Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 107
Текст из файла (страница 107)
То же относится к коду с л=-9, А =-3 и е(зим=3 и к ряду других. Более жесткие условия должны быть наложены на параметры кода в случае поэлементного приема с исправлением ошибок. Для их вывода удобно воспользоьаться понятием эквивалентной вероятности ошибок ри корректирующего кода, введенным в гл. 2. Очевидно, код с избыточностью целесообразно применять только в том случае, если (10.52) да< Р где Р' обозначает вероятность ошибок, которая имела бы место при использовании кода без избыточности с сохранением скорости передачи информацть Пусть код позвопяст исправить все ошибки кратностью т и меньше и пе исправляет Л' ошибок кратностью и+!. При достаточно малых вероятностях ошн- * Элементы сигналов хил!11 а 110.60) не совпадают с хил!1) в !10.49), так как нх длительности прн заданном Ги неодинаковы.
Однако Р, в обеих формулах по условию одинаковы. 663 бок р, как легко убедиться, эквивалентная вероятность ошибка для систематического (и, й) кода асимптотически равна р,=ар'"+!, где а=/у/А. В случае когерентаого приема р = — 2 (1 — а (Тй)), 1 /!' = — ( ( — Ф ()ггг —, Т/л)1 (10.54) Здесь учтено, что при переходе от кода с избыточностью к примитивному коду энергия сигнала увеличивается в и//г раз. Воспользовавшись асимптотическим выражением для Ф(А), нз (10.53) и (10.54) можно получить (12) В ' —;=1 ° . " Х ь -+со Р л-лчсф ! — г (1' 2п)ьлйал+л Х ехр ~ ( —,„— — 1) — 21, (10,55) 1 Х!РЗ У т- 1 — г' (10.56) В случае некогерентного приема для ортогональных сигналов с активной паузой в (12) получено следующее выражение: 1пп = — ', =1пп — ' ехр [ ~ — — т — 1/! — ~, (10.
э7) 664 й где г = 1 — — — избыточность кода. Если —,)т+1, то правая часть (10.55) неограниченно возрастает и условие (!0.52) не выполняется. Если, ! наоборот, — - т + 1, то предел правой части равен нулю и при достаточно больших Ь неравенство (10.52) будет выполнено, Таким образом, условием целесообразности применения избыточного кода при поэлементном когерентном приеме является откуда условием целесообразности применения кода будет г т) —. 1 — г' (10.55) Как легко проверить, из всех известных групповых кодов с п(12 лишь очень немногие удовлетворяютэтим условиям. Но и для них значение К прн котором выполняется неравенство (10.52), очень велико.
По-видимому, избыточные коды дают заметный реальный выигрыш в канале с флюктуацпонными помехами лишь начиная от п порядка нескольких десятков. Примечания 1 (к 6 1О.1). Под чпрл!емом в целом» в этой главе, как обычно, понимается метод приема, в котором решающая схема анализирует целиком отрезок сигнала, соответствующий кодовой комбинации. Иногда говорят о приеме в целом, понимая под этим анализ сигна. ла, соответствующего всему передаваемому сообщению. Легко показать, что если любая последовательность кодовых комбинаций в этом сигнале имеет одинаковую апрнорнио вероятность, то такой прием всего сигнала пе имеет никаких преимуществ перед приемом в целом отдельных комбинаций, аналогично тому, как в коде без избыточности (когда все последовательности символов допустимы и равновероятны) прием в целом не имеет преимуществ перед поэлемены ным приемом. В действительности для многих источников не все последовательности кодовых комбинаций равновероятны, Это является следстнием избыточности алфавита источника.
Однако эту избыточность обычно трудно использовать для повышения верности приема. Заметим, что для канала с памятью, в мотором величины с; моррелнрованы, если к тому же пе выполнено условие (10.17), прием в целом может иметь преимущество перед поэлемелпным приемом, даже прн примитиваом кодировании. 2 (к $10.2 и 10.3). Основная трудность при реализации приема в целом и приближающихся к нему методов приема заключается в необходимости запоминать непрерывные (коятинуальные) величины сл, получаемые при обработке отдельных элементов сигнала, либо их суммы. Для этого нужны аналоговые запоминающие устройства (например, сул!маторы на рис.
