое принимает решение по максимальному напряжению на выходе одного из т каналов. Не.
когерентный приемник содержит дополнительно детекторы огибающей. Однако ссылки на сложность технической реализации и-ичного приемника с т )) 2 вряд ли можно считать убедительными, так как известны примеры реализации более сложных устройств, например, ЭВМ на больших интегральных микросхемах. Попробуем выяснить, почему и-ичные СПИ с большими гл не 62 получили широкого распространения. Рассмотрим рис. 2.7. Вопервых, существенное увеличение т приводит к небольшому уменьшению требуемого значения отношения сигнал/шум.
Особенно это заметно при сравнении и-ичных СПИ и двоичной СПИ с ФМ. Например, если задана Р, =10 ', то при и = 1024 необходимо иметь й, = 1,6, а при т = 2 и ФМ йх = 2,6. Проигрыш составляет 4 дБ. Следует отметить, что действительно при и = !024 сложность реализации возрастает существенно, хотя выигрыш по мощности не велик. Во-вторых, из сравнения графиков рис. 2.7 можно заметить, что выигрыш по мощности существенно уменьшается при увеличении объема алфавита т. По мере роста объема алфавита т = 2» по показательному закону требуемое значение йг уменьшается слабее стремясь при т -э со к некоторому пределу. Это предельное значение й, получило название порогового значения йх„„, а явление, имеющее место в СПИ при йг = й„,р, называется йорогоаым эффектом.
Как будет показано в следующем параграфе, й „р —— = )Г!п 2. Это пороговое значение отмечено на рис. 2.7 штриховой линией. Таким образом, можно сделать вывод, что применять алфавиты очень большого объема с т ) 1000 вряд ли целесообразно с практической точки зрения, так как выигрыш по мощности растет медленно, а сложность технической реализации с увеличением числа каналов оптимального приемника по показательному закону (2.13) возрастает очень быстро. В-третьих, из рис.
2.7 следует, что при йх(йх„р — — ~'!п2 вероятность ошибки Р, с увеличением т стремится к единице. Это является еще одним свойством порогового эффекта. Если отношение сигнал/шум меньше порогового значения, то т-ичные СПИ так же, как и двоичные, не могут обеспечить надежной передачи информации и переход к алфавитам с т ) 2 имеет практическое значение только в том случае, если отношение сигнал/шум больше порогового значения.
Но при этом и двоичные СПИ обеспечивают удовлетворительную помехоустойчивость приема информации. Таким образом, отмеченные три причины слабого внедрения тичных СПИ в свою очередь являются следствием порогового эффекта при передаче информации алфавитами большого объема. Поскольку выбор объема алфавита имеет большое значение при проектировании СПИ, рассмотрим пороговый эффект более подробно. 2.3. Пороговый эффект в т-киных системах передачи информации Теорема Шеннона и идеальное кодирование. Шеннон показал [190), что пропускная способность канала передачи информации С = Рк 1ой,(1 + Рс/Рш), (2.38) где Є— ширина полосы частот, отведенной для передачи информации, Р, — мощность сигнала, Р м — мощность шума.
Для белого 63 шума с равномерной спектральной плотностью мощности Уо мощ- ность шума Рш = ]ЧоРо (2.39) При условии, что Р, (( Р, заменяя в (2.38) логарифм первыми членами ряда Тейлора и используя (2.39), получаем [22] С = Ро(Д(о 1п 2. (2.40) Условие Р, (( Р „не является ограничивающим, поскольку правая часть (2.40) определяет максимальную пропускную способность, что следует из неравенства !п (1 + х) ( х. Согласно теореме Шеннона [190], если скорость передачи инфор- :мацииЯ меньше пропускной способности канала С, т. е. если Я( С, то можно так закодировать информацию, что вероятность ошибки ,будет сколь угодно малой величиной.
Если же Я ~ С, то вероятность ошибки резко возрастает, т. е. можно считать, что она стремится к единице. Для получения сколь угодно малой вероятности юшибки при Я ( С необходимо использовать алфавиты сигналов большого объема. Шеннон [190] предложил использовать алфавиты сигналов, выбранных случайно. Назовем СПИ с такими сигналами 'идеальной и-ичной СПИ. Таким образом, значение Я = С является пороговым между двумя состояниями идеальной и-ичной СПИ. Выясним, чему соответствует такой порог с точки зрения отношения сигнал/шум. Полагая Я = С, из (2.40) получаем Р 1ЯИо = — !п 2. (2.41) Левая часть равенства (2.41) есть й', согласно (2.2!), а правая— его пороговое значение. Поэтому пороговое значение отношения свгиал7шум в идеальной и-ичной СПИ равно й„, = 3Г!п 2. (2.42) Если )оо)йо„р, то, увеличивая объем алфавита т, можно сделать вероятность ошибки сколь угодно малой величиной.
Однако если Ьо( Й„,р, то применение сложного кодирования не приведет .к надежной передаче информации. В идеальной и-ичной СПИ прием сигналов должен осуществ.ляться когерентно. Однако последнее обстоятельство не имеет особогозначения, что можно показать, рассмотрев т-ичную СПИ, в которой передачи информации осуществляется т ортогональными сигналами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
