Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы. Под ред. Ю.М.Казаринова (2008) (1151786), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Как уже отмечалось ранее, при решении задачи различения М сигналов в зависимости от выбранного критерия игдется номер сигнала, для которого: ° если различитель оптимален по критерию минимального сред- него риска, то совместно выполняются М неравенств '~ р;П„!Р(у! Н,) < г р,.П,,В (у~ Н;), >=О ыО где г = О, 1, ..., М вЂ” 1; ° если различитель оптимален по критерию МАП, то совмест- но выполняются М неравенств Р(Н,1у) > Р(Н,!у), где ( = О, 1, ..., М вЂ” 1; » если различитель оптимален по критерию МП, то решение принимается в пользу той гипотезы Нх, для которой ФП И" (У(г)(Н») будет наибольшей, В последнем случае при различении на фоне НБШ М сигна- лов„имеюших одинаковую энергию Е, решение принимается на основе сравнения друг с другом корреляционных интегралов ~; = ) у(г)з;(г)о(, 1= О, 1, „,, М вЂ” 1, о Решение принимается в пользу той гипотезы (сигнала), которой соответствует наибольший корреляционный интеграл.
Вероятность ошибки при различении двух сигналов зе(г) и я,(г) с одинаковыми энергиями Е составит 12Е где д = ~ —; р — коэффициент корреляции различаемых сигна- 1 7 лов, р = — ! з (г)з,(г)г(г и достигает минимума при р = -1, что Е соответствует различению противоположных сигналов. При различении М равнокоррелированных сигналов (р„= р, ! ~ г) с одинаковой энергией Е вероятность ошибки определяется вы- ражением Р, =1 — — ! е "~'Ф" '(х+д/! — р)г!х и достигает ! у2~2 М! /2л минимума для симплексных сигналов, которым соответствует 1 М вЂ” 1 При малых вероятностях ошибок Є— > О, что достигается за 12Е счет увеличения д =- ~ —, справедливо приближенное выражение Р„.
<(М-1) 1-е д — 'Р называемое алдитивной границей полной вероятности ошибки. Для задачи оценивания вектора параметров А = ~Х„Хн ..., Х„! качественными показателями являются вектор средних значений Х = [Х„Х,, ..., ),„! и корреляционная матрица К, диагональные элементы которой определяют дисперсии оценки компонентов г" вектора параметров Р~ Р., !Х~, а внедиагональные элементы — корреляционные связи между оценками компонент. Оценки по методу МП (ОМП) асимптотически несмещенные, асимптотически совместно эффективные и нормальные с корреляционной матрицей К = Ф ', где Ф ' — матрица, обратная информационной матрице Фишера Ф, элементы которой д2 1и И/(у(г)!Х) д).раХ„ Предполагается, что логарифм ФП дважды дифференцируем по параметру. Это надо иметь в виду при определении точности измерения параметров конкретных сигналов. 136 Если помеха является алдитивным Н БШ с двухсторонней СПМ )Уо/2, то ОМ П Х находится в соответствии с правилом ~(Х) — = шах~2(Х) — ~, или Х = агягпах~~(Х)— Е(Х) Г Е(Х)1 - Г Е(Р»)1 2» ~ 2 ~' » ~ 2 т т где ~(Х) = ~у(г)г(г, Х)оц Е(Х) — энергия сигнала, Е(Х) = ! я'(г, Х)йп о о Выражение для элементов матрицы Фишера примет вид 2 дг~(Х) 1 д»Е(Х) фа= + Л~о д)А ДГо д)оА При измерении неэнергетических параметров, для которых Е(Х) = Е = сопя!; Х = ага п1ах ~(Х), т.е.
ОМ П соответствует макси» муму корреляционного интеграла т(Х), рассматриваемому при фиксированной реализации у(г) как функция о.. В этом случае второе слагаемое в выражении для Ф» равно нулю (Е(Х) = сопя!) и после несложных преобразований получим Г2ЕЕ где д — отношение сигнал/шум на выходе СФ, д = ~ —; чг()чь)»)— дго функция неопределенности (ФН) сигнала, при различных значе- Чг(Х) = — ) я(д 0)х(г, Х)оп ! Е Тогда элементы матрицы Фишера Ф определятся как (4.9) ния параметра (Х„, Х), Чг(Хо, Х) = — ) я(г, Хо)(г, Х)йп ! Е Функция неопределенности сигнала я(б Х) по параметру Х характеризует меру линейной связи (коэффициент корреляции) двух копий сигнала, имеющих различные значения параметра (Хо и Х).
