Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы. Под ред. Ю.М.Казаринова (2008) (1151786), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Матрица Фишера лля данной задачи имеет вид Ф = 2Ео / Л'о 0 откуда условные дисперсии оценок А и у соответственно: 0~А~А, <р~= — = —; 0(<р~А, <р~ = Таким образом, дисперсия оценки амплитуды определяется отношением сигнал/шум на выходе СФ для сигнала с единичной амплитудой, а дисперсия оценки фазы — фактическим отношением сигнал/шум. Оценки А и у некоррелированы, а в силу асимптотической нормальности и независимы.
3. Оценка времени запаздывания сигнала. Время запаздывания т является единственным информационным параметром сигнала о(О Х) = о(г — т). 143 Оценка по методу МП параметра т т = ага гпахе(т), г где 2(т) =() у(г'д(! — т)дп о Эту оценку можно получить, фиксируя положение наибольшего значения на выходе фильтра, согласованного с сигналом х(г), с учетом постоянной поправки т„равной длительности сиг- нала, т.е, т = трах тс Пользуясь выражениями (4.9) и (4.10), можно получить выражения для дисперсии ОМ П параметра т при известных остальных параметрах сигнала: 2)Ц,~ о 2[ [х'(г)~ с(г (4. 14) где (, — эффективная, или среднеквадратическая, частота спект- ~ Р!х(Х)!' К (г 1 ! (Х)!'0Х ра сигнала х(г) В формуле (4.14) второе выражение для 0Цт~ показывает, что точность измерения временнбго положения сигнала зависит от отношения сигнал/шум на выходе СФ и энергии производной сигнала х'(г), отнесенной к энергии сигнала, т.е.
для быстроизменяющихся сигналов точность измерения при одних и тех же значениях д будет выше. Третье и четвертое выражения в формуле 144 ,[ Р Р(л!' йх 2Е ~г [ [х'(г)~ с)г 2Е [ я'(!)с)1 1 (2хг;) д' (4. !4) позволяют связать точность измерения времени запаздывания т с параметром спектра /;, который характеризует ширину пектра сигнала и его положение на оси частот.
Соотношение для /;~ можно записать в форме ф = Д~;~ + ф, где Д~ — центральная частота спектра сигнала, равная нулю для видеосигнала и ~ ~)х( Г))' сК А = „для радиосигнала. Для узкополосных радиосиг- О Ях(Л~' ( о палов ~~.;2 с<ф и выражение для дисперсии оценки временнбго положения сигнала принимает вид При измерении временнбго положения сигнала со случайной 1 начальной фазой Ь'(у) = —, ув ( — х; х!, дисперсия оценки т оп2х рсделяется выражениями (4.11), (4.12), что дает 0(тЯ= 1, 4»1, (2хг,) д' (4.15) где г, — эффективная ширина спектра комплексной огибающей 1 Р'(А~)! й~ 5(1) сигнала 4й ср), Г, =— Д5(л! йу 145 Учитывая, что лля узкополосного радиосигнала спектр комплексной огибающей есть удвоенная часть спектра, расположенного вокруг центральной частоты 4, смещенная в начало координат, можно утверждать, что точность ОМП запаздывания сигнала со случайной фазой можно повысить, не прибегая к увеличению энергии сигнала, так как расширение спектра также уменьшает условную дисперсию ОМ П.
Тривиальным способом увеличения г,' является укорочение сигнала, т.е. уменьшение его длительности т,. При этом для сохранения постоянства энергии, т.е. значения д, необходимо одновременно поднимать пиковую мощность сигнала, что на практике не всегда возможно в силу ограниченности мощности передатчиков. Однако спектр сигнала можно рас- ширить и при фиксированной длительности т,. Для этого требуется только осуществить соответствующую модуляцию сигнала в пределах длительности т,. При правильно выбранном законе модуляции ширина спектра Т, определяется параметрами этого закона, а не длительностью т,.
При этом выполняется соотношение Р;т,» 1. Сигналы, удовлетворяющие этому неравенству, называются сложными (широкополосными, шумоподобными) в отличие от простых, для которых база (произведение Гт,) близка к единице. Механизм роста потенциальной точности оценки т с расширением спектра сигнала состоит в следующем: с ростом Г, огибающая сигнала после СФ «обостряется» и ее пик флуктуирует по времени под воздействием шума того же уровня в меньших пределах. Обратим внимание на то, что точность оценки т сигнала со случайной начальной фазой не зависит от номинала 4, поскольку за ОМП принимают временнбе положение максимума огибающей радиосигнала (а не его высокочастотного заполнения) на выходе СФ. 4.
Оценка частоты. При оценивании допплеровского сдвига частоты Г для сигнала со случайной начальной фазой з(е, Г, ер) = ке) 5(е) ехр(еер) ехр(е2л(А + Г)е)~ дисперсия ОМП в соответствии с выражениями (4.11) и (4.12) г) Р'1г" ~ =, е)» 1, (2кТ,)еде * (4.16) г 1' (Е Ео) )~(Е) е)Е где Т, — эффективная длительность сигнала, Т, = ) Я(Е)! Е)Е ) ф(Е)/ С(Е В выражении для Т, параметр е0 = — абсцисса цен- ) 5(Е)! ЙЕ тра тяжести фигуры, ограниченной осью Е и кривой )5(Е)),— характеризует положение огибающей 5(е) = )Ю(е)! на оси е. !46 Физика роста точности ОМП Р с увеличением Т, очевидна; оценить отличие частоты от номинального значения можно по набегу фазы Ьер несущей наблюдаемого колебания относительно (гармонической опоры частоты Д.
