Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 60
Текст из файла (страница 60)
При т=(1=0, И=1, р=0, вероятность ошибки определяется известной формулой Р~щ=Р~щ(0 О) = 0,5 ехр( — 0,5й'). Предположим, что синхронизатор (измеритель) является оптимальным, т. е. обеспечивает минимальные в средне- квадратическом смысле ошибки при совместном измерении време- 279 ии и частоты. При достаточно большом отношении сигнал-шум на выходе измерителя (15.14) д'=2Е эи(Ио (15.29) где Е „ — эквивалентная энергия сигнала в измерительном канале, совместная плотность вероятности ошибок т, Я при некогерентном приеме приближенно определяется выражением (15.10). Интегрировать в (15.10) надо в пределах центрального пика ФН, так как при предположении д'))1 ошибки малы.
В [51 показано, что если ВФН имеет малые боковые пики в окрестности центра (т=О, Я=О), то ее влиянием на вероятность ошибки можно пренебречь. Такому условию удовлетворяют сигналы, у которых боковые пики около центра плоскости неопределенности меньше 1Д~ В, где  — база сигнала. Полагая»=0, из (15.28) находим, что вероятность ошибки Р, (т, й) = 0,5 ехр ( — 0,5 )>'Я (т, Я) >*). (15.30) Средняя вероятность ошибки при усреднении по т и й Р,, = Ц Р, (т,й)п>,(т,й)дтбй, (15.31) где ц>з(т, й) — совместная плотность вероятности ошибок т и й, определяемая согласно (15.10), т. е.
шг(т, Я) =ц>[т, Я~.е(1)1. Интегрирование следует производить по области определения центрального пика ФН. Относительно центрального пика ФН предположим, что он симметричен относительно осей т, й. Это имеет место, как было отмечено ранее, для ФМ сигналов н ЧМ сигналов с четным законом изменения частоты. Прн этом ошибки т и й статистически независимы, а модуль центрального пика ФН может быть записан в виде 1)~(т Я)> =1 От!>то) (1Я1>й>) (15.32) где ~т~ <то', >Я[<Ям Представление (15.32) является частным случаем (15.11), поскольку положено )с",о — — О.
Из (15.32) для .сигналов с прямоугольной огибающей Л=2. Для ФМ сигналов ч=1, для ЧМ сигналов ч=2. При таком представлении центрального пика ФН интегрировать в (15.31) необходимо в пределах ( — т>ь то), ( — й>ь й»). Совместная плотность вероятности ошибок т и Я, при условии, что они малы, определяется формулой (15.10). Интегрируя и нормируя, получаем [5), что средняя вероятность ошибки Р,, ж 0,5 ехр( — 0,5 1>') (1 — 1>тд') — >'+'>ьх = Р (1 УУ)-> +Я>> Я (15.33) Из (15.33) следует, что средняя вероятность ошибки не зависит от ширины центрального пика ФН по времени и частоте, так как в это выражение т» и Я0 не входят. Таким образом, средняя вероятность ошибки при оптимальном измерении времени задержки и и донлеровской частоты не зависит от базы используемых сигна- 280 лов.
Поскольку форма центрального пика ФН (15.32) зависит от. показателей ф и Л, то и средняя вероятность ошибки зависит от. формы центрального пика, но зависимость эта слабая, так как отношение 69дз(0,5. При этом из (15.33) Р,м,э Р, (1+1( +Л)l Л) (а'/4з)). (15.34) Например, для ФМ сигнала ъ =1, Л=2, а (ъ+Л)/фЛ=З/2. Для )4М сигнала ф=Л=2, а (т+Л)/фЛ=1. Обычно аэ«дэ. Поэтому различие в форме центрального пика сказывается слабо.
Следовательно, средняя вероятность ошибки практически не зависит от формы сигнала и его базы, а определяется только отношениями сигнал-шум на выходах информационного и измерительного каналов. Поэтому для повышения помехоустойчивости некогерентного квазиоптимального приема необходимо увеличивать отношение сигнал-шум на выходе обоих каналов. Чтобы ошибки при синхронизации сказывались слабо, необходимо иметь дэ»йз. Таким образом, на первый взгляд, имеет место парадокс. С одной стороны из формул (15.25), (15.26) следует, что с ростом базы ШПС точности измерений растут, так как дисперсии ошибок уменьшаются с ростом ширины спектра и длительности ШПС. С другой стороны, из (15.34) следует, что вероятность ошибки прн приеме информации не зависит от ширины спектра и длительности ШПС. Парадокса в этих фактах нет, так как, действительно, с ростом базы точности измерений растут, но величина ошибок, отнесенная к ширине центрального пика, остается неизменной, поскольку из (1525), (1526) атРэф=а~Т.фжо4то=оп(йо 'а(д, где д — отношение сигнал-помеха на выходе измерителя.
