Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Очевидно, если происходит событие А,, то всегда игяеют место и события Лз и Аь Если же происходит событие Ль то всегда имеет место событие Аь Отсюда (10.19) Р1 =Зсра агарь * Здесь предполагается, что капал обратной связи ие пиосит ошибок. В противном случае прием и целом может оказаться более поиехоустойчипыи, чаи даже прием с обнаружением ошибок и переспросом (сьь гл. 11).
** Здесь симаол 14 обозначает иаиболыпсс целое число, содержащееся а к. ; рз,сз.: эмсь (10.20) (!!ШДА лз ЕИде "3 Щ16Щлзлз ~осе(~, — р„сз ~.,1ьвз< О, (10.21) (10.25) 646 647 Равенства имеют место только прн 0=1, так как в этом случае события Аь А. и А, совпадают. При приеме в целом г-я комбинация будет принята ошибочно, если для некоторой д-й комбинации где суммирование ведется по тем индексам 0 для которых ~в~(!з, что символически показано индексом г(под знаком суммы. Назовем выполнение неравенства (10.20) событием Аз и обозначим его вероятность через рз.
Так как ри принимает значения только ~-1, то из (3м~~р, следует, что ~зо= — !3о. Поэтому неравенство (10.20) можно переписать так: где суммирование по-прежнему производится только по элементам 1, отличающимся в г- и д-комбинациях. Из (10.21) видно, что если происходит событие Аь то всегда будет происходить событие Л» откуда Рз «Р' (10.22) причем равенство имеет место только при с(=-1, когда А, и А» совпадают. Докажем теперь, что рз)рз. В отличие от рассмотренных ранее случаев, события А, и Аз не вытекают одно из другого. Они могут иметь место одновременно, но может происходить и одно из этих событий без другого.
Соотношения между событиями Аь Аз, Л, и Лз схематически показаны на рис. !0.5. Будем обозначать через А событие, противоположное событию А. Вероятность рз и рз можно представить в следующем виде: рз=Р(Лъ Лз) +Р(Ам Аз), (10.23) рз=Р(Лм Аз) +Р(Аз, Аз). Для того чтобы доказать, что рз~-рз, достаточно показать, что Р(Аз, Яз) )Р(Аь Аз). (! 0.24) Пусть дана некоторая реализация величия с;= с'о при которой имеет место событие Лз и ве имеет места событие Лз.
Это значит, что из рассматриваемых г( про- Рис. 10.6. Соотношения между событиями Ао Аз, Аз и А, изведений (!мс'з полонина или больше половины положительны и в то же время ~~4„с'з = — В «,. О. Рассмотрим теперь «симметричную» реализацию: с'";=с'; для тех 1, при которых (1;„=(3зо, и с"з= — с'; для тех 0 при которых 0е,чьфео. Для новой реализации половина или больше половины из рассматриваемых с( произведений (!о.с"з отрицательны, и, следовательно, Аз имеет место. С другой стороны, 7,'рз,с";=о>0, а это означает, что Лз не имеет места.
Согласно условию (10.17а) плотность распределения вероятности для реализации с"; больше, чем для с'ь Таким образом, каждой реализации„в которой выполняется Лз н не выполняется Аз. соответствует симметричная более вероятная реализация, в которой выполняется Аз и не выполняется Аз. Отсюда вытекает неравенство (!0.24), и, следовательно, Рз~рз. Знак равенства имеет место при 0=1, когда Р(Аз, Аз) =Р(Аз, Аз) =0 Рз=рз — — Р(Аь Аз). Объединяя (10.!9), (10.22) и (10.25), получаем неравенство Рз -эрзЯРз~ Р (10.26) где равенства имеют место при расстоянии х(=! микду г-й и ь)-й комбинациями. Поскольку (10.26) справедливо для льобой пары кодовых комбинаций, то, усредняя его по всем возможным парам, получаем (!0.18): Рь~ ~Рз~ Рз==: Рь причем равенства имеют место в том случае, когда для любой пары соседних комбинаций г(=1„т. е.
когда код не имеет избыточности, что и требовалось доказать. Зная характеристики канала и кода, можно всегда вычислить вероятности Рь Рз и получить двухстороннюю оценку Рз, Однако интервал между Рз и Рз часто оказывается очень широким и для уточнения Рз полезны и другие оценки. Приведем одну такую оценку для канала с некоррелированными ошибками. Пусть ьт' — минимальное хеммингово расстояние кода, а рз — вероятность того, что для случайно выбранных г(„„, элементов выполнено неравенство (10.21). Рассмотрим все образцы необнаруживаемых ошибок, т.
е. переводящих передаваемую комбинацию в другую разрешенную комбинацию аз. Число таких образцов равно 1 — 1, где 1 — число кодовых комбинаций, а наименьший вес такого образца равен г( . Назовем два образца ошибок непересекающимися, если ни в одном разряде они не имеют одновременно единиц. Под суммон двух непересекающихся образцов будем понимать просто их ' Знание иода здесь понимается как возможность выписать все кодовые комбинации или, цо крайней мере, список весов комбинаций.
Во многих случаях можно получить хорошие оценки Рз и Рз и в тех случаях, когда вследствие сложности кода точное вычисление практически невыполнима (т). *з Напомним, чта образцом ошибки называется и-разрядная последовательность нулей н единиц, получаемая поразрядным сложением ло модулю 2 переданной и принятой кодовых комбинаций. В этой,последовательности единицы стоят в тех разрядах, которые приняты оньибачно. 648 поразрядную сумму. Обозначим через т число образцов необнаруживаемых ошибок, которые нельзя представить в виде суммы непересекающихся образцов также необ- наруживаемых ошибок.
