Шебшаевич В.С. Сетевые спутниковые радионавигационные системы (2-е изд., 1993) (1151869), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Фильтрация по Калману в сочетании с этим методом позволяет в два раза сократить требуемое число разрядов цифровой вычислительной машины. Формула для нахождения коэффициента усиления фильтра (!5.7) принимает при этом вид — ! К+~ = К„[й+и В,+~(1+ В+~ В+~) %;.!7', (15.13) где В,"+ ~ = %;+ ~ *С;+, К,'[5+,>, — '/ Объем вычислений при этом возрастает, однако при матрице состояния высокого порядка и небольшом количестве одновре. мепных измерений позволяет понизить требуемое машинное времн и память ЭВМ по сравнению с расчетами по формулам обычного метода с удвоенной точностью. Другая модификация фильтра Калмана [39] основана на пред.
положении, что погрешности округления являются независимыми, не оказывают влияния на измерения и полностью учитываются выражением (! 5.! 4) где ч4(;и ц=(1,*+( ° 10, а — параметр, зависящий от разрядной сетки ЭВМ. При этом модификация фильтра сводится к добавлению в правой части уравнения (15.8) ковариациоииой матрицы У 10-2- Ф(ы ц г э 0 и 2 0 (! ((ч.ц компенсирующей погрешности округления. 1$.3.
РЕКХРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ГАУССОВСКОГО ФИЛЬТРА Э-ГО ПОРЯДКА Применительно к дальномерным СРНС неточность задания математической модели канала измерения может проявляться в том, что при определенных априорных погрешностях координат П пренебрежение нелинейностью в функции измерения дальности приводит к расходимости рекуррентного фильтра. Рассмотрим рекуррентный метод решения навигационной задачи применительно к неподвижному П при нулевых погрешностях положений НИСЗ. При этих условиях уравнения фильтра Калмана (15.4) — (15.8) примут вид (е+( = ф (15.16) К44((.(.ц = КР' Т т 2 К~+( = К(4(ы-ц Сьь([ С+~ К,щ(+ц С, + ог(ы ц~, (15.17) (Ь4-( = (1(+~ + К+([ г Р+ц ггп+ц((1ы ц Ф+~)1 (15.18) К„(+ц — — ~ ! — К+( С,+(] К,.ы ц. (15.19) Одно из основных допущений, сделанное при выводе этих выражений, состояло в использовании линеаризованного уравнения канала измерения. Применение метода линеаризации правомерно только тогда, когда диапазон изменения аргументов навигационной функции достаточно мал.
На практике это условие не всегда может выполняться( и тогда пренебрежение нелинейными членами разложении приводит к несоответствию между вы пнлеицымц значениями корреляционной матрицы К„((4.0 ц исти(шыми погрешностями навигационных определений, что нарушает оптимальность обработки последующих результатов измерений и вызывает расходимость рекуррентных алгоритмов. Один из наиболсе естественных способов сохранения оптимальности обработки состоит в учете при разложении нелинейной функции г,((!(, ь)() в ряд Тейлора не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения более высокого порядка: 243 г(ф,О) = г(йь()1) + С,(й, — Ч) +1/2(й,— й) 7(ф — а)— (15.20) где 7; = ( д г~( пь 4.5) /дч д4)1 Если в (15.20) сохранить члены разложения до квадратичного включительно, то условное математическое ожидание г~ и апри- 2' орное значение дисперсии аа примут вид г~ г(4! 0) + 1/25р(У Кв) (15.21) о" Сг Кдо С"' + 4 + 1/25р[ 7~ К о 7~ К4ь] > (15 22) где 5р( ) — след матрицы.
Последние члены в (15.21) и (15.22) представляют собой поправки на нелинейность функции. Чтобы уравнения (15.15) — (15.19) можно было использовать для решения навигационной задачи, необходимо выполнение неравенства оь ~ 1/2 5р! У К,м У~ К4 . Если погрешности априорного знания координат места П харак- теризуются матрицей о~; 0 0 0 0 о„', 0 0 0 0 о„- 0 0 0 0 овм то для дальномерных СРНС 1/2 Яр( У; К,м У~ Кн„) (( о,', + о'„; + ои) /2г,'. Допустимая погрешность априорного знания координат места, при которой погрешности линеаризации не приводят к расходи- мости фильтра,,зависит от дальности П вЂ” НИСЗ (от высоты орбиты и положения П относительно НИСЗ) и погрешностей навигационных измерений.
