Поваляев А.А. Спутниковые радионавигационные системы (2008) (1151867), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для удобства, приводимый ниже алгоритм упаковывает элементы трех матриц 1., 0 и Ет результата в одну выходную матрицу, имя которой совпадает с именем входной матрицы, В нижнем треугольнике выходной матрицы под ее главной диагональю помещаются соответствующие элементы матрицы 1. без ее диагонали, в верхнем треугольнике выходной матрицы над ее главной диагональю помещаются соответствующие элементы матрицы ь" так же без ее диагонали. Диагональные элементы выходной матрицы принимаются равными диагональным элементам матрицы О.
Представленный в данном приложении алгоритм использует для осуществления 1О(. разложения только цижшою треугольную часть т входной матрицы. В кодах языка МАТЮКАВ алгоритм ЕОь~ разложения имеет вид Рапсйоп [А] = (ЛНл гл(А) % ЕОьт разложение симметрической положительно определенной '/а матрицы А.
Результат помещается в ту же матрицу А. % Главная диагональ выходной матрицы А равна главной % диагонали диагональной матрицы О. % Часть матрицы („ расположенная под ее главной диагональю, 271 Сп> теиеоеые радионаеигаинонные снстены "те помещается под главной диагональю выходной матрицы А. М Часть матрицы !., расположенная над ее главной диагональю, те помещается над главной диагональю выходной матрицы А. [Ч,п) = з1ае(А) 1Го- = и; Гйзр('Входная матрица функции (,О!.1 ю не является квадратной'); е!зе Гог) = 1о е4 Вычисление первого столбца матрицы 1.
1Г А(1,1) < = 0.0 Йзр('Вх, матрица функции (.О(.! ю не является положительно опредсленпои'); ге!пгп; епп' !ГАВ= =1 А()+1:Ч,)) = А()+1:Ч,))/А(),1); еУе Вычисление остальных столбцов матрицы !. еЬе Гог1 = 1л-1 ч(1) = А(1, 1)"А(1, 1); епй те Вычисление диагональных элеме1ггов матрицы О с '/о номерами со 2-го по о-й ч()) = А(),))-АД,1:1-1)еч(1:)х1)~; 1Гч(О < = О.О 11!ар('Вх, матрица функции !.О!.! п1 не является положительно определенной'); ге!цгп; епй 'Ь Вычисление!-го столбца матрицы 1.
А(1,)) = чо); 1Г) <Ч АО+1:Ч, )) = (А(1+1:о, ))-А(!+1:Ч, 1:)х! ) еч(1:~-1))М(!); епе) епй епо' те Заполнение части выходной матрицы А над верхней ее диагональю Гог1 = 1;Ч-1 А(1, 1+1:Ч) = А(!+!нй !); епй епо гтг Приложения П р и м е р. Результат применения функции ЬОЬ1 щ к матрице РЧЧ (С.12) имеет вид 16,7690061520 1726 0,32989935223315 0,08472742086124 1ВВ = 0,32989935223315 35,34447066872609 -0,387093!8743381 .(Е.!) 0,0847274208 6124 -0,38709318743381 45,45709469463232 Приложение Р Описание алгоритма вычисления размера зллипсоида с В алгоритме, представленном в Приложении 13, требуется вычислять размер эллипсоида мерности Ч, внутри которого должно лежать и точек с целочисленными координатами.
Это означает, что объем этого эллипсоида должен быть равен числу целочисленных точек и, которые должны лежать внутри него. Объем эллипсоида, определяемого уравнением хтр х=2 (Р.! ) может быть вычислен по формуле [40) кч!22чм Ч,= ГЬ+1 ~Яе1Р 1,2 (Р.2) где Г(х) — гамма-функция, Г~ — +1~= — ! — для четных Ч, !Ч ! Ч (2 ) 2 Г~ — +1~ = — ) ) (1,5+1) — для нечетных Ч, и- целая часть Ч/2; де! Р— 1'Ч 1 Л вЂ” "' , .Иы.
Е= — и à — +1 ЫР (Р.З) Приводимый ниже алгоритм определения размера эллипсоида Е реализует вычисления по формуле (Р.З) в кодах языка МАТЬАВ: гипс!!оп (е.) = зса!е(Ч,п,дегепп) % Вычисление размера Е Ч-мерного эллипсоида х'Ах = 2, % содержащего внутри себя и точек с целочисленными % координатами. % Вход: гтэ определитель матрицы преобразованной квадратичной формы, задаю- щей уравнение эллипсоида. Приравнивая (Р.2) к значению и, получаем выражение для вычисления размера эллипсоида: Соуотихоиые родиоионигояиоииые сиотеиы ',4 г) — размерность эллипсоида 'г' и — число точек с целочисленными координатами внутри ;4 эллипсоида % г(е1епп — определитель матрицы А эллипсоида ;4 Выход: ;4 2 — размер эллипсоида 1Г йегегш < = 0.0 йЬр('Определитель матрицы в функции зса1е меньше или равен нулю'); ге1игп; епй Е = (и 2ийашюа(цг2+1)"бе1епп)"(1/ц)/р1; П р и м е р.
Для 9 = 3,и= 20 имеем 2 = 77,30822192616387. Приложение 6 Исследование свойств квадрики Х(р, й) = )3 Уравнение Х(р,й)= р+ „Р р+ „=Р, (О.! ) определяет в пространстве переменных р (р+ц)-мерную квадрику (36), здесь )) — положительная константа. Найдем координаты точек пересе- чения квадрики (О.1) с прямой, задаваемой уравнением (0.2) р=у+1т где 1 — произвольный (р+ц)-вектор единичной длины, нс лежаший в плоскости столбцов матрицы Н; т — произвольный скаляр; у — произ- вольная точка, лежашая в ш-плоскости, задаваемой уравнением у=Нт- (0.3) (1т Р 1) т'=0.
