Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Переставим строки матрицы Н таким образом, чтобы ее первые т строк были линейно независимыми. Таким же образом переставим столбцы матрицы 0 с номерами, равными номерам переставленных строк матрицы Н. В результате такой перестановки равенство (Н.!) не будет нарушено. Введем обозначение и = р+о-т и представим пере- ставленные матрицы Р и Н в следуюшем блочном виде: 0 = [0„0„), ~н 1 Н = ~, где 0 — матрица размера (р+о)хт, образуемая первыми т ~Н„~ столбцами матрицы Р; 0„— матрица размера (р+ц)хи, образуемая последними и столбцами матрицы 0; ̈́— квадратная невырожденная матрица размера яхт, образуемая первыми т строками матрицы Н; ̈́— матрица размера ихш, образуемая последними и строками матрицы Н.
Тогда равенство (Н.1) может быть переписано так: Спутииииеые радииииеигпвииииые систеиы 0,„=-0„Н„Н„'. (нз) гап)с(0)<п. (Н.4) Тогда должна существовать матрица Н „размера (р+й)х(пй-1) такая, что (Н.5) 0 Нты =О. С учетом обозначения (5.! 3) имеем 0 Н „= ВН„„,— -ВН(Н ВН) Н ВН„„=О,или вн.„=вн(н'вн) н'вн „. (Н.б) Для произведения ВН „,, стоящего в левой части (Н.б), на основании неравенства Сильвестра [71] имеем р+и+гп+!— — р — о <гап1с(ВН„„)< ш+1, откуда гай(ВН „)=ш+1. Для произведения ВН(Н ВН) Н ВН „, стоящего в правой части (Н.б), на основа- ~-! нии того же неравенства имеем гап)с(ВН(Н ВН) Н ВН „)<ш.
Таким образом, шпй(ВН ы)вгап1(ВН(Н ВН) Н ВН „), откуда ВН ы вВН(Н ВН) Н ВН „, и, следователыю, 0Н май. Таким образом, из допущения (Н.4) получили противоречие с вытекающим из него равенством (Н.5). Следовательно, гапк(0) не меньше, чем и, и тогда гап1с(0) = и. Из того, что матрица Вп является ковариациониой, следует, что она положительно определена [40]. Отсюда получаем, что все (не только последовательные) главные миноры матрицы Ки положительны [7!].
С учетом того, что матрицы В„ = К,,' и К„ симметрические, последовательные главные миноры матрицы В„равны отношению дополняющих их миноров матрицы Вп к определителю матрицы Вп [7!]. Все миноры матрицы й„, дополняющие последовательные главные 278 Таким образом, ш столбцов матрицы 0 могут быть линейно выражены через и ее остальных столбцов. Отсюда следует, что ранг матрицы 0 не превышает и. Покажем теперь, что ранг 0 не меньше, чем и, используя доказательство от противного. Положим, что Праанона енин миноры матрицы В„, будут главными (но не последовательными) минорами матрицы К„и поэтому все они будут больше нуля.
Поскольку определитель матрицы Ки также больше нуля, все последовательные главные миноры матрицы Ви положительны, Отсюда следует, что матрица Ви = Км является положительно определенной. Покажем теперь, что матрица 1) (5.13) является положительно полуопределенной, используя доказательство от противного. По определению, положительная определенность матрицы В„ влечет справедли- вость условия (Н.7) р+ -НО Ви р+ -НО >О, для произвольных р, к и О . Причем равенство в (Н.7) достигается толь- Г91 ко при р+~ ~-Н 8=0. В п. 5.5 было доказано равенство р+ — НО В„р+ — НО =( 9-Оа) Ка'( 0 — Оа)+ )а+ В 1а+ (Н. 8) где Ка — ковариационная матрица (5.24) оценки 9 (5.22).
Из (Н.7) и (Н.8) следует, что (9-9„) К '(0- 6„)+ )ае В )а+ >О (Н.9) для произвольных )а, (а и О. Матрица К, как любая ковариационная матрица является положительно определенной [40). Отсюда вытекает положительная определенность матрицы К и справедливость условия ( 6-9„) К, ( В- 0„) > О, где равенство нулю достигается только при 9 = В„. Положим теперь, что квадратичная форма 279 Спутниковые радпопоопговпо иные киоте оы может быть отрицательной при некоторых значениях своих аргументов р, «. По формуле (5.13) вычислим 6„, соотвстствуюшее этим аргументам и положим в (Н.9) 0=0„.
Тогда первая квадратичная форма ( 0-0„) В ' ( 0- 0„) в (Н.9) будет обращаться в 0 и сумма, стояшая в левой части (Н.9), должна быть меньше нуля. Таким образом, из допушения, что квадратичная форма (Н.10) может принимать отрицательные значения получили противоречие с условием (Н.9). Следовательно, квадратичная форма (Н.10) не может принимать отрицательных значений. С учетом того, что ранг квадратной матрицы 0 в (Н.10)меньше ее размера р+9, получаем, что матрица 0 является положительно полуопределеной.