Эта величина в первом приближении характеризует размеры области сходимостн фильтра н при о,— а„= =а, =о,„опРеделЯетсЯ из неРавенства о„( ~( -,~ 2гп;/3 ПРи а; ж30 м для РНС на стационарных орбитах о,„<30 км, а для систем, использующих НИСЗ с периодом обращении 6...8 ч, а„( -20 км. Чтобы расширить область сходимости, можйо учитывать квадратичную нелинейность путем введения соответствующего смещения и увеличения априорной дисперсии погрешностей на- 244 вигационных измерений согласно уравнениям (15.21), (15.22).
Рекуррентные фильтры, учитывающие квадратичную нелинейность, называют гауссовскими фильтрами 2-го порядка (88]. Для обработки дальномерных измерений такой фильтр имеет внд /)!+! р)! Крюр./) Кр/ ! г ! К/р-! = Крр/!+!! С+!! С+! Крч/ь!! С+! + а/!!р-!/+ — ! + 1/2 5р(//+! Кмп+!! //+/ Крю+!))) /р+ = 9+ -(- К+ (г«ц+!/ — га+п(й+, ()+!) — 1/25р(/+ К ю+!/)). К ь+!/ =[ ! — К/+! С!+!] К ц!+и. Эти уравнения отличаются от обычно используемых уравнений (15.15) — (15.19) двумя слагаемыми, учитывающими погрешности линеаризации. По мере повышения точности навигационных определений добавочные слагаемые уменьшаются и гауссовский фильтр 2-го порядка преобразуется в фильтр Калмана. рзм. свлвивиив /ран~'внятных аягОвитыОв пО вдзыввды ОВЛАСТИ СХОДИМОСтм Область сходимости рекуррентных алгоритмов можно оценить по результатам ' моделирования навигационных определений.
Способность фильтров обеспечить сходимость характеризуется отношением аф!/ои, где -Ыр ом — /и ! / / + Х (бг; — бгт) ! — суммарная среднеквадратическая погрешность, которая фактически обеспечивается в результате решения навигационной задачи по выборкам измерении; и,! — — и! / 4р5р (К р/)— / ! мера теоретической точности, которая опрсдслистся корреляционной матрицей К„!. При достаточно большом числе выборок т фактическое среднеквадратическое отклонение о,/„должно стремиться к теоретическому значению а/ь Если ом-о„, то алгоритм обеспечивает сходимость процессов навигационных определений и точность, соответствующую теоретическим расчетам.
245 Сравним области сходнмости рекуррентных фильтров Калмана и гауссовского фильтра 2-го порядка для трех вариантов построения СРНС в предположении, что измеряемыми радионавигационными параметрами являются дальности или квазндальности, П неподвижный н погрешности знания положений НИСЗ равны нулю. Навигационные определения моделировались по данным региональной РНС с использованием двух и трех стационарных НИСЗ, разнесенных иа 45' вдоль орбиты, и по данным системы с использованием среднеорбитных НИСЗ. В первом случае П расположен на главном направлении системы на удалении от плоскости орбиты 5 и 60', во втором — в точках, где обеспечивается обсервация по созвездиям из четырех и восьми НИСЗ.
Оценка сходимости производилась при следующих данных: погрешность измерения дальности (квазндальиости) 30 м, геоцентрическая высота положения П либо априорно известна с погрешностью п„о=75 м, либо определяется в результате решения навигационной задачи; при обработке данных от двух НИСЗ погрешность априорного знания разности фаз генераторов П и НИСЗ 30 м. Погрешности навигационных измерений, погрешности априорного знания координат места, геоцентрической высоты и фазы генератора П моделировались с помощью датчиков случайных чисел. биг/бгг бхи/бгГ ба!/бгГ гд 2Д йб йб (,2 гб ' нр лг гаа зрб б) бнь хм 2,2 2,б г,в г,б Г,ь г2 г,а а бр гбр р) 2,2 г,б гв гб 24 Г,2 рд га бб ВР баб б) бна.ип Я7б боа км бог/бп 2Д 2Д (в г,б г,е гг г.б гп Рис.
