Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Точно так же входные биты для путей с расстоянием б будут 1100 и 10100; каждая из этих последовательностей отличается от нулевого пути в двух местах. Минимальная длина пути кз числа расходящихся, а затем сливающихся путей называется минимальным просветом (пцщпппп 1гее Йз1апсе), или просто просвегпом (атее о)згапсе). Его можно видеть на рис.
7.16, где он показан жирной линией. Для оценки возможностей кода коррекции ошибок, мы повторно приведем уравнение (6.44) с заменой минимального расстояния 11 на просвет ф: (7.11) Здесь (х) означает наибольшее целое, не большее х. Положив б = 5, можно видеть, что код, описываемый кодером на рис. 7лч может исправить две любые ошибки канала (см. раздел 7.4.1.1). Состояние а = 00 ь=ю с=01 б= 11 Рис. 7.16. Решетчатая диаграмма с обозначенными расстояниями от нулевого пути Решетчатая диаграмма представляет собой "правила игры". Она является как бы символическим описанием всех возможных переходов и соответствующих начальных и конечных состояний, ассоциируемых с конкретным конечным автоматом.
Эта диаграмма позволяет взглянуть глубже на выгоды (эффективность кодирования), которые дает применение кодирования с коррекцией ошибок. Взглянем на рис. 7.16 и на возможные ошибочные расхождения и слияния путей. Из рисунка видно, что декодер не может сделать ошибку произвольным образом. Ошибочный путь должен следовать одному из возможных переходов. Решетка позволяет нам определить все такие доступные пути. Получив по этому пути кодированные данные, мы можем наложить ограничения на переданный сигнал. Если декодер знает об этих ограничениях, то это позволяет ему более просто (используя меньшее Е~Хе) удовлетворять требованиям надежной безошибочной работы.
Хотя на рис. 7.16 представлен способ прямого вычисления просвета, для него можно получить более строгое аналитическое выражение, воспользовавшись для этого диаграммой состояний, изображенной на рис. 7.5. Для начала обозначим ветви диаграммы состояний как 0с = 1, В1 или 01, как это показано на рис. 7.17, где показатель 0 означает расстояние Хэмминга между кодовым словом этой ветви и нулевой ветвью. Петлю в узле а можно убрать, поскольку она не дает никакого вклада в пространственные характеристики последовательности кодовых слов относительно нулевой последовательности.
Более того, узел а можно разбить на два узла (обозначим их а и е), один из них представляет вход, а другой — выход диаграммы состояний. Все 7 4 Г:нойстея с сото« «о пути, начинающиеся из состояния а = 00 и заканчивающиеся в е = 00„можно проследить на модифицированной диаграмме состояний, показанной на рис.
7.17. Передаточную функцию пути аЬ се (который начинается и заканчивается в состоянии 00) можно рассчитать через неопределенный "заполнительп Р как Ргвв'твз. Степень Р— общее число единиц на пути, а значит, расстояние Хэмминга до нулевого пути. Точно также пути а Ьдсе и аЬсЬсе имеют передаточную функцию Р» и, соответственно, расстояние Хэмминга, равное б, до нулевого пути.
Теперь уравнения состояния можем записать следующим образом: Х» = В'Х„+ Х„ Х, =Вх» »ВХг, Х =ВХ,+ВХм Х, = 13'Хп (7.12) ! Здесь Х„, ..., Х, являются фиктивными переменными неполных путей между промежу- точными узлами. Передаточную функцию кода, Т(Р), которую иногда называют произ- водящей функцией кода, можно записать как Т(Р) =Хух„. Решение уравнений состоя- ния (7.12) имеет следующий вид (15, 16]; Рз Т( Р) 1 — 2В Взм2В»+авзч.
+21В1'-5+ (7.13) Передаточная функция этого кода показывает, что имеется один путь с расстоянием 5 до нулевого вектора, два пути — с расстоянием б, четыре — с расстоянием 7. В общем случае существуют 2' пути с расстоянием 1+5 до нулевого вектора, причем 1=О, 1, 2, .... Просвет дг кода является весовым коэффициентом Хэмминга слагаемого, имеющего наименьший порядок в разложении Т(в).
В данном случае й,=5. Для оценки пространственных характеристик при большой длине кодового ограничения передаточную функцию Т(Р) использовать нельзя, поскольку сложность Т(В) экспоненциально растет с увеличением длины кодового ограничения. 00 -т П»=1 г 11 е=оо -и-- пз г 1о5 ап Рис. 7.17. Диаграмма состояний с обозначенными расстояниями до нулевого пути С помощью передаточной функции кода можно получить более подробную информацию, чем при использовании лишь расстояния между различными путями. В каждую ветвь диаграммы состояний введем множитель В так, чтобы показатель ь мог служить счетчиком ветвей в любом пути из состояния а = 00 в состояние е =00. Гп»п» 7 К»п»плпп» «ппппп»»пи» п»птл О (7.14) р5(3)у Т(0, Е„)ч') 1- 17(.(1+ (.) )У 0 Б И+0 (.~(1+ Е,)!У +О Е.