(0.4) гт4 здесь Ф вЂ” произвольный вектор размерности ш. Прямая (0.2) проходит через точку с координатами у, лсжашую в ш-плоскости (0.3). Подставляя (0.2) в (О.1), с учетом (0.3) и легко доказываемого равенства РН = 0 получаем квадратное уравнение относительно скаляра т: Приложения В Приложении Н доказано, что матрица Р является положительно полуопредслепной и ее ранг равен и = рл-ц-пь Из РН = О следует, что плоскость строк матрицы 0 (поскольку матрица 0 симметрическая, то и плоскость столбцов) является п-мерной, ортогональной к плоскости столбцов матрицы Н, В связи с тем, что единичный вектор 1 в (0.2) не лежит в плоскости столбцов матрицы Н, 0 1 и О.
Из РН = О также следует НтР=О и Нт0 1=О. Таким образом, вектор 0 1 ортогонален плоскости строк матрицы Н, или плоскости столбцов матрицы Н, т.е. вектор 0 1 лежит в плоскости строк (столбцов) матрицы Р. Но по условию вектор 1 не лежит в плоскости столбцов матрицы Н и, следовательно, не ортогонален плоскости строк (столбцов) матрицы Р. Как следствие, получаем 1 0 1 и О. Из положительной полуопределенности матрицы 0 следует 1т 0 1 > О, откуда получаем 1 0.1 > О. С учеа ~О.З) *с, «ДЕЛ 1). и ь к т, з в (0.2), получим координаты двух точек на поверхности квадрики (О.1), равноудаленных от точки с координатами у, т.е.
от ш-плоскости, задаваемой уравнением (0.3). Таким образом, т-плоскость (0.3) содержит множество центров симметрии квадрики (0.1) и, следовательно, является ее осью. По этой же причине квадрика (О.1) не является центральной [Зб). Определим тип квадрики (О.!). С этой целью перейдем в новую систему координат с осями, задаваемыми столбцами ортогональной матрицы ()=[О„О ~. При этом столбцы, образующие подматрицу О размера (р+ц)хт, выберем таким образом, чтобы они лежали в тплоскости столбцов матрицы Н.
Отсюда следует, что (0.5) Найдем матрицу перехода из новой системы координат в старую. Согласно [73), столбцы матрицы перехода состоят из направляющих косинусов осей новой системы по отношению к старым осям. Единичные векторы, ориентированные вдоль осей старой системы можно задать в виде строк единичной матрицы 1. Единичные векторы, ориентированные вдоль осей новой системы задаются столбцами матрицы О. Как известно, скалярное произведение единичных векторов равно косинусу угла между ними.
Отсюда следует, что матрицу перехода можно вычислить как произведение 1 () =О . Таким образом, преобразование координат и любого вектора в новой системе в координаты р того же вектора в старой системе осуществляется по формуле н =Он . Подставляя Спутпикоеые родиопоеиго)(иопиые системы это выражение в (0.1), с учетом (0.5) получаем уравнение исследуемой квадрики в новых переменных ч: (,—,) а,оа„(,— „)=О-[ ] о()-а,(а,оа,) а„о)[ ],)ао) где ч„— первые и элементов вектора ч, .: =-(а,оа.Г а.о['] (0.7) Матрицу в выражении (0.7) со,м =-[6„'00„) ()'„0 (0.8) Г81 можно рассматривать как матрицу проектирования точки ~ ~ (р+ц)- ~й~ мерного пространства в точку ч„ и-мсрного пространства.
Докажем, что для любых точек (р+9)-мерного пространства, которые проектируются с помощью матрицы (0.8) в одну и ту жс точку ч„, значение квад- 1т т ратнчной формы р 0р равно ~ ~ 00„[0„0ог„) ()„О, Все мно- (0.9) где х — произвольный щ-мерный вектор. Для квадратичной формы рт0р, с учетом (0.5), (0.7) и (0.9), в каждой точке множества и имеем чт (о)'оо'-(.'„)'а,'оаг„'=[~] о)).(а.'оа.) 'а.'о[о], Саво) Г81 Поскольку точка ~ ~ также входит в множество р, то 276 жество точек р, (р+9)-мерного пространства, которые проектируются с помощью матрицы (0.8) в одну и ту же точку ч„п-мерного простран- ства, можно записать с помощью выражения Пр1оожеяня (О.11) С учетом (0.11) видим, что второй член в правой части (0.6) равен О и поэтому (0.6) может быть переписано в виде (т„- т„) О„Р О„(т„— т„) = !) .
(0.12) Так как в (0.12) не входят последние гп компонент вектора переменных т, матрица ()„0 О„является симметрической и невырожденной и )3>0, уравнение (0.12) и, следовательно, уравнение (0.1) являются уравнениями эллиптического цилиндра с и-мерным основанием [36). В основании этого цилиндра лежит и-мерный эллипсоид, задаваемый уравнением (0.12). Приложение Н Определение характеристик матрицы 0 С учетом (5.13), вычислим произведение РН: ОН =В„Н -В„Н(Н'В„Н) Н"ВхН =ВхН-ВхН =О. (Н.! ) РН=[0 0„) ~ ")=Р,„Н„+Р„Н„=О. ~н„') ° ~Н„~ (Н.2) Далее получаем 277 Поскольку ранг матрицы Н равен т, среди ее строк имеются гп линейно независимых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
