Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Коды образуются посредством компоновки двух или более составных кодов, являюшихся разными вариантами чередования одной и той же информационной последовательности. Тогда как для сверточных кодов на финальном этапе декодер вьщает жестко декодированные биты (или в более обшем случае— декадированные символы), в каскадной схеме, такой как турбокод, для хорошей работы алгоритм декодирования не должен ограничивать себя, подавая на декодеры жесткую схему решений. Для лучшего использования информации, получаемой с каждого декодера, алгоритм декодирования должен применять, в первую очередь, мягкую схему декодирования, вместо жесткой. Для систем с двумя составными кодами концепция„лежашая в основе турбодекодирования, заключается в том, чтобы передать мягкую схему принятия решений с выхода одного декодера на вход другого и повторять эту процедуру до тех пор, пока не будут получены надежные решения.
где Р(а'= ф) — это апостериорная вероятность, а г(=(представляет данные г(, принадлежащие 1'-му классу сигналов из набора классов лт. Ранее р(хут'=1) представляло функцию плотности вероятности принимаемого непрерывного сигнала с шумом х, при о'=1. Также Р(й=О, называемое априорной вероятностью, означает вероятность появления 1-го класса сигналов. Обычно х представляет "наблюдаемую" случайную переменную или лежащую в основе критерия статистику, которая получается на выходе демодулятора или какого-либо иного устройства обработки сигналов.
Поэтому Р(х) — это функция распределения вероятностей принятого сигнала х, дающая тестовую статистику в полном пространстве классов сигналов. В уравнении (8.61) при конкретном наблюдении Р(х) является коэффициентом масштабирования, поскольку он получается путем усреднения по всем классам пространства. Маленькая буква Р используется для обозначения функции распределения вероятностей непрерывной случайной переменной, а большая буква Р— лля обозначения вероятности (априорной и апостериорной). Определение апостериорной вероятности принятого сигнала, из уравнения (8.61), можно представлять как результат эксперимента.
Перед экспериментом обычно существует (или поддается оценке) априорная вероятность Р(а'=1). В эксперименте лля расчета апостериорной вероятности, Р(г) = 1)х), используется уравнение (8.6!), и это можно считать "обновлением" имевшихся сведений, полученных при изучении принятого сигнала х. 8.4.1.2. Примвр класса иэ двух сигналов Пусть двоичные логические элементы 1 и 0 представляются электрическими напряжениями +1 и -1. Переменная г( представляет бит переданных данных, который выглядит как уровень напряжения или логический элемент. Иногда более предпочтительным оказывается один из способов представления; читатель должен уметь различать это по контексту. Пусть двоичный 0 (или электрическое напряжение -1) будет нулевым элементом при сложении. На рис. 8.20 показана условная функция распределения вероятностей при передаче сигнала по каналу А%ОН, представленная как функция правдоподобия. Функция, изображенная справа, р(хут'=+1), представляет функцию распределения вероятностей случайной переменной х, которая передается при условии, что 8=+1.
Функция, изображенная слева, Р(х)г(= -1), в свою очередь, представляет ту же функцию распределения вероятностей случайной переменной х, которая передается при условии, что г(=-1. На оси абсцисс показан полный диапазон возможных значений тестовой статистики х, которая образуется в приемнике. На рис.
8.20 показано одно такое произвольное значение хи индекс которого представляет наблюдение, произведенное в к-й период времени. Прямая, опущенная в точку х,, пересекает две кривые функций правдоподобия, что дает в итоге два значения правдоподобия 1, = р(хь)(, = 41) и 1, =Р(хь)(, =-1). Хорошо известное правило принятия решения по жесткой схеме, называемое лриниилаи максимального лравдолодобия, определяет выбор данных г(, =+1 или аь = -1, основываясь на большем из двух имеющихся значений 1, или (ь Для каждого бита данных в момент /с решение гласит, что г(г =+1, если хг попадает по правую сторону линии принятия решений, обозначаемой уь, в противном случае — о, = -1.
