Казаринов Ю.М. Радиотехнические системы. Под ред. Ю.М.Казаринова (2008) (1151786), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Описанный алгоритм носит название метода максимума правдоподобия (М П). Для задачи обнаружения все перечисленные критерии, включая критерий Неймана — Пирсона, для которого минимизируется вероятность пропуска сигнала р„, при условии р„, < р,,м решение принимается на основе сравнения с порогом („ отношения правдоподобия, т.е. Для упрощения алгоритма обе части неравенства могут быть преобразованы с помощью монотонной функции Х т.е.
(4.2) Наиболее часто в этой роли выступает логарифмическая функция. Для задачи оценивании параметра Х сигнала в(б Х), аддитивно взаимодействующего с помехой х(1) и образующего в результате наблюдаемое колебание у(г) = в(б ).) + х(1), выражение для среднего риска запишется в форме (4.3) где П(Х, Х) — функция потерь, характеризующая последствия отклонения параметра сигнала Х от сформированной на основе наблюдения у(!) и имеющейся априорной информации оценки Х; И'().) — априорная П В параметра Х (аналог априорных вероятно- 128 стей гипотез); И'(Х/Х) — условная ПВ оценки параметра Х, являющаяся аналогом условных вероятностей ошибок в формуле (4.
!). В соответствии с теоремой умножения плотностей вероятности И (~)И Р))) =И'())И'(~))~) и учитывая, что оценка Х формируется путем обработки принятого колебания у(г)„формулу (4.3) можно записать в виде П = )'И (Х)'()' Пр., ).) И Я у(г))а.1 аЛ, (4.4> где И'(Х) — безусловная ПВ оценки; И'()!у(г)) — условная ПВ параметра Х при наблюдаемой реализации у(г), называемая апостериорной П В параметра Х. Выражение в квадратных скобках называется условным (соответствующим колебанию у(!)) средним риском. Как видно из выражения (4.4), минимизация условного среднего риска для любой реализации у(г) обеспечит минимум П.
Поэтому оценки по критерию минимума среднего риска можно находить на основе минимизации по ). выражения й(у(г)) = (П()., )~) И ()! у(г))б).. (4.5) 2) П2(Х, Х) = Х-). — модульная функция потерь; 0,)Х вЂ” 1~ <с 3) П,(); Х) = „— прямоугольная функция потерь. ), )Х-Х() е Минимизация выражения (4.5) по Х при приведенных функциях гютерь дает следующие результаты: !) при квадратичной функции потерь оптимальная оценка аоот| соответствует математическому ожиданию апостериорной П В, т.
е. Х„,1 = ( ХИ'(Х!у(г))Ы; )29 Функция потерь, характеризующая последствия отклонения оценки Х от истинного значения параметра Х, обычно задается в виде одного из следующих трех выражении: !) П,(Х, Х) = ().— Х)' — квадратичная функция потерь; 2) при модульной функции потерь Х„,т соответствует медиане апостериорной плотности вероятности, т. е. находится из уравнения У И ()!у(!)) = ( И()!у(г))й).; 3) при прямоугольной функции потерь и е — > 0 Х -з соответ- ствует аргументу наибольшего значения И'(Х!у(г)) и называется оценкой по максимуму апостериорного распределения. Апостериорная П В И' (1!у(г)) может быть получена, если известна совместная ПВ (функционал ПВ) принимаемой реализации у(г) и параметра Х. В этом случае: И' (у(1), ) ) = И (у(г)) И' (Ц у(1)) = И'().)И: (у(!) !).); (4.6) И (Цу(г)) = ' И () )И (у(г)!).).
И'(у(1)) 1 Первый сомцожитель не зависит от Х и может быть И'(у(г)) найден, если это необходимо, с помощью условия нормировки ) И'(Х)у(!))с$Х = 1. Второй сомножитель И(Х) — априорная ПВ параметра Х вЂ” должен быть задан. Третий сомножитель, рассматриваемый как функционал от у(г), является условным функционалом ПВ принятой реализации при фиксированном значении параметра. Если у(г) зафиксировано (принято), то зависимость И'(у(г)!Х) от значения параметра Х есть ФП и характеризует степень правдоподобности тех или иных значений параметра Х при данной реализации уЯ.