Тогда справедлива оценка (10.27) рл -Рз(тРг!. т0.5. Примеры для сравнения приема в целом с пазлементным приемом прннедем два простых примера. П р им ер !. Найдем зависимости Рз, Рз, Рз и Рс от вероятности ошибки р при паэлементном приеме для када (3.1). Этот код является самым простым из кодов, позналяющих при поэлементпом приеме исправлять ошибки, Он содерььнт комбинацию ООО и 11!. Будем полагать, чта вероятность ошибочного приема элемента р известна н что ошибки при поэлементном приеме происходят независимо друг от друга (т.
е. что канал постоянный либо ошибки деиоррелираваны путем разнесения элементов комбинации по времени). Прн этих условиях Р, = 1 — (1 — р)* = Зр — Зрз + р', Р,=р'+Зр (! — р) =Зр — 2р, (!0.28) 1зз Р Полученные зависимости показаны на рнс. 10.6. Величьшу Рз (вераятность ошибки при приеме в целом) найдем отдельно для случая когерентного приема и двух случаев некогерентного приема. Прн когерентном приеме Рз совпадает с вероятностью ошибочного приема элемента утроенной длительности.
Поэтому в соответствии с (3.61) 1 р = 2 (1 — Ф(тн)1. Р,= — (! р у'з тнц. 1 (10.29) Рассматривая в этих равенствах уН как параметр, можно построить зависимость Р аг р (криван а на рнс. 10.6). 649 Доказательство приведено в примечании 3 к настоящей главе. При небольших значениях т эта оценка достаточно хорошо характеризует вероятность ошибок при приеме в целом. Вычисление рл можно обычно свести к вычислению вероитности ошибок при разнесенном приеме. (10.30) 2 ехй~ 2)' (10.35) 1 р„== —,— ехр ( — й') (!0.35а) !О !6-в !8 ' и !О-вв 0 гг !Я й 3,52 1,06 Рвы —,; Р~ ~— йв' ' !Р' о о (1О.З7) 651 Для пскогсреитного приема с когсрентным накоплением, полагая сигналы, соответствующие символам 0 и 1, ортогональными в усиленном смысле, получаем При этом условии и полные сигналы, соответствующие номбинациям 000 и 111, также взаимно ортогональны, но имшот утроенную длительность.
Поэтому 1 / 3 Р = — ехр ~ — ~ /!'), (!О.з!) откуда Р, ==4р' (10.32) (кривая б на рис. 10.6). Случай некогерентного накопления рассмотрим на примере канала с релеевскими замираниями, т1ола~ая, что элементы кодовой Рнс. 10.6. Зависимость вероявностей ошибочного приема кодовой комбинации от вероятности ошибочного приема символа для иода (З,Ц. комбинации разнесены достаточно для полной декорреляция В этом случае Р можно определить как вероятность ошибки при строенном приеме с разнесением по времени.
Из (6.38) найдем ра [СО ) С! (! Р) + г в (1 р)а) !бра !бра ) бра (! 0.33) (кривая в на рис. 10.6). Во всех трех случаях, как видно из рисунна, подтверждается неравенство (10.18). Прим ер 2. Вычислим Ра и Ра и найдем оценку для Ра при коде Хеммннга (6, 5), позволяющем обнаруживать любое нечетное 650 число ошибон в комбинации из 6 символов. Для этого кода а(мак=2 и т=-Саа=15 При позлементном приеме, как легко убедиться (полагая р((1), Р = ! — (1 р)а Ор (!О З4) Ра=!5оа(1 —,о)а-1- 15ра(! — р)а ! ра !бра где р — вероятность ошибки, равная прн некогерентном приеме и отсутствии замираний Вероятность ра в схеме когерентаого накопления можно определить как вероятность оаннбочгаого приема элемента двойной длительности: Воспользуемся для оценки Рз снизу неравенством (10.!8), согласно которому Ра) Ра, а длн оценки сверху — неравенством (10.27).
Тогда Ра ~ шра =- 7,5ехр ( — йа). (1О.З6) На рис. !0.7 показаны зависимости Ра и Ра от Ьз, вычисленные путем подстановки (10.35) в (1034), а также область возможных вначеннй Ра, полученная с помощью указанных оценок. Рис. 10.7. Вероятность ошибочного приема кодовой коч- бинации для кода (6, 5) в отсутствие замираний. При медленных релеевскнх замираниях Ра и Р, вычисляются с помощью усреднения (10.34) по !х При этом предполагается, что на протяжении приема подовой комбинации й практически не успеьает измениться.
В случае, когда йаа (математическое ожидание велвчины йа) досааточно велвко, полу [аются следующие приближенные выражения; 1 уз= з, до+ 2 (10.38) В зтои случае пряем в целом возмозкяо осуществить методом некогерентного накоплепня и величина рз определяется как вероятность ошибки при сдвоенном приеме(си. (6.37)1: Зй',+ 4 Ри (аз + 2)к (10.39) Подставляя (10.38) а (10.34), определяем зависимости Рз и Рк от В. Для получения оценки Рз сверху нуткно подставить (10.39) в (!0.27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