Аналогичное правило принятия решения, известное как максимум алослериорной вероятности (тпахппшп а ртлтепоп — МАР), можно представить в виде лравияа минимальной вероятности оигибки, принимая во внимание априорную вероятность данных. В общем случае правило МАР выражается следующим образом: опаснее=-1 Правдоподобие в +1 Рис.
82й Функции правдоподобии Н, Р(с) =+1!х) ~~ Р(с( =-1!х). Нз (8.63) Уравнение (8.63) утверждает, что выбирается одна из гипотез — Н„(И=+1), если апостериорная вероятность Р(И=+Цх) больше апостериорной вероятности Р(И=-Цх). В противном случае выбирается гипотеза Нн (д=-1). Воспользовавшись байесовской формой уравнения (8.61), можно заменить апостериорную вероятность в уравнении (8.63) эквивалентным выражением, что дает следуюшее: Н, р(х1Ы =+1)Р(с1 =+1) > р(х~ с1 =-1)Р(д =-1) . (8.64) Здесь функция распределения вероятности р(х), нмеюшаяся в обеих частях неравенст- ва, (8.61), была искцючена.
Уравнение (8.64), в целом представленное через дроби, да- ет так называемую проверку отпоисепия срупкций правдоподобия: Н, Н, я*~о — +с РЮ=О х*~~-+ъ~и-'~~ р(.1.= 1). Р(.=+о-" р(.! = 1)Р( = 1)'1 Н, (8.65) 8.4.1.3. Логарифмическое отношение функций правдоподобия Если взять логарифм от соотношения функций правдоподобия, полученного в уравнениях (8.63) — (8.65), получится удобная во многих отношениях метрика, называемая логарифмическое отношение функций правдоподобия (1о8-1)кеИ1ооб габо— ЬЬК). Это вешественное представление мягкого решения вне декодера определяется выражением Ь(д)х) = 18 , ~ = 18~ Ри = ° 1*>1 Гднс = +сГи = нД и Р(д='-1~ )~ ~р(ЦЫ=-1)Р(д=-1)~ (8.66) Ц~!~) = (8.67) или (8.68) Ц4)х) = Цх~4+ Цд), где цхф — это ЬЬК тестовой статистики х, получаемой путем измерений х на выходе канала пРи чеРедовании Условий, что может быть пеРедан г(=+1 или Ы=-1, а Ь00— априорное ЬЬК бита данных А Для упрощения обозначений уравнение (8.68) можно переписать следующим образом: Ь'( () = Ь,(х)+ Ь0() .
(8.69) Здесь Ь„(х) означает, что данный член ЬЬК получается в результате канальных измерений, произведенных в приемнике. Уравнения (8.61)-(8.69) получены только исходя из данных детектора. Далее введение декодера даст стандартные преимущества схемы принятия решеиий. Для систематических кодов было показано [17[, что ЬЬК (мягкий выход) вне декодера равняется следующему: (8.70) ЦЫ) = Ь'(Ы)+ Ь,Ф) .
Здесь Ь'(Ы) — зто ЬЬК бита данных вне демодулятора (на входе декодера), а Ь,(Й) называется внелгним ЬЬК и представляет внешнюю информацию, вытекающую из процесса декодирования. Выходная последовательность систематического декодера образована величинами, представляющими информационные биты или биты четности. Из уравнений (8.69) и (8.70) выходное ЬЬК декодера теперь примет следующий вид: (8.71) Уравнение (8.71) показывает, что выходное ЬЬК систематического декодера можно представить как состоящее из трех компонентов — каиального измерения, априорного знания данных и внешнего ЬЬК.