На рис. 4.1 приведены графики сомножителей, входящих в формулу (4.6), и результат их перемножения— И'(Чу(т)) — для двух принятых реализаций у,(г) и у2(г). Из рис. 4.1 видно, что если априорное распределение И® (рис. 4.1, в) значительно шире, чем ФП, т.е. основная информация о значении параметра Х извлекается из результатов измерений, то вид апостериорной ПВ и положение ее максимума близки к форме ФП и положению ее максимума. Это делает оправданным 130 и(луу(г)) и'Ыт)/х) ~мпФ ~мп2 Рис.
4.1.Формирование функции правдоподобия: а — нормирующий сомножителю б — функция правдоподобия; в — апри- орное распределение; г — оценки по критерию максимума прандоподобия ориентацию на метод МП, при котором в качестве оценки Хмп выдается значение аргумента И" (у(()~Х), соответствующее макси- муму этой функции по ).. Таким образом, ) мп = агя п)ах И'(у(т) 1Х). Значения этих оценок для реализаций у,(г) и ут(г) приведены на рис. 4.1, б. Значения оценок Х~ и Хд, соответствующих критерию МАП, показаны на рис.
4.1, г. В случае помехи в виде нормального белого шума (НБШ) со спектральной плотностью моц(ности (СПМ) )тр/2 и аддитивным взаимодействием с сигналом функция правдоподобия имеет вид: для задачи проверки гипотез г г я~цгиа;)=й *р( — дно — ма) а); н7) )то о для задачи оценивания параметра Х и (ие/1)=г *р(- — 1)ие — е, и)'а). н.в) ))(о о В выражениях (4.7), (4.8) 10, Т1 — интервал наблюдения, охватывающий сигналы д,(т) или д(б д), ! = О, 1, ..., М вЂ” 1. Подставляя формулу (4.7) в формулу (4.2) с учетом того, что уо(О = 0; д(О = д((), получим после несложных преобразований 13! алгоритм обнаружения полностью известного сигнала з(1) на фоне НБШ с СПМ й/о/2: т л~ 1 у(1)т(1)й 1„— 1п /„+ о ~О т где Е = ) з'(1)д1 — энергия обнаруживаемого сигнала.
о При использовании критерия минимума среднего риска «П„ ; для критерия идеального наблюдателя П, = П, и (1 — я)П, ' —, а в случае использования критерия минимума суммы (1 — в) условных вероятностей ошибок р„и /1„о„ /„= 1, а 1и/„= 0 и порог, с которым сравнивается корреляционный интеграл ~ равен половине энергии ожидаемого сигнала. При использовании критерия Неймана — Пирсона пороговый уровень ~, выбирается по заданному уровню р„о.
Корреляционный интеграл ~„характеризующий степень близости принятой реализации у(1) и ожидаемого сигнала з(1), может быть сформирован как отсчет на выходе фильтра, согласованного с сигналом з(1), взятый в момент времени, соответствующий максимуму отношения сигнал/шум на выходе фильтра. Если этот момент соответствует окончанию интервала наблюдения (О, Т!, то импульсная характеристика такою фильтра басф(1) = з(Т вЂ” 1), а комплексный коэффициент передачи Ксо,(/тв) =с,У*(/оз)е ' ', где ср — коэффициент, обеспечивающий размерность (отсутствие размерности) Ксф(/оо) и по величине равный 1. Так как его величина не влияет на отношение сигнал/шум, то в дальнейшем он будет опущен. Сигнал на выходе СФ может быть записан с помощью интеграла Дюамеля / ~Вне(1) 1 ~(т)/1сФ(1 т)Ж = ~Б(т)Б(Т 1+ т)11т. о о Откуда видно, что если интервал наблюдения полностью охватывает ожидаемый сигнал, выходной сигнал СФ есть автокорреляционная функция ожидаемого сигнала, максимум которой т соответствует времени 1 = Т.
