Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 56
Текст из файла (страница 56)
М-арная передача сигналов и производительность ение сигнального множества М вЂ” путем введения дополнительных осей„причем аждая новая ось перпендикулярна всем существующим — не приводит к его употнению. Следовательно, переданный сигнал, принадлежащий ортогональному абору, не становится более уязвимым к шуму при увеличении размерности. Факически, как можно видеть из рис. 4.28, при увеличении х вероятность появления шибочного бита даже уменьшается. Пониманию улучшения надежности при ортогональной передаче сигналов, поазанного на рис.
4.28, способствует сравнение зависимости вероятности симольной ошибки (Рг) от ненормированного отношения сигнал/шум (з18па!-гоойе гаги — 8ХК) с зависимостью Рг от Ег1ГЧ,. На рис. 4.33 для когерентной пеедачи сигналов г8К представлено несколько зависимостей Рг от ненормированого 8ХК. Видим, что Р, ухудшается с ростом М. Можем ли мы сказать, что сигал из ортогонального набора яе стайовится более уязвимым к данному шуму ри увеличении размерности ортогонального набора? Для ортогональной передан сигналов справедливо утверждение, что при ланном БХК вектора шума фиксиованного размера достаточно для перевода переданного сигнала в область ошиок; следовательно, сигналы не становятся более уязвимыми к меньшим векторам шума при увеличении М.
В то же время при росте М вводится большее число ок- естных областей решений; следовательно, увеличивается число возможностей для появления символьной ошибки, всего существует (М вЂ” 1) возможностей допустить ошибку. На рис. 4.33 отражено ухудшение Р, в зависимости от ненормированного ВХК при увеличении М. Стоит отметить, что изучение зависимости достоверности передачи от М при фиксированном БХК не является лучшим направлением в цифровой связи. Фиксированное ВХК означает фиксированный объем энергии на символ; следовательно, при увеличении М этот объем энергии необходимо распределять уже между большим числом битов, т.е, на каждый бит приходится меньше энергии.
В этой связи наиболее удобным способом сравнения различных цифровых систем является использование в качестве критерия огляошеняя сигнал/шум, нормированного яи бит, или Ег1Ии Повышение достоверности передачи с увеличением М (см. рис. 4.28) проявляется только в том случае, если вероятность ошибки изображается как зависимость от Ег(?Ч,. В этом случае при увеличении М отношение Ег))уш требуемое для получения заданной вероятности ошибки, снижается при фиксированном 8ХК; следовательно, нам нужен новый график, подобный показанному на рис. 4.28, где ось абсцисс представляет не 8ХК, а Ег(?Ч,. На рис. 4.34 показано, как зависимость от 8ХК отображается в зависимость от Ег)?Ч;1 видно, как графики, демонстрирующие ухудшение Р, с увеличением М (подобно представленному на рис. 4.33), преобразуются в графики, показывающие улучшение Р, с увеличением М.
Само преобразование выполняется согласно соотношению, приведенному в формуле (4.101): Гяячл 4 Полосовея моачляния и двыедУЛЯЦИЯ 10-2 Я ш 10-з и о 10е и о 8 10-5 8 к О т 10-в 10-з 10-в -5 0 5 10 15 вне (д6) 20 рис. 4,3Х ч . Зависимость вероятное и ятности синвбиинои нтной передачи и ни В 1'а" д 1 шса 1чсас 1й7, тз~й, гап агдз. ТесЬш оЯа пдагд из Сслгг1 КасГ Р тана с разрешения 11ч1 157 М 5 агс, 25, 1963, Г15. 1, р. 2) 4.8. М-ерная пе ач редача сигналов и про и производительность И н л (о-3 (о (з внй(лв) (О 20 аий(множитвль) !О 2 Вмйнвбит(множитель) ь/мь (лв) 2 (О Еь/Мо (множитвль) б) а) Здесь Иг — ширина полосы детектирования. Поскольку !Ояз М Е Т Т где Т вЂ” длительность символа, можем записать следуюшее: Еь Е )УТ Е )УТ) (4.103) При передаче сигналов гЯ( ширина полосы детектирования Иг (в герцах) обычно равна скорости передачи символов 1/Т; другими словами, Т(У 1.