относящегося только к декодеру. Чтобы получить финальное Ь(Й), нужно просуммировать отдельные вклады ЬЬК, как показано в уравнении (8.7!), поскольку все три компонента статистически независимы [17, 19[. Доказательство оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения (см. задачу 8.18.). Мягкий выход декодера ЦЫ) является вещественным числом, обеспечивающим в итоге как само принятие жесткого решения, так и его надежность. Знак Ь01) задает жесткое решение, т.е.
при положительном знаке Цг() решение — 1=+1, а при отрицательном — л'=-!. Величина ЦЫ) определяет надежность зтого решения. Часто величина Ь,(л*) вследствие декодирования имеет тот же знак, что и Ь(х) + ЕЯ, и позтому повышает надежносп Ь(Ы) . 8.4.1.4. Принципы итеративного (турбо) декодирования В типичном приемнике демодулятор часто разрабатывается для выработки решений по мягкой схеме, которые затем будут переданы на декодер. В главе 7 повышение достоверности передачи в системе, по сравнению с жесткой схемой принятия решений, оценивается приблизительно в 2 дЬ в канале А%0М. Такой декодер следует называть декодером с мягким входом и жестким выходом, поскольку процесс финального декодирования должен завершаться битами (жесткая схема).
В турбокодах, где используется два или несколько составных кодов и декодирование подразумевает подключение выхода одного леколера ко вхолу дру- кпз 8 4.Турбокоды Е'(д) и внешнего ЬЬК выхода Е,(с]) н представляет собой сведения, вытекающие из процесса декодирования. Как показано на рис. 8.21 для итеративного декодиро- вания, внешнее правдоподобие подается обратно на вход (иного составного декоде- ра) для обновления априорной вероятности информации следующей итерации.
Обратная связь для следующей итерации ч 1 ) В Априорное значение ] ) на входе, Цсб 1 ! л иешиве значение а выходе с (б) Детектор апостериорного значения логарифмическа отношения функций правдоподобия, П(б) (а(х)+ цб) Выходновзначвнив логарифмического отношения фУнкций правдоподобия, Цб) = П(б) + 1,(б) Канальноезначени на входе, (с(х) постериорнсезначенив а выхода, К(б) Рис. 822 Декодер с мягким входом и мягким выходом 8.4.2. Алгебра логарифма функции праццоподобия Для более подробного объяснения итеративной обратной связи выходов мягких деко- деров, вводится понятие алгебры логарифма функции правдоподобия [19]. Для стати- стически независимых данных Ы сумма двух логарифмических отношений правдопо- добия (1О8-11](еИ)оод гайо — !.ЬК) определяется следующим образом: взг ыг,) „ыгт) '] Е(б()БЕ(дз) = Е(д) ®дз) = 1п~ „„),(,т ~ = (8.72) (-1) х зйв[Цс(1)] х зйп[Цс(г)] х пйп (]Цд))], [Е(дз)[).
(8.73) Здесь использован натуральный логарифм, а функция зйа () возвращает знак своего аргумента. В уравнении (8.72) имеется три операции сложения. Знак "цт'* применяется для обозначения суммы по модулю 2 данных, представленных двоичными цифРами. Знак го используется для обозначения суммы логарифмов функций правлоподо- Глава 8. Канальное коаиоование: часть 3 502 гого для возможности поддержки итераций, декодер с жестким выходом нежелателен. Это связано с тем, что жесткая схема в декодере снизит производительность системы (по сравнению с мягкой схемой). Следовательно, для реализации турбодекодирования необходим декодер с мягким входом и мягким выходом.
Во время первой итерации на таком декодере (с мягким входом и мягким выходом), показанном на рнс. 8.21, данные считаются равновероятными, что дает начальное априорное значение ЬЬК Цд) = 0 для третьего члена уравнения (8.67). Канальное значение ЬЬК Е,(х) получается путем взятия логарифма отношения величин 1, и (з для определенных значений х (рис. 8.20) и является вторым членом уравнения (8.б7). Выход декодера Е(с() на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
