Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Разложим принимаемый сигнал г'(1) в ряд Фурье на интервале 0<1<Т. Легко видеть, что вся информация о переданных сообщениях заключена в начальной фазе гр. Будем в соответствии с правилом (9.3) минимизировать общую вероятность ошибки р. Из результатов гл. 3 ясно, что принятый сигнал должен ото'кдествляться с реализацией зф), если ! У вЂ” У~!((7 — 9,(, г=1,...,т; где:1; р,= 9, . (9.32) Если теперь исходить из правила (9.5), минимизирующего р» то нетрудно убедиться, что в 1-м сообщении должен регистрироваться символ «О», если значение гр в принятом сигнале лежит внутри одного из 2" — ' секторов, соответствующих этому символу.
Определяя таким образом символы всех й сообщений, придем ктому, что совокупность всех принятых символов однозначно определяется тем сектором, в котором находится о значение ~р, т. е. к .правилу (9.33). Таким образом, для систем МФТ, так же как и для ортогональных разделимых систем и в отличие от ортогональных комбинационных систем, правила (9.3) и (9.5) совпадают.
Это зна- / чит, что если задан манипу- l ляционный код (т. е. уста- У новлепо соответствие между чрес. 9.6. Область врееильиого реализациями сигнала (9.3) ' приема при вивт. и совокупностью символов й сообщений), то решающая схема, минимизирующая р„ обеспечивает и относительный минимум р; для каждого сообщения. Величина р„ очевидно, не зависит от выбранного манипуляционного кода. Что же касается вероятности р» то для различных манипуляционных кодов и для различных сообщений она принимает, вообще говоря, различные значения.
В этом легко убедиться, рассматривая рнс. 9.7. Пусть в некоторой системе символу «О» в 1-м сообщении соответствуют заштрихованные секторы, Очевидно, что при компактном расположении заштрихованных секторов (рис. 9.7а) вероятность правильного приема Рго сообщения, т. е. вероятность того, что помеха не выведет принятый сигнал из заштрихованной области, больше, чем при некомпактном расположении (рис. 9,7,б), Таким образам, для того чтобы обеспечить абсолютный минимум р» нужно применить решающую схему, минимизирующую р, и выбрать такай манипуляционный код, который обеспечивает наиболее компактное 597 ° г Номер соойнения О я,.
8 ,./4 Зк/8 и/2 бп/8 Зп/4 9я/8 бп/4 1!я,'8 З. /2 1Зя, 8 7я/4 1бя/8 расположение секторов, соответствующих определенному символу в /-ат сообщении. Так как сумма всех секторов, соответствующих одному символу 1заштриховапных на рис. 9.6), равна л, то наиболее компактное расположение имеет место, когда все они находятся по одну сторону от некоторой прямой. Это условие, однако, г г Рис. 9.7. Влияние манипуляционного кода на вероятность ощибки рт е т-м сообщении: а1 компактное расположение секторов: а1 нексмпакп~ое расположение сек- терев. можно выполнить только для двух сообщений, Если А>2, то З-е, 4-е и последующие сообщения не могут иметь такое расположение секторов, н, следовательно, при любом манипуляциоппом коде вероятность ошибок для этих сообщений болыпе, чем абсолютно минимальная.
Принято нумеровать сообщения в порядке возрастания ро При выборе манипуляционного кода можно исходить из различных критериев оптимальности, например минимизировать среднюю вероятность ошибок во всех сообщед 1 я-т ниях — у ' /тт, либо добиваться минимума наибольшей 1=! нз вероятностей ошибок по всем сообщениям, либо добиваться наиболее равномерной вероятности ошибок по всем сообщениям и т. д. Наименьшую среднюю вероятность ошибок обеспечивает известный манипуляционный 898 код Грэя 181.