!5.2. Диаграммы, иллюстрируюгиие оценку области сходимости рекурреитцых фильтров по .созвездию из двух (а) и трех (б) стационарных НИСЗ (ос,=75 и). а также по созвездию пз четырех (в) и восьми (г) средневысоких НИСЗ: — гауссовский фильтр, — — — — калманоа. скнй фпльтр Юд Юб 5бб бпа, КМ 240 На рис. 15.2 показаны зависимости оо//ои (после усреднении по 100 реализациям) от погрешности априорного знания координат места Помо при обработке измерений с использованием фильтра Калмана и гауссовского фильтра 2-го порядка.
Если к алгоритму предьивляется треГ>ование обеспечить точность, близкую .к теоретическим расчетам (о>,— 1,)п„), то при обработкс данных РНС, использующей средневысокие НИСЗ, область сходимости о,„составляет 30...50 км для линейного фильтра Калмана и !00...500 км для гауссовского фильтра 2-го порядка, при обработке данных региональной РНС, использующей три стационарных НИСЗ, области сходимости равны соответственно 40...80 и 50...250 км, при обработке данных от двух стационарных спутников 50...60 и 100...450 км.
При погрешностях априорного знания координат П, лежащих в области сходимостн фильтров, рекуррентные алгоритмы могут использоваться и для навигационных определений динамического П. Так, на рис. !5.3 для гауссовского фильтра 2-го порядка пред- р/пней>ируюи/ий патребиглепа етв 1О ! "/."//О>! еи . Ое 1О !114в1' /О 2 4 О О Ю /7/,с 2 4 О О /О /2/,с Неманеерируюе/нй псюрсастспь м м /О /О 2 С О О /О /7дс г 4О ВМ/2/с рис. !З.З. Завам>мости погреш>мотей иавигаииоииых опреаеасиий от времеви ставлены результаты моделирования навигационных определений по созвездию из восьми средневысоких НИСЗ для неманеврирующего и маневрирующего П, летящих со скоростью 3600 км/ч. У маневрирующего П горизонтальная составляющая ускорения и скорость изменения путевого угла составляют 1О м/с и 0,5 '/с.
Штриховые линии на рис. 15.3 показывают зависимости во времени фактических погрешностей навигационных определений по месту б, скорости 6., путевому углу бз и по фазе б, которые являются абсолютной разностью между истинными значениями определяемых параметров и нх оценками, полученными в процессе решении. Сплошные линии представляют зависимости во времени аналитических оценок точности, которые основываются на вычисленных значениях корреляционной матрицы.
Анализ результатов моделирования работы рекуррентного алгоритма определения координат места и параметров движения П позволяет заключить, что при принятых значениях погрешностей априорного знания вектора определяемых параметров обеспечивается сходнмость навигационного процесса. Погрешности, основанные на вычисленных значениях корреляционной матрицы, отличаются не больше чем на 20...30 Я от значений, полученных в результате моделировании. Как следовало ожидать, точность навигационных определений н время переходного процесса зависят от маневренных характеристик П. Это нетрудно установить из сравнения верхней и нижней пар графиков. Таким образом, при использовании в дальномерной системе спутников с высотами орбит !0...36 тыс.
км область сходимости линейного фильтра Калмана оценивается десятками километров. Область сходимости рекуррентного алгоритма решения.навигационной задачи можно расширить до нескольких сотен километров прн использовании гауссовского фильтра 2-го порядка. ГЛАВА 16 СПОСОБЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ 1в.1. пОЕАВА1ели 1ОчнОс1и нАВМГАциОнных ОпвеЛеленил Проблема оценки точности сама по себе представляет непростую задачу и оказывается предметом многочисленных исследований 12, 5, 70, 94, 101, 119, 1291. Как следует из изложенного в гл. 3, 13 — 15, в результате решения навигациопцой задачи в текущий момент времени 1 дается оценка вектора состояния 911) движущегося П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
