Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Первый случай (рис. М.1) характеризуется соотношением г( > г . Рис. М.1. Первый случай Для случая очаг получаем взаимного расположения шаров Р(о, г),г)= ч, х (2л) Присожеиия 1 ( К'') Р(Ч, с),г)=ре(Ч, гс()+, ~Яс(К, с),г)ехр — Ы, (М.7) (2к)чг, „~ 2 ! где Р„(Ч, г-с)) — вероятность попадания нормальной случайной величины с параметрами 0,1 в шар радиуса г-с), центр которого совпадает с началом координат. Из [74) получаем следующие выражения для вычисления функции Р,(Ч, г): з Ч 2 (1.= —, а= — )для четных Ч 2 2 П(Ч-21)-е'г" '-е'~ г' й"!)П(Ч-2)) с=! с=! !=! П(Ч-2!) (М.8) Ч ( 1. = — ) для нечетных Ч 2 Ро(Ч г)= !.-! ! с е )' г П(Ч-21)+П(Ч-21))е зс)! с=! !=! О (М.9) ь — П(Ч-21) 2.
с=! 285 В результате многомерный интеграл (М.!) сводится к одномерному (М.б) или (М.7) и может быть найден численными методами. При написании программы численного интегрирования необходимо учесть особый случай с) = г. При таких аргументах нижний предел интегрирования в (М.б) и (М.7) становится равным нулю.
При этом значение подинтегральной функции в точке К = О не может быть вычислено из-за того, что числитель и знаменатель аргумента агссоа в формуле (8.4) обращаются в О. Из этого положения легко выйти, полагая О = я и опуская все операции вычисления функции агесоа. В табл. М.! приведены значения функции Р(Ч, с(, г), которые могут быть использованы при отладке соответствующего программного обеспечения. Спун2инкоеые рпдионпеигпцнонные е2нинеиы Таблица М.1. Значения функции Р(Ч, д,г) Ч=5,г=1 Ч=8,г=! Ч=2,г=1 Ч=11,г=1 Р(Ч, ф г) Р(Ч, ф г) Р(гь 4, г) Р(Ч, д,г) 1 0,243163е-1 2 0,66279!с-2 3 0,747017с-З 0,11!57!с-2 1 0,287678с-3 2 0,297420с-4 3 0,266864е+О 0,812817е-1 О, ! 06728е- ! 0,3 ! 7527е-4 0,802867е-5 0,919851е-б 0,121568е-5 4 4 0,576067е-З О,!83035е-6 4 0,341882е-4 Приложение Р! Вычисление площади $ч (К,23, г) шарового сектора г)-мерного шара с радиусом й, отсекаемого другим 21-мерным шаром с радиусом г, центр которого удален от центра первого шара на расстояние 23 Поверхность, образуемая в результате пересечения двух шаров в Ч- мерном пространстве, является (Ч-!)-мерцым шаром.
Построим конус с вершиной О в центре шара радиуса К и (Ч-!)-мерным основанием, образуемым пересечением Ч-мерных шаров (рис. Х. ! ). Нетрудно вычислить угол (3, задаюший конус и тригонометрические функции яп(3 и соз(3 от него. На основе рис. Х.! можно построить треугольник, показанный на рис. Х.2. Из рис. Х.2, в соответствии с теоремой косинусов, имеем г = К + о~ — 2 К 6 соз(3, (Х.1) откуда К +г(2-г сов(3 = 2 К г! (Х.2) яп (3 = 2/! — соз' (3, (Х.З) К ч-2) -г 2 2 2 (3 = агс соз 2йд Рнс.
Х.1. Конус, образуемый пересечением шаров (Х.4) Введем в рассмотрение переменный угол а, который будет изменяться от О до В. Текушее значение угла а будет определять (Ч-!)-мерную сферу с радиусом Кяпа, лежашую в основании конуса с углом а при вершине. Величина поверхности этой сферы будет равна [36) 0 2! Рис. Х.2. Треугольник, полу- ченный нз рнс. Х.1 286 Приложения ч ч-г 2'и -' ч-г 8. „= (К а!па) при четном г), (ц-3)!! |~-3 чи 2' хг ч-г Я»„= (К а!па) пРи нечетном г).