Для этого кода секторы, соответствующие одному символу в 1-м и 2-м сообщениях, расположены очень компактно, для 3-го сообщения образуют две группы, занимающие по 90, для 4-го сообщения — 4 Рис. 9.8. Расположение секторов для МФТ при /т=4 1код Грея). группы по 45' и т. д., как показано на рис. 9.8. Сопоставление угла чт совокупностям символов для /с=4 дано в табл. 9.1. Т а блица 9.1 (9.34) (9.35) (9А2) откуда (9.43) (9.38) 601 Если значение фазы передаваемого сигнала будег ошибочно отождествлено с соседним (что при флюктуационной помехе более вероятно, чем любая другая ошибка), то в результате этого при коде Грея будет искажено только одно из Ь сообщений.
Другие коды, обладающие тем же свойством, описаны в работе Щ. Общая вероятность ошибки р прн оптимальном когерентном приеме полностью известного сигнала МФТ представляет собой вероятность того, что модуль фазы суммы гармонического сигнала Л созЫ н составляющей помехи асов(41+Рз!п(41 превысит и/2('. При нормальной флюктуационной помехе, когда ан р — гауссовские случайные величины, эта вероятность согласно (3.71а) рав- на р,= — 1 — — вФ~~ 2 Ьяп — „) — — „— — у ~$ 2 Ь вйп ~„, р 2 Ьс(н — „), где У(х,р) — функция Никольсона [!О]. В частности, прн Ь=1, что совпадает с (3.45), а при Ь=2 (ДФТ) — — — (Ь)' ,— —,Ф'(Ь), (9.36) 3 1 ° 1 что может быть получено также из (3.70а). При больших кратностях уплотнения и малых вероятностях ошибок можно пользоваться довольно точной оценкой р, (1 — Ф~~/2 Ьз(п — „).
(9.37) При медленных релеевских замираниях для ДФТ, усредняя (9.36) по Ь, как это делалось в гл. 5, получим При Ь>2 и Ь~~ > 1 из (9.34), как показал 11. П. Хворостенко, ьюжно получить оценку Р< ~ 2 +2, з1п2- 1 (9"39) ~Я41~~ — '„ Для вычисления вероятности ошибок р( в сообщении системы ДФТ заметим, что ее можно рассматривать как ортогональную (в общем смысле) разделимую систему. Действительно, сигнал (9.31 при) т=Ь=2 можно представить в виде з, (1) = Л соз ( Ы+ — (г — ! ) з( = — Л ссв (в!+ — '+ +(' ) !+ 2 [ 4+(~ ) ) ~((1(1) +~(~1. (9.40) г=1,2,3,4; г,=1,2; г,=1,2, Таким образом, сигнал з('1) разлагается на сумму двух взаимно ортогональных индивидуальных сигналов Ь((1(1) и ~(В(1), каждый из которых имеет две противоположные реалпзации и несет информацию о своем сообщении. Отсюда следует, что ошибки в обоих сообщениях при отсутствии замираний независимы и, кроме того, из соображений оныз(етрии, р(=рг=р,.
Поэтому вероятность правильного приема обоих сообщений равна 1 — р, =(1 — Р,И1 — р.) =(1 — р )', (9 41) и( = 1 — )/1 — р„,. Учитывая 9.36, получаем р( 1 (1+ Ф (Ь)) (! Ф (Ь)), 1 1 что совпадает с вероятностью ошибки для двоичной си- стемы ЧТ;при когерентном приеме. При релеевских за- мираниях, усредняя (9.43), найдем При /г=З и коде Грэя вероятности ошибок р, при отсутствии замираний можно вычислить, рассматривая рис. 9.9. Жирными стрелками показаны векторы, изображающие реализации сигнала а(г), а пунктирными линиями — границы между различными решсниямп. ! Ш Й>б .
