Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Однако это не так, если отношение ет/мо фиксировано. По мере изменения степени кодирования кода от максимального значения до минимального (от 0 до 1), интересно было бы понаблюдать за эффектами, показанными на рис. 8.6. Злесь кривые рабочих характеристик показаны при модуляции ВРБК и кодах (31, К) лля разных типов каналов.
На рис. 8.6 показаны системы связи реального времени, в которых за кодирование с коррекцией ошибок приходится платить расширением полосы пропускания, пропорциональным величине, равной обратной степени кодирования. Приведенные кривые показывают четкий оптимум степени кодирования, минимизирующий требуемое значение Е171то 14). Для гауссова канала оптимальное значение степени кодирования находится где-то между 0,6 и 0,7, для канала с райсовским замиранием — около 0,5 (с отношением мощности прямого сигнала к мощности отраженного К = 7 дБ) и 0,3 — для канала с релеевским замиранием. (Каналы с замиранием булуг рассматриваться в главе 15.) Почему здесь как при очень высоких степенях кодирования (малой избыточности), так и при очень низких (значительной избыточности) наблюдается ухудшение вероятности ошибки? Для высоких стеяеней кодирования зто легко обьяснить, сравнивая высокие степени кодирования с оптимальной степенью кодирования.
Любой код в целом обеспечивает все преимущества кодирования; следовательно, как только степень кодирования приближается к единице (нет кодирования), система проигрывает в надежности передачи. Ухудшение характеристик ри низких сгеленях кодирования является более тонким вопросом, поскольку когда ЕУФо фиксировано работает два механизма. Один механизм направлен на снижение вероятности появления ошибок, другой повышает ее. Механизм, снижающий вероятность лоявления ошибки, — это кодирование; чем больше избыточность, тем больше возможности кода в коррекции ошибок Механизм, повышающий эту вероятносп, — это снижение энергии, приходящейся на канальный символ (по сравнению с информационным символом), что следует из увеличения избыточности, вызывающей быструю передачу сигналов (в системах связи реального времени).
Уменьшенная энергия канального символа вынуждает демодулятор совершать больше ошибок. В конечном счете второй механизм подавляет первый, поэтому очень низкие степени кодирования вызывают ухудшение характеристик кола. 20 ь а а \ Й 15 $ 8 Я ош т ч т 5 0 0,2 0,4 0,6 О,а 1 Степень кодирования Рис. В.6. Характеристики декодера Рида-соломона (31, л) как Функция степени кодирования (модутцил ВРБй) Давайте попробуем подтвердить зависимость вероятности появления ошибок от степени кодирования, показанную на рис. 8.б, с помощью кривых, изображенных на рис. 8.2. Непосредственно сравнить рисунки не удастся, поскольку на рис.
8.6 применяется модуляция ВЕК, а на рис. 8.2 — 32-ричная модуляция МгБК. Олнако, пожалуй, нам удастся показать, что зависимость характеристик кода Рида-Соломона от его степени кодирования выглядит одинаково как при ВРБК, так и при МРБК. На рис. 8.2 вероятносп появления ошибки в канале АтУСгХ снижается при увеличении способности кода г к коррекции символьных ошибок с г= 1 до 1=4; случаи г= 1 и г= 4 относятся к кодам (31, 29) и (31, 23) со степенями кодирования 0,94 и 0,74.
Хотя при г= 8, что отвечает коду (31, 15) со степенью кодирования 0,48, достоверность передачи Ра= 10 ' достигается при примерно на 0,5 дБ большем отношении Е~14м по сравнению со случаем г= 4. Из рис. 8.2 можно сделать вывод, по если нарисовать график зависимости достоверности передачи от степени кодирования кода, то кривая будет иметь вид, подобный приведенному на рис.
8.6. Заметим, что это утверждение нельзя подучить из рис. 8.1, поскольку там представлена передаточная функция декодера, которая несет в себе сведения о канале и демодуляции. Поэтому из двух механизмов, работающих в канале, передаточная функция (рис. 8.!) представляет только выгоды, которые проявляются на входеГвыходе декодера, и ничего не говорит о потерях энергии канального символа как функции низкой степени кодирования. В разделе 9.7.7 будет более подробно рассказано о выборе кода в соответствии с типом модуляции.