(г( 3) и (Х.5) ц-! чм ч-г Би,= Кч яп' ада при нечетном г). (г(-3)!! (Х.б) Отсюда получаем выражение для площади шарового сектора при четном ц: ц ц-г а 8 (К л ) 2 " Кч-1 ~а1пч-гп бп (Ч 3)!! (Х.7) Ч-2 Вводя обозначение 1.= — и используя табличное выражение 2 для интеграла, входящего в (Х.7) (75), для четных ц получаем чм(21 -1)(21.-3)...(21.-21ц-1) гс-гьи~! (21.-1)!! 2" (1.-1)(1.-2)...(1 -й) ~ 2"1 ! /' Вследствие определенных особенностей записи формулы (Х.8), для значений г( = 2 и ч! = 4 следует использовать выражения 8г(К, д,г)=2К!3, Б,(К, д, г) = 2яК'(1г-сох!5 з!п0) . При нечетном ч! плошадь шарового сектора 287 Ширина полоски шарового сектора, отсекаемой углом да, будет, очевидно, равна Кяпа. Тогда плошадь полоски (дифференциал плошади кольца, задаваемой углом ба) будет равна произведению ширины полоски Ма на плошадь сферы (Х.5), лежащей в основании конуса с углом а при вершине: ч ч-г 2гп' ц,, г Бц, = Кч япч а да при четном о, (ц-3)!! Спутоикопып !гпдиоопегггпвгтппып пист опы ч-1 и -1 а 2' я' Я (К,д,г) = К4 ' )яп" га да.
(о-3)!! (Х.1! ) о — 3 Вводя обозначение Ь = — и используя табличное выражение для ин- 2 теграла, входящего в (Х.11) [75], для нечетных о получаем 2к ( к) г„„)' соа() Г . гь (2Ь)!! ( 2Ь+1~ 2 +'1.(1.-1)...(1 — К) гь гк г ~„'(2Ь-1)(2Ь-З)...(2Ь-21 — 1) 2" Ь! 1 2" Ь! (2Ь+1)! 1~ (21 +1)!! (Х.12) Вследствие определенных особенностей записи формулы (Х.!2), для значений о = 3 и о = 5 следует использовать выражение Б (К,д,г) = 2яК'(1-соа()), 2ягкк Яг(К, д,г)= [2-сох!3(2+ яп ())).
3 (Х.! 4) Приложение Р Доказательство леммы частичного решения системы линейных уравнений Пусть имеется в общем случае избыточная система линейных уравнений вида Ах+Су=х, (Р.1) где х — вектор, элементы которого мы хотим оценить (далее будем называть этот вектор полезным); у — вектор, элемегггы которого оценивать не требуется (будем далее называть этот вектор мешающим); А и С вЂ” матрицы соответствующей размерности; г — вектор правых частей системы линейных уравнений, ошибки определения которого характеризуются ковариационной матрицей К. Ставится задача нахождения решения системы линейных уравнений относительно только полезного вектора х, которое давало бы результат, совпадающий с решением системы (Р.1) для вектора х .
Перепишем систему (Р.1) в виде, более удобном для записи ее общего решения: гвв Приложения [А С] =х. (Р.г) т т Как известно, максимально правдоподобная оценка вектора [ х~ у~] вычисляется по формуле [32] %[А С] %х, (Р.З) где подматрицы Е, г, Р, Н определяются так: Е =[А [% — %0(С %С) С %]А) (Р.5) Е=-(А~%А) А~%С(С~%С-С~%А(А~%А) Аз%С) =-( ~-1 Ат%А Ат%С(Ст%С) 'С~%А) А %С(С %С) ' ,-! =- А~(%-%С(С~%С) С~%)А Ат%С(Ст%С), (Р.б) Р=-[С~%С-С~%А(А %А) Ат%С) С %А(Аз%А) =-(Ст%С) С %А(А %А — Ат%С(Ст%С) С~%А) =-(С %С1 С %А(А [%-'И6(Ь %01 0 %]А) -Г,г27) Н =(С~%С -Ст%А(Ат%А) А~%С~ 289 где % = К ' — весовая матрица.
Преобразуем выражение в круглых скобках в правой части (Р.З). В соответствии с формулой Фробениуса [71] и матричными равенствами, вытекающими из нее, получаем Сиз%%ими%то радиооаыиеаииоооые отточи =(о (%-%%!А %ж)'4 %)о) (Р.8) Подставляя (Р.4) в (Р.З),Ю получаем (ЕА +УС )Хвг~ (РА +НС ) эЬ'г~ (Р.9) Из (Р.9) имеем частное решение для полезного вектора х, соответст- вующее исходной системе (Р.!): х=(ЕА +РС )%г. Подставляя (Р.5) и (Р.б) в (Р.!0), получаем (Р.10) (%((% (~ — %%!о %%1 о %)%) А -(А (% — %%(о %%! о %)ь) ж %о(о %о) )% -(А (% — %о(о %о) о %)Ь) хА (эт' — '%УС(С~\%С) С~э%) г. (Р.!1) Если теперь ввести обозначение В„=В-ВС(С'ВС) С'В, то выражение (Р.!1) для х переписывается в компактном виде; х =(А %„А) А Ф„г .