Следовательно, (4.104) На рис. 4.34 представлено отображение зависимости Ре от отношения сигнал/шум в зависимость Ре от Еь()Уо для М-мерной ортогональной передачи сигналов с когерентным детектированием; на осях показано сопоставление величин разных размерностей. На рис. 4.34, а выбрана рабочая точка, соответствующая отношению сигнал/шум = 10 дБ схемы с 2 = 1, при данной вероятности ошибки Ре= 10 '. В той же системе координат приведен график схемы с 2= 10; рабочая точка, соответствующая той же величине Ре=10', теперь соответствует отношению сигнал/шум, равному 13 дБ (приблизительное значение, полученное из рис. 4.33). Из приведен-, ных графиков явно видно снижение достоверности при увеличении л.
Чтобы понять, как улучшается производительност 254 % 'б % ж (о-' Рис. 4.34. Отобразсение зависимости Ре от 5)У)( в зависимость Ре от Еь/)/ь длл ортогональной передачи сигналов: а) ненормиро- ваннал зависимостей б) нормированнал зависимооль ь, преобразуем масштаб оси абсцисс из нели-> Глава 4. Полосовал модуляция и демодуляция нейного (отношение сигнал/шум в децибелах) в линейный ($)чК как коэффициент). На рис. 4.34, а показано, как соотносятся значения БХК в децибелах (10 и 13) со значениями, представленными как коэффициент (10 и 20), для случаев гг = 1 и Д = 10. Далее преобразуем масштаб оси абсцисс, чтобы единицами измерения служило отношение сигнвл/шум, нормированное на бит (также выраженное как коэффициент), Этому случаю на рис.
4.34, а соответствуют величины 10 и 2 для /с = 1 и й= 10. Вообще, удобно не различать 1024-ричный символ или сигнал (случай х = 10) и его 10-битовое значение. При таком подходе, если символ требует 20 единиц БНК, то 10 бит, кодирующих этот символ, требуют тех же 20 единиц; другими словами, каждый бит требует двух единиц отношения сигнал/шум. Вместо подобного сравнения, можно просто отобразить рассматриваемые случаи А= 1 и юг= 10 графиками, изображенными на рис.
4.34„б и представляющими зависимости Ре от Е/Иь Случай 1 = 1 соответствует представленному на рис. 4.34, о. Но для случая /с= 10 наблюдаем разительные отличия. Видим, что при к=10 передача 10- битового символа требует всего 2 единиц (3 дБ) отношения Е~/1Ч, по сравнению с 10 единицами (10 дБ) для бинарного символа Действительно, из формулы (4.104) получаем значение отношения Е~И, = 20(1/10) = 2 (или 3 дБ), т.е. имеем повышение достоверности при увеличении 1. В системах цифровой связи достоверность передачи (или вероятность ошибки) всегда выражается через Е4й„поскольку такой подход позволяет выполнять сравнение производительности различных систем. Графики, приведенные на рис. 4.33 и 4.34, а, на практике встречакпся крайне редко.
Хотя изображенные на рис. 4.33 зависимости и не используются на практике часто, все же с помощью этого рисунка мы можем понять, почему ортогональная передача сигналов приводит к повышению достоверности при увеличении М или 1. Рассмотрим аналогию — приобретение товара, скажем прессованного творога высшего качества. Выбор качества соответствует выбору точки на оси Ре рис. 4.33, скажем 10 з.
Проведем из этой точки горизонтальную линию через все кривые (от М=2 до М = 1024). В бакалейно-гастрономическом отделе мы покупаем самую маленькую упаковку прессованного творога, которая содержит 2 унции и стоит $1. Обращаясь к рис. 4.33, можем сказать, что такая покупка соответствует пересечению проведенной горизонтальной линии с графиком для М=2.
Смотрим вниз на соответствующее значение параметра БХК и называем пересечение с этой осью ценой $1. При следующем походе за покупками мы решаем, что в прошлый раз стоимость творога была высокой — по 50 центов за унцию. Поэтому решаем купить большую упаковку (8 унций) за $2. Обращаемся к рис. 4.33 и видим, что данная покупка соответствует пересечению горизонтальной линии с кривой М = 8.
Смотрим вниз и называем соответствующее значение БХК ценой $2. Замечаем, что хотя мы и купили большую емкость, заплатив за нее большую цену, все же стоимость одной унции упала (и составляет теперь всего 25 центов). Эту аналогию можно продолжать; мы можем приобретать все бальшие и большие упаковки, при этом их цена (ЯЧК) будет расти, а стоимость за унцию будет падать. Вообще, это известно давно и называется эффектом масштиба: приобретение за раз большого количества товара соответствует закупкам по оптовым ценам; при этом цена единицы товара падает. Подобным образом при использовании ортогональной передачи сигналов с символами, содержащими большее число бит, нам требуется бальшая мощность (большее отношение ЯМК), а требования относительно бита (Еь/)Уе) при этом снижаются.