Приложение) Преобразование неравенства т(р, «)<х(р, «) В связи с тем, что левая и правая части неравенства т(р, «) < )((р, «) идентичны, будем проводить преобразования только левой части. Вид преобразованной правой части будем записывать по аналогии с преобразованной правой частью. Для квадратичной формы )((р, «), стоящей в левой части, с учетом обозначений (5.5) и (5.17) имеем =(0чч0чпУ+чР ") ычч(ыччьгчоу+и+к)+У (ч чоо 0чо0чч0ао) 7' Аналогично для ((р, «) получаем Х(р «) (0т0чру+е+«) Вт(0чч0чру+чр+«)+ (1.2) Последние члены в правых частях (1.1) и (1.2) одинаковы и поэтому в неравенстве у(р, «) <К(р, «) их можно опустить. В результате неравенство у(р, «) <)((р, «) преобразуется к виду (0,ч'0чоу+чр+«) 0„(0,,'0„7+Е+«) (0„ч0ч,у+в+«) и (Л.З) гво Прилож еаая Введем в рассмотрение составную матрицу размера Чх(р+Ч) Л =~0;„'О„ (Л4) где Оц, н Оц, — блоки матрицы Р при ее представлении в виде (5.17); 1 — единичная матрица размера с1хс1.
С учетом обозначений (Л4) и (5.5), выражение (ЛЗ) переписывается в виде (Лр+1с) 0,„(Лр+1с)<(Лрц-1с) 0 (Ляц-(с) Приложение К Вычисление произведения Лн Оцр 0~ Нц Оцр Ну ц ОццНц (К.1) Из (К.!) вытекает матричное равенство (К.2) Рццну+ 1)ц„иц Умножая левую и правую части (К.2) слева на Р ', с учетом обозначения (5.30), имеем =~0-'0„1,1 И=ЛИ=О. (К,З) Приложение(. Вычисление ковариационной матрицы составного ~т1 (сп+ц)-вектора ~ ~ Ч ~ т1 Ковариационная матрица составного (т+Ч)-вектора ~ ~ может с) быть, очевидно, вычислена по формуле гву Легко проверяется равенство ОН = О.
Преобразуем это матричное равенство, используя обозначения (5.9) и (5.17): Спутникоеые родиоссоессгоссиоссные сиетелсы (1..1) О=Лр, (1..3) вычислим подматрицы рр', рц, р|р, т|р)', входящие в(1..1): ни~=(Н В„Н) НтВ„рртВ„Н(Н ВрН) =(н'в„н) н'в„рр'в„н(н'в„н) = =(н'в„н) н'в„в„-'в„н(н'в„н) = =(н'в„н) н'в„н(н'в„н) =(н'в„н) , (1..4) иц =(НВН) НВ ррЛ =(НВН) НВ ррЛ (НтВ Н)-' НтВ В-с Лт (НтВ Н)-' Нт Лт В Приложении К показано, что ЛН = О.
Отсюда получаем т) =О р)р =О, (1..5) (1..6) (1..7) цц~=Л|ср~Л =Л|с|стЛ =ЛВ Л (1..8) Учитывая, что в соответствии с (5.30) Л=(0чк0, 1ч~, преобразуем (1.. 8): ,Ъ 0-'1 ч ,|0 ~ =0нн~вм 0кн~ Ви 0 0кк ° м ГО1 Введем в рассмотрение матрицу е, = ~ ~ . Тогда (1,.9) может быть пере- Ы писано в виде 2В2 где две черты сверху обозначают операцию усреднения по множеству. Пользуясь тем, что т=(Н В„Н) Н В„р, (1 .2) Прае 1>ж енин 2)2) = 0 'У, 0 В„'0У0,„' . (1..10) Учитывая легко доказываемое равенство 0 В„0 = О, из (Ь.!0) получаем (Ь.11) Окончательно имеем следуюшсе выражение для ковариационной ('т1 матрицы составного (ш+0)-вектора ~ ~: 11 (н'В„-'н) е ~ 0 0„„'! (Ь.!2) Приложение М Вычисление вероятности Р(с), 1(,г) попадания 51-мерной нормальной случайной величины с параметрами О, 1 внутрь шара с радиусом г, удаленного от начала координат на величину с( Вычисление вероятности Р(1(, д, г) сводится к вычислению о-кратного интеграла: г1г.г,")- ' .
Я (г-гп,) (г-нг„) 5 г (М.! ) Х„1 = К 51п О„2 С05 0„„1, (М.2) хч = Ка!и Он-1 Нетрудно показать, что 263 где ш„— о-мерный вектор с модулем !ш„(1= 11. Перейдем к сферическим координатам К, О,, О2 „.... О„,, т.е. сделаем замену переменных [Зб): Х1 = К С05 01 С05 Оз....
С05 О Х2 К51ПО1СОХО2'"'СОХО 1 Хз = К51ПО2С05О1.,СОХО„1, Спутниковые родггоновигоггионные енепжиы [[х[[ =~х; =К 1ы Согласно [36), якобиан преобразования (М.2) имеет вид д(хи хг,.... хч ) г ч-г =Кч 'сози,(созн,) ....(сохи„,) . (М.4) д(К. и~ "г --ич-г ) Подставляя (М.З) и (М.4) в (М.!), получаем яг Р(о, г(,г)=, ~е ' ~Кч '~йиг)тсозигйи х (2л)ч х)(созиг) диг... ~(сози,) дпч,~ЙК. (М.5) х ) Б (К, 6, г)ехр~ — ! 4К.
(М.б) Второй случай (рис. М.2) характеризуется соотношением о < г . В этом случае для значений переменной интегрирования К ~ г-д шаровой сектор превращается в сферу, а интеграл (М.5) представляется в виде Рис. М.2. Второй случай взаимною расположения шаров 284 Если зафиксировать переменную К, то, согласно [36), выражение в квадратных скобках в (М.5) является плошадью шарового сектора омерного шара с радиусом К, отсекаемого другим шаром радиуса г. Обозначим плошадь этого сектора как Б, (К, г), г) . Алгоритм вычисления К У Яч(К, д, г), как функции К, д, г, описан г в Приложении 11. О д гп При рассмотрении взаимного положения шаров с радиусами К и г возможны два случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