10.2 и !0.3), которые труднее выполнить, чем дискретные, используемые при поэлементнон приеме. Эта задача,улрощается, если прием в целом применяется для сипналов с параллельным кодированием (см. 6 9.6), так как в этом случае результаты демодуляции сл вырабатываются одновременно и их яе приходится длительно хранить. Заметим, что сложные (широкополосиые) сигналы, о которых говорилось в гл.
У и 8, можно также рассматривать как результат последовательного иля параллельного кодирования наиболее избы- 666 точным кодом (л, 1), считая одну нз составля>ощнх информационным элсме>пои, а все остальные — пронерочпычн. При таком подходе (!3) разлн шые методы приема таких с >гналов саознтсн также к оппш>альному когерен>ному прием! в целом, некогерентному приему в целом (с когерентным нлп некогерентным накоплением) н к поэлементному приему. Такая же точка зрения возмо>кна и при исследовании разнесенного приема [!4).
При эгон оптнмалыюе когерситное сло кение предо>валяет собой ие что нное, как когсрентный прием в целом, каадрапонше сложение — пскогерентный прием в целом с некогеревтным накоплением, метод выбора при разнесен. нем приеме оказывается частным случаем декодирования но наиболее надежным символам, а метод дискретного ело>кения является поэлементныи приемом с исправлением ошибок. Такой единый подход х различным проблемам приема сигналов очень полезен, так как он позволяет яепосредс>ивино примеи>иь результаты, полученные в одной области, длн решения многих других задач.
Кроме того, он наводит на мысль о возможности применения неко>орых методов (главным образом субоптнмальных), разработанных длн какого-либо одного случая (например, для разнесенного прцема) к построепшо новых систем в хруп>х областях (например, при уплотнении и объединении каналов и т. д.). 3 (к й 10.4). Первое неравенство в (!0.27) очевидно. Остановимсн на доказательстве второго неравенства.
Рассмотрим все образцы необнаруживасмых ошибок. Для того чтобы при приеме в целом произошла ошибка (событие Аз) необходимо и достаточно, чтобы для символов, соответствующих единицам в одном из этих образцов, было выполпеяо неравенство (10.2!). Обозначим через Вь (й=-1, ..., ! — !) событие, заключающееся в том, что для й-го образца необнару>киваемой ошибки (!0.21) выполнено. Тогда Аз эквивалентно осуществлению хотя бы одного из событий Вь. Если некоторый з-й образец является суммой л-го и о-го образцов необваруживаемой ошибки, то событие В.
может произойти только в случае, когда имеет место хотя бы одно нз событий, В„ или Вы Ото>ода следует, что для события А! необходимо и достаточно, чтобы осуществилось хотя бы одно из гл событий В», относящихся к образцам ошибки, не представимым в виде суммы других образцов. Поскольку вероятность каждого из событий Ва не больше, чем ра, то Рз — — Р(А)=Р(В, илн В, или В,)<Р(В!)+...+Р(Вм)~тра, что и требовалось доказать. 4 (к й 10.7).
Приведем вывод правила (10.46) для кода, допускающего мажоритарное декодирование по системе разделенных проверок (10.45) и (10А5а). Будем полагат>ь что символам дг„соответству>от результаты демодуляции сгм, которые взаимно независимы и пропорциональны логарифму отношения правдоподобия при поэлементном приеме: ш(г'! (У>м=О) с! =й!п,;., ! > (10.50) ш гг эт! узап = ) где й — коэффициент пропорциональности; г'! — принимаемый элемент сигнала, соответствующий символу у>ч>. Заметим, что во всв- 666 кой оптимальяой схеме поэлсментного приема двоичных сигналов результаты демодуляции сслн и не выражаются формулой (10.59), то во венком случае являются мшютонными обратимыми функциями о>ношения правдоподобия. Поэтому нх мол!но преобразовать в величины с>иь предсгавляеиые этой формулой.
Найдем отношение правдоподобия для символа д>, предполагая пэвестнымн с! и все с>, сгютветств!ющие символам в правых частях системы (!ОА5). При этом будем считать, что символы д>„, могут принимать значения 0 или 1, с тен едннственньщ ограничением, что уравнения (1045) при заданном у! д>л>кяы выполняться. Это значит, что при д>=0 среди д>, (щ=!,..., г), входящих в одно уравнение, должно быть четное число единиц (или пи одной единицы), а при Ю= 1 — нечетное число единиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