(Р.12) (Р.13) Нетрудно видеть, что (Р.13) является решением максимального правдоподобия избыточной системы линейных уравнений Ах=к Р.! 4 290 ( ) при условии, что в качестве весовой матрицы при этом используется матрица эт'„(Р.12). Сравнивая (Р.!) и (Р.14), сформулируем лемму частичного решения системы линейных уравнений Ах+ Су = г (Р,!), в которой ошибки определения вектора г задаются ковариационной матрицей К. Если требуется оценить только полезный вектор х, без оцснивания мсшаю- Приложения щего вектора у, то для этого достаточно найти решение максимального правдоподобия избыточной системы линейных уравнений Ах = х (Р.!4), при условии что в ней ошибки определения вектора а задаются ковариационной матрицсй К„=( К ~ — К ~С(С~К ~С) СтК ~) Приложение (4 Преобразование функции правдоподобия (6.5) Для преобразования функции правдоподобия (6.5.) в дальнейшем потребуются два матричных равенства, вытекающих из формулы Фробениуса [71, 76] для обращения блочной матрицы (А — В0 С) =А +А В(0-СА 'В) СА 1, (А — В0 'С) В0 '=А 'В(0-СА В) (() 2) Поскольку первый член в показателе степени экспоненты (6.5) не зависит от вектора к,, его можно ввести под знак пз!и.
Тогда выражеи ние под знаком пнп в (6.5) приобретает вид и т Е(9)=(9, -В) В,(9, -9,)+(рм-НО) Вм(рм-НО,). ЯЗ) мощью знака =, Из Я.З) получаем т т Е(В,)=(9, ) В,О, -(9, ) В,О, -ОтВ,О, +9,"В~О, +Р~~В„рм— рмВмН!9! О/ Н~ Вмрм + О/ Н/ Ва!Н!9! т т т т т (Я.4) Введем обозначение -! К, =(В, + НтВмН,) (0,5) 291 Надо получить выражение для функции правдоподобия с целью поиска ее максимума.
Поэтому в процессе преобразований (12.3) можно опускать или добавлять произвольные члены, не зависящие от В,. Целочисленный вектор К,, входящий в Я.З), зависит от вектора 9,, Поэтому нельзя опускать либо добавлять члены, зависящие от векторов О, либо й,. Далее преобразования с опушенными либо добавленными членами, не зависящими от векторов О, и к,, будем обозначать с по- Салат~новые родноаовнгаявонные снсннныы с учетом которого е(е,) = в',к в, -в',к к, (В-,в;+ н',В„,Рц)- -( ' ° ) ,т — В;В-, + Н,'В„,рц) К,К-,'Е, +р„',Вюрц.
Я.б) Введем обозначение Оц = К~(В~О, + Н~В нрц) . Я.7) Преобразуем Оц (0,7) в более удобную форму. Принимая во внимание матричные равенства (0.1) и (0.2), получаем Оц = К)В,О~ +КНтВмрц =(К, — К, Нт(км+НК, Нт) Н,К, )х т1' хВО, + КН~В„рц =О, — К, Нт(КМ+ Н К Нт) Н О, + оы +К,НтВМРц =О, — (В, +Н~Вон~) НтВ„,Н,О, +К,НтВМРц —— = Е;+К,Н',Вм(Рц-Н,В;), (0.8) Введем обозначение С,=К,Н,Вм. т (0.9) Тогда Я.8) может быть записано в более традиционной и компактной форме: Вц=е, +С,(Рц — НР,). (0.16) С учетом Я.7), выражение Я.б) для Е(6,) представляется в виде е(е ) м(6 -Оц) к (е -Оц)+РцВмРц -Оцк~ ец (О 1!) 292 Второй и третий члены в правой части (О,! 1) не зависят от оцениваемого вектора В, и зависят от целочисленного вектора Ец Введем обозначение 8М,(й,) для суммы второго и третьего членов в правой части Я.1!) и затем преобразуем эту сумму.
В процессе преобразования будем опускать либо добавлять члены, ие зависящие от й,. Учитывая обозначения Я.7), (5.б), (5,9), имеем т т -~ т 8М,(й,) =Рцвоуц -ВцК; Вц=РцВМРц— -( ', ) ,т — В Е + Н'ВМРц) К К 'К (В В + Н~ ВМРц)= Прияожн»воя )в,+в) ) [ " '] [»' ]-(в;) н на;в;— -)в;)'н;н,(н) н'„! [ " '] [ '1 В, В„~ „„,~ В, В„) Нн К,В,6,— Н, Н, х Н, .н,[но н'„! [ " (0.12) БМ)(а))нв[7,В„,+(»р,+й,) В,, 7,В„)+(»р)+1в)) В„,| (6, ) В) К)[ Н»)В»)+ На)Вн„) Н»)Вм) «-ННВ„„ Н„,1 "'~К,В;6;— Н„]''' — 7)В»)+(»р)+й)) В„„, 7,В „)+(чв)+и)) В„,| 7) В»,Н„, «-ф) Вн,,Ни «-а) Вт,)Н»)+7) В»н)Нн)+е) В„,Н„„+й) Вв)Н -(» - -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
