Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Для того чтобы избежать такой регулировки, можно применить вместо оптимального правила (!0.12) другое правило, близкое к оптимальному, заменив функцию 1п/а(Д функцией ~а. Основанием для такой замены служат следугощие соображения. При малых аргументах 0 функция кз хорошо аппроксимирует 1пУо($). Большие же значения аргументов в (1О.!2) могут иметь место лишь при большом отношении энергии сигнала к спектральной плотности помех, когда вероятность ошибки очень мала. В этом случае отклонение от оптималыюго правила решения не может вызвать существенного снижения помехоустойчивости '"'.
*!(основным подтверждением этого могут служить результаты, полученные в 4 4.6 ллн приема с интегрированием после квадратичного детектора. 640 После указанной замены н очевидных упрощений правило регистрации буквы х!, приводится к следующем )'. и л ~~(аьаг+а!,Ь!)') ~ь(агеаг+акчЬ!)'.
(10.13) Раскрывая скобки и учитывая, что, по определению, 2 2 а —.— ага, а ==а!а и а!еп!. =-О, получаем неравенство и и ~)~~ (аг,а, + аггЬ' ) ) ~~~" (ама'+ а!еЬ ). (10.14) Легко видеть, что этому неравенству эквивалентно неравенство ~и (пг,а,+а!„Ь,) (~~~!~ (пгеа,+агеЬ,). (10.14а) Действительно, для каждого значения ! в неравенствах (10.14) и (10.!4а) существенны только те члены,для которых тг!„~ага.
Но в этом случае аг„=а!к и агг=чтгч. Таким образом, переход от (10.14) к (10.14а) сводится к переносу всех не тождественно равных членов из левой части в правую и наоборот, в результате чего знак неравенства изменится на обратный. Вычтем (10.14а) из (10.14), введя прн этом обозначение р! = а! — и! . ~з ~г„(ае — Ь') > '! ~!е (а' — Ь'). (10.15) 1=! 1=! Легко убедиться, что это обозначение 5гч полностью совпадает с (10.5).
Решающая схема, выполненная согласно (10.15), изображена на рис. 10.3. Если, наконец, обозначить а,' — Ьз=сы то правило регистрации буквы х, сводится к неравенству а и !и! сг> ~ рг!чс! (10.15а) целиком совпадающему по форме с (10.8а). Следует, однако, учитывать, что се в (10.8а) и (10.15а) представ- 41 — 2447 641 ляют собой разные величины. В (10.8а) величина с» определяется выражением (10.8) и может быть названа результатом когерентного дифференциального детектирования »-го элемента сигнала.
В (10.15а) величина с» представляет результат некогерентного (квадратичного) дифференциального детектирования 1-го элемента. Тем Рнс. 103. Решающая схема прн каааратгщнон пекогсрснгном на- копаспнн. не менее одинаковая форма правил решения позволяет произвести сравнение приема в целом с поэлементным приемом, не делая различия между когерентным и некогерентным случаем и даже не учитывая характеристик канала. Это сравнение облегчается тем, что величины в (10.8а) и (10.15а) определяют соответственно результат поэлементного когерентного или некогерентного приема двоичных сигналов.
Легко убедиться, что всякий раз, когда при передаче сообщения х„ выест место неравенство р»„с»<О, (10.18) поэлементный прием приводит к ошибочной регистрации г-го символа. Эта ошибка при наличии избыточности кода может быть иногда обнаружена или исправлена. 40А. Оценка помехоуптойчиао«ти приема а целом Для сравнения помехоустойчивости поэлементного приема и,приема в целом выведем некоторые общие соотношения.
Пусть результатом демодуляции йго эле- 642 мента кодовой комбинации является некоторая величина с» (»=-1,...,и). При поэлементном приеме в первой решающей схеме каждая из величин с» заменяется символом «0» (если с;<О) или «1» (если с»>0), в результате чего получается некоторая кодовая комбинация. Приизбыточном кодировании эта комбинация может входить или не входить в чисто разрешенных (используемых в данном коде).
В первом случае она непосредственно преобразуется в соответствующую букву сообщения. Ва втором случае и зависимости от построения второй решающей схемы происходит либо обнаружение ошибки (с последующим автоматическим запросом илн просто с фиксацией наличия ошибки), либо «исправленне» ошибки, т. е. отождествление принятой кодовой комбинации с ближайшей (по Хеьгмчгнгу) разрешенной комбинацией. В соответствии с этим будем подразделятьметоды поэлементного приема на прием с обнаружением и прием с исправлением ошибок. Оба метода возможны при любом коде с избыточностью.
