Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Обозначим через Ч пространство всех векторов ч=(вь ..., о ), таких что о,=1 или — 1. Нетрудно видеть, что У содержит 2" элементов. Если исходный процесс (у„(=1, 2, ...) случайный с независимыми значениями и описывается симметричной плотностью вероятностей гв(у;)=гв( — у;), — со<у~<со, (=1,..., и, то статистика (179) имеет распределение Р (з(нп у = ч) = (1/2)", ч м У. Таким образом, редукция наблюдаемых данных до знаков приводит к тому, что распределение вероятностей получаемой статистики оказывается инвариантным относительно распределения исходных величин, если только последние независимы и выполняется условие (!80). Это обстоятельство и определяет то, что алгоритмы обработки сигналов, построенные на основе знаковой статистики, также будут обладать некоторыми инвариантными (непараметрическими) свойствами.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу обнаружения. Пусть независимые наблюдения (178) представляют собой либо шум (6=0), о котором известно только то, что его плотность вероятностей обладает свойством (180), либо смесь сигнала и шума (6=1). При наличии сигнала свойство симметрии (180) для наблюдаемой последовательности будет нарушено.
Если ввести вероятность р=р(у;)О), !=1,..., и, (2.181) (2.180) (2.182) где !з(Япу;=1, у~)0, «(У~) = [ О, у<0; й — порог, определяемый заданной вероятностью ложной тревоги Р. Статистика а„имеет биномиальное распределение с параметром р (!81), при этом Р (г, = А!О = 1) = Сь р (1 — р)" Р(зп — — А!О=О)=Сп(1 2), й=О, 1,..., и, 118 то, как следует из (180), при 6=0 имеем р=1/2. При 6=1 и по- ложительном сигнале р)1/2. Лля решения этой задачи обнаружения воспользуемся знако- вым обнаружителем, реализующим алгоритм л И, г„= ч~з ~«(у;) й, где Сь„=п!)(й! (л — й) !!.
Вероятность правильного обнаружения Р= Х С"„р" (1 — р)" — ь, где й — наибольшее целое число, удовг=1+1 л летворяющее неравенству Р< Х С" (1/2)". Отсюда видно, что в=а+1 порог Ь и вероятность ложной тревоги не зависят от распределения вероятностей шума. Таким образом, при независимых наблюдениях и симметричном распределении шума знаковый обнаружитель является непарамегрическим для ситуации 6=0. Этого, конечно„ следовало ожидать вследствие отмеченного ранее свойства инвариантности знаковой статистики.
Непараметрические свойства обнаружителей можно также обеспечить, если синтезировать алгоритмы на основе ранговой статистики. Последняя определяется следующим образом. Расположив наблюдаемые данные (178) в порядке их возрастания д!)д), 1) )1, получим упорядоченную выборку — вариационный ряд до)< <д!')« ... д)!)« ...
д!"), где д!') представляет собой 1-ю по величине компоненту вектора (178). Элементы вариационного ряда называются порядковь)ми статистиками. Далее предположим, что для вектора (178) никакие две компоненты не совпадают, н обозначим через»;(у) число компонент, не превосходящих дь т.е. )Г)) номер компоненты д; в вариационном ряду: д)=д )', 1<1<а. Статистика )с)=»)(у) называется рангом компоненты дь а вектор К=()(ь ..., )т'„) — ранговым вектором или ранговой статистикой.
Обозначим пространство всех перестановок г=(»„..., » ) целых чисел (1, ..., и) через К Это пространство содержит н! элементов. Если исходный процесс (дь )=1, 2, ...) является однородным случайным с независимыми значениями, то ранговая статистика обладает распределением Р(й=г)=1)п1, г~в%, (2.1837 т.
е. все ранговые векторы равновероятны. Таким образом, редукция наблюдаемых данных до рангов привела к тому, что распределение вероятностей ранговой статистики, как и знаковой, оказалось ннвариантным относительно распределения исходных величин. Очевидно, в ранговых обнарджителлх, построенных на основе ранговой статистики, вероятность ложной тревоги остается постоянной при любых распределениях шума, если только он является однородным процессом с независимыми значениями. При появлении сигнала однородность наблюдений нарушается, ранговые векторы перестают быть равновероятными, а это и позволяет обнаружить сигнал. Ранговые статистики в отличие от знаковых не связаны с жестким ограничением наблюдений, и поэтому они информативнее.
!)У Вследствие этого ранговые обнаружители эффективнее знаковых, т. е. обеспечивают ббльшую вероятность правильного обнаружения при одной и той же вероятности ложной тревоги. Однако покупается это ценой усложнения обнаружителей [50, 55). Робастные и адаптивно-робастные методы. Робастные методы позволяют синтезировать алгоритмы, близкие по эффективности к оптимальным для выбранных моделей и мало ее снижающие при отклонении распределений наблюдений от исходных моделей в заданных, как правило, небольших пределах. Если термин «робастный» * понимать буквально, то робастные методы следует отнести к непараметрическим (точнее — к «свободным от распределения»), так как последние приводят к устойчивым процедурам, не зависящим от исходных распределений. Однако обычно под робастными понимают методы синтеза, занимающие промежуточное положение между параметрическими и непераметрическими: они не требуют того сравнительно большого объема априорной информации, в котором нуждаются параметрические методы, и в то же время используют большую априорную информацию, чем непараметрические методы.