г ггр Ш г Рис. 9.9. К,вычггслению .вероятности ошибок лля МФТ при гг=з. Пусть передавался сигнал 000. Ошибка в 1-м сообщении возникнет, если составляющая помехи, направленная по н стрелке а, превзойдет величину А яп —, поскольку сум- 8 ' ма сигнала и помехи окажется по другую сторону границы, обозначенной 1 и разделяющей области, соответствующие «О» и «1» в 1-м сообщении. Составляющая помехи, ортогональная к стрелке а, на ошибки в 1-м сообщении не влияет. Вероятность такой ошибки, как легко вычислить, равна Р', = — — [1 — Ф ()/2 й гнп — ~ 1. Такова же будет вероятность перехода «О» в «1» в первом сообщении, если передавался сигнал 010.
В случае же передачи сигнала 001 или 011 составляющая помехи, направленная по Ь (или с), должна прев- 602 зайти величину Асов — "', что произойдет с вероятностью 8 ' р = — 9 ~1 — Ф~)/2 й сов .~ )1, Полагая, что все сигналы передаются равновероятно, найдем, чта .полная вероятность ошибки в 1-и сообще- нии равна т ° с.
р,= 9 (Р',+/>",)= — ~2 — Ф~~ 2 Ь,!и — ')— — Ф>~)/2 й соз — )~. (9.45) Легко убедиться, что такова же будет вероятность ошибки рв во втором сообщении. Для определения вероятности ошибки рз в третьем сообщении рассмотрим, например, сигнал 001. Едиггица в третьем сообщении перейдет в пуль, если составляющая помехи, направленная по стрелке е, превзойдет Аз!и — или": ортогональная ей составляющая, направ- 8 ленная по стрелке [, превзойдет Асов — Аналогичное 8 условие имеет место при передаче любого другого сигнала. Поскольку составляющие помехи независимы, легко вычислить [1!).
>и» = 4 ~! +Ф()/2 тг и!и 8 )1 '[ ! +«!>~у2 !г сев 8 )) 4 — — [1 — Ф г'1/2 !гз!и — '11 Г1 — Ф(1 2 й саз — '' 1~= 8/!1 8/ =Я! — Ф[')/2 йзп — ') Ф()/ й..з — ')1. (9.40) Эта вероятность почти вдвое больпге вероятностей ошибок в 1-и и 2-м сообщениях. Прп !г>3 вычисление вероятностей опшбок становится более сложным. Однако прп коде Грэя, если вероятность ошибки очень мала, можно воспользоваться тем, " Здесь имеется в виду нсклщчщощее «нлн», твк квк если обе составляющие помехи превзойдут укзззниые величгшы, то, квк видно из рис.
9.9, символ 3-го сообщения будет принят верно. 603 Системы МОФТ 2и (г — 1) 2" + (9.49) что при ошибочном отождествлении принятой реализации сигнала ошибка почти во всех случаях произойдет только в одном из сообщений. Поэтому средняя по всем сообщениям вероятность ошибки Р;,р приблизительно в и раз меньше, чем Р„или, учитывая (9.37) и (9.39), в канале без замираний Ргсв= ~ ~! — Ф~)~'2 Ьз!и — ")~, (9.47) а в канале с медленными релеевскими замираниями 1 Г2" — 1 1 Реев ~ ~ — „+ — ып —,, ~. (9А8) Анализ полученных выражений показывает, что с увеличением кратности уплотнения средняя вероятность ошибки Р;,р в системах МФТ, в отличае от орто- Рис.
0.10. Средние вероятности ошибочного приема символа со- общения системы МФТ в канале без замираний. гональных комбинационных систем, быстро возрастает. Это видно из рнс. 9.10, где сплошиымн линиями показаны точные, а пунктирными — приближенные зависимости средней вероятности ошибок от йа для канала без замираний. Поэтому такие системы целесообразно при- 604 менять для каналов, в которых большая пропускная способность обусловлена высоким отношением мощности сигнала к мощности помехи, а полоса пропускання мала, В системах с многократной относительной фазовой манипуляцией (МОФТ) информация содержится в разности фаз между соседними элементами сигнала, Другими словами, они отличаются от МФТ тем, что отсчет фазы каждого элемента производится не от постоянной «опорной фазы», а от фазы предыдущего элемента сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