4.8. М-арная передача сигналов и производительность 288 4.9. Вероятность символьной ошибки для М-арных систем )[М > 2) 4.9.1. Вероятность символьной ошибки для модуляции МРВК Для больших отношений сигнал/шум вероятность символьной ошибки Рг(йй) для рав- новероятных сигналов в М-арной модуляции РЕК с когерептиым детектированием можно выразить как [7[ ( [2Ег, к1 Р. [М) = 2Д вЂ” ' яп— ~~ Н, М~' [4.105) где Рг1Ч) — вероятность символьной ошибки, Е, = Егбой,М) — зиергия, приходящаяся на символ, а М = 2" — размер множества символов.
Зависимость Р,[М) от Ее!Но для пе- редачи сигналов МРЗК с когерентным детектированием показана на рис. 4.35. а 10-" 10-з -5 0 5 10 15 20 25 ЗО ег/мо (лБ! Рис. 4.35. Вероятность символьной ошибки для многофазной передачи сигналов с когерентным детекпшрованием. (Нерепечатано с разрешения авторов из Иг. С. 11пг1зеу опЫ М. К 5!топ. Те!есопзпзпп!са1!Оп Буззегпз Епа!пееппа. Ргепйсе-На11, !пс, Епфепогг С!1)Уз, Х Х, 19733 а 1О ' й ш я" 4 Э 10з о о к ой 10 з г л пг нг н мнпнпшпии и помолчлйция Вероятность символьной ошибки лля лифференциального когерентного детектирования М-арной схемы )ЗРАК (для больших значений Е,)У,) выражается подобно тому, как это было приведено выше [7]: Ре(М) = 2Д вЂ” ' яа— (4.106) 4.9.2.
Вероятность символьной ошибки для модуляции ййГВК Р (М)<(М-1)О Е, ] (4407) где Е,= Еэ(!оргМ) — энергия, приходящаяся на символ, а М вЂ” размер множества символов. Зависимость Рь(М) ат Е~7М, для М-арных ортоганальных сигналов с когерентным детектированием показана на рис. 4.36. Вероятность символьной ошибки лля равновероятных М-арных ортогональных сигналов с некогерентным детектированием дается следующим выражением [9]: (4.108) где с М] М] Й 71(М - 7)1 (4Л09) является стандартным биномиальным коэффициентом„выражающим число способов выбора) ошибочных символов из М возможных. Отметим, что для бинарнога случая формула (4.108) сокращается до Ре =-ехр — — Ь (4.110) что совпадает с результатом, полученным в выражении (4.96).
Кривая зависимости Ре(М~ ат Е~И, для М-арной передачи сигналов с некагерентным детектированием изображена на рис. 4.37. При сравнении данных графиков с приведенными на рис. 4.36 и соответствующими некогерентнаму детектированию можно заметить, что для 1г>7 различием уже можно пренебрегать. В заключение отметим, что для когерентного и некогерентного приема ортаганальных сигналов верхний предел вероятности ошибки дается выражением [9] М вЂ” 1 ( Е, 1 Ре ( М) < — ехр [ — — ' ] .
2 [ 2)ч,у'' (4.111) Злесь Е, — энергия на символ, а М вЂ” размер множества символов. эят 4.0. Вероятность символьной ошибки лля м-ваныч еигт~м (м > э1 Вероятность символьной ошибки Ре(М) для равновероятных ортогональных сигналов с когереннгным детектированием можно выразить как [Я ш В ЗО-' о л о с я 10-з зо-' -1О -5 О 5 !О зб 20 йь!НО(ПБ) Рис. 4.36. Вероятность символьной ошибки для М- орной ортогональной передачи сигналов с когерентным детектированием.
(Перепечатано с разрешения авторов из й'. С. Е1ндзеу анд М. К. огтон. Те!есотсаип1свбоп Буззетз Бпа(пееппа. Ргенз1се-На11, 1нс, Внй1еноод С(з(зз, У, Х, 197Ц 4.9.3. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности символьной ошибки для ортогональных сигналов Можно показать [9(, что соотношение между вероятностью битовой ошибки (Рв'1 и вероятностью символьной ошибки (Ре1 для ортогональных М-арных сигналов описывается следуюшим выражением: Рв 2 з МI2 (4.112( Ра 24 — 1 М-1 г л ппнп нн шппчппиия и демодупянзмь го-' о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