В результате робастные алгоритмы оказываются эффективнее непараметрических, однако покупается это ценой сужения класса возможных распределений, в котором сохраняется устойчивость алгоритмов. Сужение класса распределений происходит при использовании параметрико-непараметрических моделей, например (174), (175). Однако при этом удается с помощью минимаксного подхода (см. 5 2.!) находить наименее благоприятные распределения (НБР) помех и синтезировать алгоритмы, для которых показатели качества оказываются не хуже фиксированных, определяемых НБР.
Существуют различные модификации постановки задачи синтеза робастных алгоритмов, и в частности робастных обнаружителей (601. Ряд из них применительно к задаче обнаружения детерминированного сигнала в помехе с независимыми значениями приводит к структурной схеме типа показанной на рис. 2.26. Однако в отличие от асимптотически оптимального обнаружителя, в котором характеристика БНП (см.
рис. 2.26) определяется по известному распределению помехи (по формуле (117)), в робастном обнаружителе характеристика БНП находится по НБР, определяемому для заданного класса распределений. В результате робастный обнаружитель может гарантировать значения вероятностей Р и Р не хуже тех, которые соответствуют НБР. На рис, 2.34,а приведена характеристика БНП, построенная по НБР для класса ЯУ»(а, д) (175). Более просто реализуется харак- * Коьп»1 — крепкий, стабильный, устойчивый. 120 Рис.
2.34. Характеристики нелинейных преобразователей для робастных обнаружителей а) пу теристика БНП (рис. 2.34,б) для класса а-загрязненпых гауссовских распределений (174); в этом случае БНП вЂ” «лннейиыйэ ограничитель. Робастные обнаружителн когерентных и некогерентных пачек импульсов (62) включают в себя два квадратурных канала, однако в отличие от рассмотренных ранее (й 2.5) обнаружителей пачек импульсов, оптимальных длн белого гауссовского шума, между фазовыми детекторами и накопвтелями имеются БНП с характеристиками типа показанных на рис. 2.34.
Эффективность этих обнаружителей, называемых локально-робастными, можно повысить, если безынерционные преобразователи заменить инерционными нелинейными, формирующими так называемые М-оденки (оценки тапа максимального правдоподобия) неизвестных амплитуд импульсов. В простейшем случае М-оценка па- раметра О является решением О уравнения типа ~ ' э; / (йз — Оз;) = О, г=1 где з, — известные значения, определяющие форму сигнала; )(.) — нелинейная функция, аналогичная показанной на рнс. 2.34. Робастный обнаружитель, использующий М-оценку, называется М-обнаружигелехь Анализ показал, что М-обнаружитель является аснмптотнчески оптимальным в том смысле, что при неограниченном возрастании числа выборочных значений гарантируются наилучшие достижимые верхнян граница г' вероятности ложной тревоги и нижняя граница 0 вероятности правильности обнаружения независимо от истинного распределения помехи, выбранного из заданного класса распределений.
Моделирование М-обнаружителя и локально-робастного обнаружнтеля при различных распределениях помех (93) †(95), принадлежащих классу (Гтб), показало, что они имеют сравнительно хорошие характеристики и высокую степень устойчивости н прн конечном числе выборок. Прн этом при малом числе выборок степень устойчивости М-обнаружителя выше, чем локально-робастного. Необходимо, однако, иметь з виду, что робастные обнаружители обладают хорошими характеристиками, если неизвестное распределение помехи принадлежит классу распределений, для которого синтезирован обнаружитель. Если же распределение помехи выходит за пределы этого класса, то характеристики обнаружителя ухудшаются. Так, если на М-обнаружитель для класса йг,(а, 4) воздействует помеха с распределением, принадлежащим классу йу,(а', о), то прн аЧа=!,! и а2а=2 вероятность ложной тревоги возрастает в 2 раза и в 10 раз соответственно.
Таким образом, М-обнаружитель в условиях априорной неопределенности относительно параметра а класса П'з(а, и) теряет устойчивость. Это, однако, можно предотвратить, воспользовавшись адаптивно-робастным методом синтеза. Согласно этому методу синтезируется робастный обнаружитель для того нлн иного класса распределений с известными параметрами (например, йут(а, д) или 271(шь е)), а при априорной неопределенности относительно параметров класса производится их оценивание по обучающей (классифицированной или неклассифнцированной) выборке. Как показал анализ 170], синтезированный таким методам адаптивно-робастнььй обнаружитель хорошо стабилизирует вероятность ложной тревоги в условиях неопределенности относительно параметров класса распределений и незначительно проигрывает в пороговом отношении сигнал-шум неадаптивному робастному обнаружителю, на вход которого поступает помеха с распределением нз «своего» класса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