Для ФН стационарного типа, зависящей от разности Х вЂ” )ць можно положить 3!о = 0 и определить ее как Из приведенных выражений можно определить пороговое отношение сигнал(шум д,„, обеспечивающее обнаружение сигнала с требуемыми вероятностями р„и р„;.
д„к =О,'(~-21 р.„! — р.,), где Ц1' — Функция, обратная Ц-функции по второму аргументу. При обнаружении когерентного пакета (группы) импульсов М-1 х(г) = 2. а,Ео(г — (Т„)сох(ооой — У) г=о со случайной начальной фазой у, равномерно распределенной в интервале !-л; х1, при определении параметра обнаружения Г2Е ч = ~ — под Е нужно понимать энергию пачки импульсов, кото)уо рая не зависит от начальной Фазы.
При заданных вероятностях р., и р„и заданном до минималь- (о,'(,~-21 р,„! — р.,!) ное число импульсов в пакете М,„— Чо г Ф-! для некогерентного пакета з(г) = ~~~ аЯ„(г — (Т„)сох(оэог — у,) г'=о (где ~р„, <р, ..., ~р,о 1 — независимые между собой, равномерно распределенные в интервале ! — я; х! случайные начальные Фазы) оптимальный алгоритм усложняется и состоит в сравнении с поро( 2ад том г,„решающей статистики ~ = ",> )и /о '~ Порог г,„выбиыо )~о рается в зависимости от используемого критерия. Определение качественных показателей (р„и р„,) в общем случае достаточно сложно. Однако в случае обнаружения пакета слабых сигналов, когда до «1, и при условии высокой вероятности (р„и р„, достаточно малы) необходимо обрабатывать большое число импульсов /Ч и в соответствии с центральной предельной теоремой распределение решающей статистики ~ можно считать близким к нормальному закону.
При этих допущениях для пачки одинаковых импульсов р„= ! — Ф(й); р„, = ! -Ф(г),,4Ы вЂ” lг), где Ь вЂ” центрированный нормированный порог; д„— отношение сигнал/шум на выходе детектора огибаюшеи. Величина порога определяется выражением (39 1п !уапц~ ,/УР, где й„и Є— соответственно среднее значение и дисперсия отсчета на выходе квадратичного детектора, включенного после фильтра, согласованного с одиночным импульсом, при отсутствии сигнала.
Отношение сигнал/шум на выходе детектора можно записать в виде и,— и, Ч„= д.' где и„— среднее значение отсчета на выходе детектора при наличии сигнала. Приведенные соотношения позволяют оценить потери при обнаружении некогерентного пакета слабых (д> «1) сигналов по сравнению с когерентным пакетом, имеющим для одиночных сигналов такое же отношение сигнал/шум д~. Эти потери можно выразить в необходимом увеличении числа импульсов для некогерентного пакета У„„по сравнению с числом импульсов для когерентного пакета М„при одинаковых вероятностях (р,, и р„,) и д~: Если учесть, что для слабых сигналов (д~«!) имеет место эффект подавлениЯ, пРоЯвлЯющийсЯ в том, что д„= 0,54с2, то %„„4 дк чО При обнаружении сигнала, содержагцего два неинформационных параметра, случайную начальную фазу у, распределенную, как и раньше, равномерно в интервале ! — я; я], и случайную амплитуду А, подчиняющуюся распределению И'(А), оптимальный алгоритм не зависит от И!А) и совпадает с алгоритмом обнаружения сигнала со случайной начальной фазой и известной амплитудой.