(1+Е )Ф +. + Ог~-5(! ездку!+! + (7.15) Таким образом, мы можем проверить некоторые свойства путей, показанные на рис. 7.!б. Сушествует один путь с расстоянием 5 и длиной 3, который отличается от нулевого пути одним входным битом. Имеется два пути с расстоянием б, один из них имеет длину 4, другой — длину 5, и оба отличаются от нулевого пути двумя входными битами. Также есть пути с расстоянием 7, из которых один имеет длину 5, два — длину 6 и один — длину 7; все четыре пути соответствуют входной последовательности, которая отличается от нулевого пути тремя входными битами. Следовательно, если нулевой путь является правильным и шум приводит к тому, что мы выбираем один из неправильных путей с расстоянием 7, то в итоге получится три битовые ошибки.
и4 / !! (а=00)-и-- ГЗЗШ l !о~ и пгзи Рис. 7. И Диаерамма состояний с обозначением расстояния, длины и числа входных единиц 7.4.1.1. Возможности сверточного кода в коррекции ошибок В главе б при изучении блочных кодов говорилось, что способность кода к коррекции ошибок, г, представляет собой количество ошибочных кодовых символов, которые можно исправить в каждом блоке кода путем декодирования по методу максимального правдоподобия. В то же время при декодировании сверточных кодов способность кода к коррекции ошибок нельзя сформулировать так лаконично.
Из уравнения (7.11) можно сказать, что при декодировании по принципу максимального правдоподобия код способен исправить ! ошибок в пределах нескольких длин 74 П ойстиисчосътсч т Более того, мы можем ввести множитель )ч" во все ветви переходов, порожденных входной двоичной единицей. Таким образом, после прохождения ветви суммарный множитель гч' возрастает на единицу, только если этот переход ветви вызван входной битовой единицей.
Для сверточного кода, описанного на рис. 7.3, на перестроенной диаграмме состояний (рис. 7.18) показаны дополнительные множители ь и )ч'. Уравне- ния (7.12) теперь можно переписать следующим образом: Х =13 ЫХ, +1!УХ Х, = ИА; + 131Хл, Х = (37 Ц!Х + 231гУХ, Х, = 13~(Хо Передаточная функция кода такой доработанной диаграммы состояний будет следующей: кодового ограничения, причем "несколько" — это где-то от 3 до 5.
Точное значение длины зависит от распределения ошибок. Для конкретного кода и модели ошибки длину можно ограничить с использованием методов передаточной функции кода. Такое ограничение будет описано позднее. 7.4.2. Систематические и несистематические саертсчные коды Систематический сверточный код — это код, в котором входной к-кортеж фигурирует как часть выходного л-кортежа кодового слова, соответствующего этому й-кортежу. На рис.
7.19 показан двоичный систематический кодер со степенью кодирования 1/2 и К= 3. Для линейных блочных кодов любой несистематический код можно преобразовать в систематический с такими же пространственными характеристиками блоков. При использовании сверточных кодов это не так. Причина в том, что сверточные коды сильно зависят от просвета; при построении сверточного кода в систематической форме при данной длине кодового ограничения и степени кодирования максимально возможное значение просвета снилсается. Вход Выход Рис. 7.)9. Систематический свврточный кодер !отвлвнь кодирования 1/2, К = 3) В табл. 7.1 показан максимальный просвет при степени кодирования 1П для систематического и несистематического кодов с К от 2 до 8. При большой длине кодового ограничения результаты отличаются еще сильнее !17).
Таблица7.1. Сравнение систематического и несистематического просветов, степень кодирования 1/2 Длина кодового ограннчеяия Просвет систематического кода Просвет несистематического кода 3 5 6 7 8 !О 10 Источник: )х. 1. Ч11егв! апй 1. К. Оюига. Рллс)р)вв о)' Р!лиа) Соттитоайол алй Сойлл, МсйганН!11 Воок Сатрапу, Хехч-уогк, ! 979, р. 251. 7.4.3. Распространение катастрофических ошибок а саертсчных кодах Катастрофическая ошибка возникает, когда конечное число ошибок в кодовых символах вызывает бесконечное число битовых ошибок в декодированных данных. Мэсси лчн Г 7 и он тл т нн ын ннлтнп (Маяту) и Сейн (Ба(п) указали необходимые и достаточные условия для сверточного кода, при которых возможно распространение катастрофических ошибок. Условием распространения катастрофических ошибок для кода со степенью кодирования 172, реализованного на полиномиальных генераторах, описанных в разделе 7.2.1, будет наличие у генераторов общего полиномиального множителя (степени не менее единицы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