За эффективную длительность 'сигнала значение набега фазы составит Лу = 2лЕТ„и поэтому оценить Еможно делением ОМП значения Лу на 2лТ, в силу инвариантности ОМП относительно замены переменных. Так как дисперсия Ьу имеет порядок!/д', то дисперсия Е оказывается равной правой части выражения (4.16). Из приведенных рассуждений оказывается понятным, почему и для полностью известного сигнала (за исключением оцениваемого частотного сдвига Е) в соответствии с выражением (4.10) мы получили бы аналогичное выражение для 2)(Е1Е~. Ведь измерение частоты связано с оценкой од = 2лЕТ„которая определяется как разность фаз в конце и начале сигнала с учетом Лу« = 2тДТ, за счет известной центральной частоты 4. При этом случайная, но постоянная за время Т„фаза у исключается. Интересно отметить дуальность временных и спектральных характеристик при изменениях т и Е Если при д = сопл! точность оценки времени запаздывания определяется шириной спектра, т.е.
«протяженностью» сигнала в частотной области, то дисперсия ОМП частоты зависит только от протяженности сигнала во временной области. Если при оценивании т или Е производится М независимых измерений в одинаковых условиях, то величина дисперсии оценки уменьшается в л! раз. 5. Совместная оценка времени запаздывания и частоты. Пусть у сигнала з(б»., ~р) = Ке1»(б»)ехр(у2лу~!+ <р)) вектор измеряемых параметров Х имеет вид Х = 1т, Е)т, т.е,5(б т, Е, у)= = Ке(Ю(! — т) ехр(7~р) ехр(72л(Д„+ Е) !)). В соответствии с выражением (4.10) и правилом обращения матриц получим Т' (2лЕ»Т») (! р~ )~д~,ргЕ»Т» Еэ где рт — коэффициент частотно-временной связи, определяемый «»Р мт р =[1щ~~Ур«~~~ »т1» «>а1 л— ное отклонение частоты сигнала от Д~, Е«(1) = —; у(г) — закон оФ) 2лог ' угловой модуляции сигнала. Таким образом, условные дисперсии совместных ОМ П т и Е в асимптотическом приближении соответственно: 147 !))т!т, Г~ =, д» 1; (4,18) (2лР'.,) (1 — р~~)д~ ))(Г~т, Е)=, д»1.
(4.19) (2яЕ) (1 р2)92' Так как матрица Ф ' является корреляционной матрицей асимптотически совместно нормальных ОМП т и Г, то из выражения (4.!6) следует, что коэффициент частотно-временной связи есть не что иное, как коэффициент корреляции случайных величин т и Г при д» 1, Кроме того, результаты выражений (4.18) и (4.!9) показывают, что при прочих равных условиях точность совместной оценки т и Евыше в том случае, когда рк= О, т.е. т и Е не коррелированы. При этом выражения (4.18) и (4.!5), как и выражения (4.19) и (4.16), совпадают, откуда следует, что при отсутствии частотно-временной связи точность ОМП одного из параметров т и Г не зависит от того, известен ли другой или оценивается наряду с первым. Подчеркнем, что для любых сигналов без ЧМ, а также для сигналов с симметричной ЧМ рд — — О.
Для сигналов названных типов дисперсии ОМП т и Епри совместных и раздельных измерениях времени запаздывания и частоты одинаковы. При этом ФН называют частотно-временной. Само название функция неопределенности», введенное Ф. Вудвордом, первоначально было закреплено за функцией (4.20) и лишь впоследствии по мере разработки общей теории оценок распространено на параметры любой природы. Очевидно, геометрически ФН (см. формулу (4.20)) описывает некую поверхность над плоскостью (т, Е), причем ее максимум, равный единице, находится в точке т = О, Г = 0 (Ч'(т, )г) < Ч'(О, О) = 1).
Чтобы лучше понять смысл требований к ФН, вытекающих из стремления к высокой точности оценок т и Е, обратимся к схеме измерителя времени запаздывания и частоты, изображенной на рис. 4.2 в соответствии с существом метода МП. Схема состоит из набора фильтров СФ„, согласованных с сигналами Ке(Я(г) ехр(~2я(~р + /сдам'))~, где /с — номер канала; й = 1, ..., М; ЛŠ— частотная расстройка каналов, причем полоса частот М ЛГохватывает все возможные значения оцениваемой частоты Е Выходные сигналы СФ поступают на детекторы огибающей, пос- 148 Рис.
4.2. Структурная схема измерителя времени запаздывания и частоты ле чего в решающем блоке определяется номер канала (с, в котором огибающая достигла наибольшего значения, и фиксируется временное положение этого максимума т с поправкой на длительность сигнала т,. Оценка частотного сдвига г = )г - ЛГ. Число каналов М выбирается из условий требуемой точности замены непрерывной оценки г" дискретной. Пусть на вход этой схемы подан сигнал с нулевыми значениями времени запаздывания и частотной расстройки.
Тогда при отсутствии шума на входе измерителя выходной сигнал детектора огибающей с линейной характеристикой для 1-го канала в момент времени г = т + т, получим — ~ 5(г)Б*(1 — т)ехр( — у2ягт)ог = Е'р(т Г). !" Таким образом, огибающая после 1-го СФ воспроизводит по форме ФН ч'(т, г",) как функцию т при фиксированной расстройке г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