Случайные величины у и А считаются независимыми. Если флуктуации амплитуды А подчиняются закону Рэлея (,А2 ~ —,ехр — —, при А > 0; И'(А) = о'„~ о'„! 0 при А<0, то качественные показатели р„и р„, соответственно получим: 140 йг р„= ехр( — Ь~/2); р„, = 1 — ехр— 2(1+ д~/2) ) где пороговый уровень Ь и отношение сигнал/шум д определяют- ся выражениями: 6= ~ ;4= '12Е ~~Фо Ее/2 )( ~уо При этом средняя энергия сигнала Е связана с энергией сигнала Ее при А = 1 соотношением Е = А'Е,.
Средний квадрат амплитуды равен (,(г ') Аг = ) — ехр — — с(А =2п~ г ~ г~ При различении равновероятных сигналов энергии Е со случайными, независимыми и равномерно распределенными в интервале ( — к; к) начальными фазами оптимальный алгоритм состоит в сравнении между собой статистик 2;, определяющих алгоритм обнаружения си~нала со случайной начальной фазой. Решение принимается в пользу того сигнала, для которого эта статистика окажется наибольшей. Для ансамбля М сигналов, ортогональных в усиленном смысле (при любых значениях начальных фаз) и образующих лля данной модели оптимальную совокупность сигналов, может быть записана оценка для вероятности ошибки р„„, < — ехр —— 12Е где д= ( —.
Посмотрим, как изменятся результаты, связанные с оценкой параметров сигнала, при наличии у сигнала случайной равномерно распределенной в интервале 1 — я; к] начальной фазы. Усредненная по у функция правдоподобия параметра Х В'(У(1)1Х) = с Уе ехР— где 2(Х) — модуль корреляционного интеграла, У(Х) = !~(Х)! (где 1г ~(Х) = — (у(~)Х*(б Х)юг ). 2о 141 Аналитические сигналы у(г) и з(б Л) соответствуют принятой реализации у(г) и сигналу з(г, Л) = Ке(э(г, Л)ехр(уаьг)] с комп- лексной огибающей 5(б Л). Соответственно МП оценка парамет- ра Л находится из условия шах !па†а для неэнергетического параметра Л = агатах Е(Л) в силу монотонного характера функции !п)0(х) при х > О.
В условиях высокоточных измерений (д» 1) элементы матрицы Фишера ,Ф ~2 (Л)1 'Вя -= — ~ — ~, а Е(Л) = ЕЧ'(Л„, Л), аЛ,аЛ„~ М„~' где Ч'(Л„, Л) — функция неопределенности сигнала со случайной начальной фазой по параметру Л, определяемая по формуле Ч'(Лв, Л) = — ~ Ю(б Л0)Ю" (1, Л)дг ! 2Е Для ФН стационарного типа, как это уже отмечалось ранее, Ч'(Л, Л„) = Ч'(Л вЂ” Л„) и при Л, = О Ч (Л,, Л) = Ч(Л) = — ~ Ю(!, О)Е*(б Л)йГ. (4.12) ! 2Е Для одного измеряемого параметра Л у сигнала со случайной начальной фазой дисперсия МП оценки (4.13) Применение этих формул к задаче оценивания конкретных параметров сигнала дает следующие результаты.
1. Оценка амплитуды А. Оценка амплитуды А сигнала з(г) = Аг0(г), где за(г) — сигнал, имеющий единичную энергию Е0 — — ! 4(г)д~ = 1. о г МП оценка А будет равна А = ~, где ~ = ()уЯгаЯ6а 0 142 Если Ео ~ 1, то А = —. Ео Дисперсия относительной ошибки (где А — фактическое А — А А 1 г 24Ео (истинное) значение амплитуды) равна, (где дг(А) = ). Ч'(А) )Уо 2.
Совместная оценка амплитуды А и фазы у. Совместная оценка амплитуды А и фазы у сигнала з(г) = А5(г)соя(огог+ у(г)+у), где 5(т), ого, т(г) — полностью известная огибающая, центральная частота и закон угловой модуляции соответственно. МП оценки А и ог соответственно: Я+ иг - ~г а(ап е~ -1 1'г г А = "; гр =агсгя — г+л' Ео т где ~, = ) У(!)ЯЕ)(,',„)(огог + у(г))Йт; Ео — энергия сигнала при едио ничной амплитуде. Второе слагаемое в выражении для ог обусловл я1 лено тем, что значения арктангенса лежат в пределах 2' 2~' тогда как интервал распределения фазы ! — л; я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