В случае приема в целом величины с» умножаются на коэффициенты (1»ч (» =1,..., и; ») = 1...,, 1) и принятый сигнал отождествляется с и-й буквои алфавита сообщения, если ~, р»гс»=.- ч ~~!гс» для всех»1чх=г. Произведение (4»„с» при наличии помех является случайной величиной. Математическое ожидание этой величины (при передаче «-й буквы алфавита сообщения) всегда положительно, поскольку при достаточно малых помехах (!ос»>0, а при очень сильной помехе веро- ятности того, что 8„с»>0 и 8»гс»<0, приблизительно оди- х Ри флгоктУациои Рис. щ4. плогносгь распреле- ной помехе, а также в боль- ненни величины х-6 с».
шинстве случаев и при сосредоточенных помехах плотность вероятности этой величины и» (х.) унимодальна, т. е. имеет один максимум (рис. 10.4). При этом, как правило, плотность вероятно- 41* 643 сти ш, (х) в точках х=Л(А>0) больше, чем в точках х= — А, т. е. ш (Л) ~ се ( — А) (Л:- О). (10.17) При импульсных помехах н некоторых особых видах помех это условие может нарушаться. Ограничимся пока случаем помех, для которых можно считать условие (10.17) выполненным. Его можно распространить на сумму нескольких значений 11ь,с; (по индексу 1), т.
е. утверждать, что при В>0 са (В) ) ш ( — В). л рс ~рс (10.17а) Р! ~~ 1 2~ ~Рз~ ~Р4 (10. 18) причелс ано переходит в равенство только при коде без избыточности. Смысл этой теоремы заключается в том, что при кодировании с избыточностью помехоустойчивость приема в целом выше помехоустойчивости поэлементпого приема с исправлением ошибок, но уступает помехоустойчивости поэлементного приема с обнаружением ошибок 644 Будем также полагать величины е~ взаимно нскоррелированными.
Введем следующие обозначения: Р, — вероятность того, что при,поэлементном приеме кодовая комбинация принята с ошибкой (независимо от того, можно ли эту ошибку исправить или хотя бы обнаружить); Рз — вероятность того, что при поэлементном приеме с исправлением максимально возможного числа ошибок произошла неисправленная ошибка; Рз — вероятность того, что комбинация, принята ошибочно .при приеме в целом по правилу (10.!ба); Р,— вероятность того, что при поэлемснтпом приеме с обнаружением ошибок произошла необнаруженная ошибка. Докажем следующую теорему: При любом коде, если вььполнено условие (10.!7а), имеет место неравенство и переспросом по каналу обратной связи а. В случае кода без избыточности прием в целом не имеет никаких преимуществ перед поэлементным приемом.
Для доказательства предположим, что передается г-я кодовая комбинация, и рассмотрим условия, при которых реализация помехи может превратить ее в некоторую конкретную в-ю комбинацию. В результате обработки сигнала получены значения е~ (1= 1,...,п) и вычислены произведения ра„еа и рачеь Пусть хеммингово расстояние между двумя рассматриваемыми комбинациями равно д. Тогда среди коэффициентов Вс, существует только с( несовпадающих с коэффициентами Вач при тех же индексах й При поэлементном приеме обнаруженная или необнаруженная ошибка произойдет в том случае, если хотя бы одно из этих д произведений ра,с; окажется отрицательным. Назовем это событие Л, и обозначим его вероятность рь При поэлементном приеме с исправлением ошибок неисправленная ошибка будет иметь место, если более чем Н чэа — произведений р;,е» (соответствующих тем 1, для 2 ~ которых р;„и ~с» не совпадают) окажутся отрицательными.
Очевидно, что при этих значениях 1 величины Всчсс будут положительными. Обозначим это событие Аь а его веРонтность Рь Прн поэлементном приеме с обнаружением ошибок (без их исправления) необнаруженная ошибка будет иметь место, если каждое из с( произведений биса соответствующих тем 1, для которых рн,Ф~сч, окажется отрицательным. Пусть это событие А4имеет вероятность р».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