Поэтому важно, чтобы синхронизатор определил параметры ШПС (время задержки н частоту) с точностью до центрального пика ШПС, т. е. синхронизация должна осуществляться при малых расстройках по времени и по частоте внутри центрального пика ФН. Таким образом, хотя вероятность ошибки (15.34) в явном виде не зависит от свойств ШПС, но для ее обеспечения необходимо, чтобы .система поиска ШПС определила параметры ШПС с точностью до размеров центрального пика ФН, а затем система синхронизации должна обеспечивать синхронизацию с минимальными ошибками (15.25), (15.26) внутри центрального пика ФН. Прн этом необходимо, чтобы отношение сигнал-помеха на выходе измерительного канала дз было существенно больше отношения сигнал-помеха на выходе информационного канала.
15.4. Пространство параметров н многоканальный нвмернтель Как следует нз предыдущего материала, для нормальной работы ШСС необходимо сначала осуществить поиск ШПС по неизвестным параметрам (времени задержки и частоте), а затем обеспечить синхронизацию. После завершения этих процессов ШСС является работоспособной. Поиск должен закончиться обнаружением ШПС и измерением его параметров — времени задержки и часто- 281 ты, причем точность измерений должна быть такова, чтобы ошибки не выводили значения параметров нз области центрального пика ФН.
Это означает, что два соседних значения параметра можно считать неразличимыми, если разность между ними меньше ширины центрального пика ФН. Поэтому при обнаружении ШПС и измерении его параметров в процессе поиска ШПС можно считать, что параметр изменяется дискретно, т. е. принимает ряд дискретных значений. Например, пусть время задержки т изменяется от О до Т вЂ” длительности ШПС. Если обозначить через Лт — ширину интервала неопределенности, внутри которого значения неразличимы с точки зрения измерений, то число значений параметра т равно и, =Т/Ат, (15.35) где индекс «в» означает параметр «время задержки».
Шаг дискретности Лт называется интервалом неопределенности или интервалом распознавания. Аналогично, если интервал изменения частоты равен Рд, а интервал неопределенности по частоте равен А/, то число дискретных значений частоты и,=Рд/Ь |, (15.36) где индекс «ч» означает параметр «частота». Интервалы неопределенности Лт и Л/ определяются в соответствии с теоремой Котельникова шириной спектра ШПС и его длительностью, которые в свою очередь определяют ширину центрального пика ФН. Если ширина спектра ШПС равна Р, то интервал неопределенности по времени в соответствии с теоремой Котельникова Ьт ж 1/2 Р.
(15.37) Аналогично, если длительность ШПС равна Т, то интервал неопределенности по частоте в соответствии с теоремой Котельникова Ь| ж1/2Т. (15.38) Таким образом, при неизвестных времени задержки н частоте имеется и параметров; согласно (15.35) — (15.38) и = и, и, = 4 ВР„Т, (15.39) где В=РТ вЂ” база ШПС. Первый множитель в правой части (15.39)  — представляет собой число интервалов неопределенности по времени, а второй — Р«Т вЂ” число интервалов неопределенности по частоте. На рис. 15.9 изображена частотно-временная плоскость, на которой область неопределенности параметров — времени задержки т и частоты / ограничена прямоугольником со сторонами в виде «толстых» линий.
Пределы изменения равны Π— Т и Π— Р„соответственно. Область неопределенности параметров разделена на интер валы неопределенности по времени и по частоте с шагом Ат (15.37) и Л/ (15.38) соответственно, в результате чего область неопреде- 282 ленности параметров разделена сеткой на ячейки в виде прямоугольников со сторонами Лт н Лг. Общее число ячеек равно т (15.39). Площадь каждой ячейки приближенно равна площади центрального пика ФН, т. е. в каждой ячейке можно расположить только один центральный пик ФН. Таким образом, сетка на рис. 15.9 определяет границы между распознаваемыми значениями параметров, а сами распознаваемые параметры соответствуют центрам интервалов неопределенности (см.
значения т„и 1ь на рис.. 15.9) . Параметры принимаемого ШПС могут принимать любые значения из гп, и гп,. Для примера, на рисунке выделена ячейка, полностью заштрихованная, соответствующая принимаемому ШПС. Поэтому синхронизатор в процессе поиска должен найти эту ячейку, в которой расположен центральный пик ФН принимаемого ШПС и более точно определить центр ячейки с неизвестными параметрами т~ и 7ь( 1,ш„) 1,т,. Покажем, что задача обнаружения ШПС и измерения его параметров при дискретном изменении параметров сводится к задаче распознавания т ортогональных сигналов, где т определяется согласно (15.39). Действительно, каждой паре параметров т и гь можно поставить в соответствие свой сигнал и(г'; т„, гь), где а= =1, т„1=1, и„.
Поскольку два соседних значения параметра, например, т и т +, разделены интервалом неопределенности Лт, то можно считать, что ФН таких сигналов имеют несовпадающие центральные пики. В свою очередь, это позволяет утверждать, что взаимная функция неопределенности подобных сигналов принимает малые значения (порядка 1/3~ В) и при В))1 этими значениями можно пренебречь.
Такое заключение позволяет полагать сигналы с различными значениями параметров ортогональными, т.е. (' Е при а = 1, й = р ) 0 при я~1, ) и(Г; т„,/ь)и(1; то~„)с((= ( при йчьр, илн и и~1 и Йчьр, (15.40) Интегральное равенство (15.40) утверждает, что корреляционный интеграл от сигналов с различными номерами измеряемых параметров равен нулю, т. е. такие сигналы ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