Этот максимум з,„„„= )' 1 (1)111 рао 132 вен энергии Еобнаруживаемого сигнала. Соответствие размерности обеспечивает не влияющий на величину отношения сигнал/ шум коэффициент с„. Корреляционная функция помехи на выходе СФ К,х(т) = — )а — !К ~(/оэ)! еэ доэ= — — Р(/оэ)! е' йо. 1 тх/о . э,, 1 это - э 2я 2 2я 2 Так как в соответствии с обобщенным равенством Парсеваля н свойствами преобразования Фурье ! " , э ! 2я — )а !з(/оэ)/' е' о)оэ = — )а Х(/оэ)Х в (/оэ)е'"'алоэ = )а з(!)з(! — т)дб то К „(т) = — К,(т), где К,(т) — автокорреляцнонная функция ахо сигнала з(г), с которым согласован фильтр. Дисперсия помехи на выходе СФ Р((/,в„„„эг= Квых(0) = —. /э/,э Е Звых ваах Максимально достижимое отношение сигнал/щум а) = '() х(/» выхЭ Если сигнал, подаваемый на неремножитель в корреляторе, отличается от з(!) или импульсная характеристика фильтра отличается от ~Т вЂ” !), но момент взятия отсчета на выходе фильтра по-прежнему г = Т, то возникают потери в отношении сигнал/ шум, которые можно оценить следующим образом.
т Дла коРРелЯционного интегРала го = ~У(т)з,„(г)с10 з„(!) ~ хЯ, о отношение сигнал/шум 9, можно записать как а)о = . При у Л т этом 4 =)зЯя ЯМ, а Р(ео)= "'. Тогда, умножив числи- НоЕ: о 2 12Е тель и знаменатель до на аэ = ~ —, можем записать а)о = тт.. в. где ахо 133 т ) з(г)э,„(г)ог г,„= ' — коэффициент корреляции ожидаемого ,/КК„ сигнала э(г) и опорного колебания з (г).
Таким образом, величина потерь ~уе/д определяется коэффициентом взаимной корреляции г,, Качественными показателями обнаружителей и различителей сигналов называют значения условных вероятностей ошибок (вероятности ложной тревоги р„и вероятности пропуска сигнала р„, при обнаружении сигнала, вероятности перепутывания сигналов д„для задачи различения сигналов). Зная эти вероятности, можно вычислить значения целевой функции для любого из рассмотренных выше критериев (средний риск, сумма условных вероятностей ошибок). Для задачи обнаружения полностью известного сигнала з(г) на фоне НБШ с СПМ Фе/2: р,, = 1 — Ф(Ь); р„, = Ф(л — д), где Ф(х) = — )' е ')Чг — интеграл вероятностей; л — порог, /2л нормированный относительно среднего квадратического отклонения (СКО) шума; д — параметр обнаружения, численно равный отношению сигнал/шум на выходе СФ.
Величина порогового уровня и отношения сигнал/шум соответственно равны: МОЕ 2Е Если обнаруживаемый сигнал представляет собой группу (пач- В-! ку) импульсов вида з(г) = ~~~ э;(г), то это должно учитываться как в структуре обнаружителя (фильтр должен быть согласован с группой), так и при расчете качественных показателей. При этом под Если сигналы, входящие в группу, взаимноортогональны, т.е. для любой пары сигналов э,(г) и э,(г) выполняется соотношение !34 т ) э;(г)х,(г)йг = О, (~ (, то энергия группы сигналов равна сумме о энергий сигналов, входяших в группу. В частности, для Л' взаимноортогональных сигналов одинаковой энергии Ео Е = АгЕ„или д = де~/Н, что позволяет определить требуемое число сигналов при заданных до, р„и р„,: Ф '(1 — р„,) — Ф '(р„,) тм Чо где Ф'!.) — функция, обратная интегралу вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