8.1.4. Конечные поля Для понимания принципов кодирования и декодирования недвоичных кодов, таких как коды Рида-Соломона, нужно сделать экскурс в понятие конечных полей, известных как воля Галуа (ба!о(з йе!бз — 0Р). Для любого простого числа р существует конечное поле, которое обозначается бр(р) и содержит Р элементов. Понятие бр(р) можно обобщить на поле из р" элементов, именуемое волен расширеиия СР(р); это поле обозначается СР(р"), где гв — положительное целое число.
Заметим, что бр(р") содержит в качестве подмножества все элементы СР(в). Символы из поля расширения СР(2") используются при построении кодов Рида-Соломона. Двоичное поле СР(2) является подполем поля расширения СР(2 ), точно так же как поле вещественных чисел является подполем поля комплексных чисел. Кроме чисел 0 и 1, в поле расширения существуют дополнительные однозначные элементы, которые будут представлены новым символом а. Каждый ненулевой элемент в ОР(2") можно представить как степень а.
Бесконечное множество элементов, Р, образуется из стартового множества (О, 1, а) и генерируется дополнительными элементами путем последовательного умножения последней записи на а. Р = (О, 1, а, а', ..., а', ... ) = (О, ав, а', а', ..., сг', ... ) (8.9) Для вычисления из Е «олечиот множества элементов Сгр(2 ) на Г нужно наложить условия: оно может содержать только 2 элемента и быть замкнутым относительно операции умножения. Условие замыкания множества элементов поля по отношению к операции умножения имеет вид нередуцируемого полинома а'з " +1=0 или„что то же самое, ц(2 -П 1=гге (8.10) С помощью полиномиального ограничения любой элемент со степенью, большей или равной 2"-1, можно следующим образом понизить до элемента со степенью, меньшей 2 — 1: (2 оо) (2"-1) оь1 оо1 (8.11) Таким об)жзом, как показано ниже, уравнение (8.!О) можно использовать лля формирования конечной последовательности Г из бесконечной последовательности г".
Р' =(0,1,а,аз,...,а2 2,а2 ),а2,...)= (0 „о 1 2 „2"-2 о 1 2 ) (8.12) Следовательно, из уравнения (8.12) можно видеть, что элементы конечного поля ОГ(2") даются следующим выражением: ОР(2 )=(О,а,с(',((,...,а (8.13) 8.1.4.1. Операция сложения в поле расвзирения ОР(2 ) г о„= а,(Х) = а~ о + по )Х + ао гХ + ". + с .,о - )Л (8.14) Рассмотрим случай т=З, в котором конечное поле обозначается ОР(2'). На рис. 8.7 показано отображение семи элементов (а,) и нулевого элемента в слагаемые базисных элементов (Хо, Х), Х'), описываемых уравнением (8.!4). ()оскольку из уравнения (8.10) а'= а), в этом поле имеется семь ненулевых элементов или всего восемь элементов. Каждая строка на рис. 8.7 содержит последовательность двоичных величин, представляющих коэффициенты а, о, ао! и а, 2 из уравнения (8.14).
Одним из преимуществ использования элементов (с(') поля расширения, вместо двоичных элементов, является компактность записи, что оказывается удобным при математическом описании процессов недвоичного кодирования и декодирования. Сложение двух элементов конечного поля, следовательно, определяется как суммирование по модулю 2 всех коэффициентов при элементах одинаковых степеней. с! + а = (а . о+ ало) + (ао)+ а! 1)Х+ ... + (со 1+ с), 1)Х" (8.15) 8.1.4.2. Описание конечного поля с помощью примитивного полинома Класс полиномов, называемых лримитивлмми лолиломами, интересует нас, поскольку такие объекты определяют конечные поля ОР(2 ), которые, в свою очередь, нужны для описания кодов Рида-Соломона. Следующее утверждение является необходимым и достаточным условием примитивности полинома.
Нередуцируемый полином ЯХ) порядка в) будет примитивным, если наименьшим положительным целым числом л, лля которого Л е 1 делится наЯХ), будет и = 2" — 1. Заметим, что нередуцируемый полипом — это такой полипом, который нельзя представить в виде произведения полиномов меньшего порядка; делимость А на В означает, что А делится на В с Каждый из 2 элементов конечного поля ОР(2") можно представить как отдельный полипом степени )и — 1 или меньше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
