Диссертация (1150810), страница 9
Текст из файла (страница 9)
, 0 ). Далее для каждой частицы из популяции по её типу ивремени рождения 0 определяется совокупность частиц , в которую она перейдёт после гибели, по распределению { (0 )} . Предполагается, что всечастицы из рождаются в один момент времени, который задаётся плотностью распределения (0 , 1 ). Если частица погибает без рождения потомков,то рассматривать время их рождения не имеет смысла, поэтому плотности(0,...,0)(, ) не используются, так же, как и плотности (, ) для таких , и , при которых () ≡ 0.В дальнейшем будем считать, что вероятности () определены на [0, ∞),а плотности (, ) определены на [0, ∞)2 для всех = 1, .
. . , и . Будемтакже предполагать, что количество () тождественно не равных нулю конечно.Траекторию ветвящегося процесса удобно представлять в виде ориентированного графа, а точнее сказать дерева, в котором вершинами являютсячастицы, а направленные ребра обозначают процесс превращения старой частицы в совокупность новых. Чтобы однозначно определить траекторию ветвящегося процесса, необходимо особым образом пронумеровать/обозначитьвершины дерева, соответствующего этой траектории.Приведем такие обозначения. Начальная частица типа будет обозначаться 1 , её -ый потомок типа 1 будет обозначаться (1 1 ), и в общемслучае обозначение(1 11 . . . )66будет соответствовать -ому потомку типа ...
1 -ого потомка типа 1 начальной частицы типа . У каждой частицы из дерева помимо её номераесть также и время её рождения. Для частицы с номером (1 11 . . . ) время её рождения будем обозначать 1 1 ... . Состояние, в которое перейдет1частица(1 11. . . ),будем обозначать (1 11 . .
. ).Проиллюстрируем такой подход к нумерации вершин на конкретном примере дерева, в котором два типа вершин: первый соответствует белым вершинам, а второй - серым (рисунок 2.1).Имея такую нумерацию вершин, можно представить дерево в виде последовательности((1 ), 1 ; (1 11 ), 1 11 ; (1 21 ), 1 21 ; . . . ).Множество всевозможных последовательностей такого вида и составляет Ω .Индекс здесь свидетельствует о том, с какого момента времени начинаютсятраектории.Для каждого дерева ∈ Ω определим последовательность множеств0 (), 1 (), 2 (), .
. . , называемых поколениями. Нулевое поколение 0 () состоит из одного элемента – корневой вершины дерева 1 . Поколение () со−1стоит из последовательностей (1 11 . . . ) таких, что (1 11 . . . −1) ∈ −1 ()−1и ≤ (1 11 . . . −1).Дерево на рисунке 2.1 имеет три поколения: 0 ()1 ()={11 11 , 11 12 },={11 },2 () = {11 11 11 , 11 11 21 , 11 12 , 11 12 12 , 11 12 22 },3 () = {11 12 , 12 11 }.Из определения поколений следует, что если () пусто для некоторого , то все поколения с индексом больше также будут пустыми. Объединениепоколений ∪∞=1 () будем называть семьей и обозначать (). В общем случае () может быть и бесконечной, это означает, что дерево никогда необорвётся, то есть в каждом поколение (), = 1, 2, .
. . найдётся хотя бы67Времяtt0Рис. 2.1. Нумерация вершин дереваодин элемент.Рассмотрим множества Ω ⊂ Ω , состоящие из деревьев, имеющих ровно поколений.Ω = { ∈ Ω | () ̸= ∅ & +1 () = ∅},Вместе с тем введем множество Ω∞ ⊂ Ω , состоящее из деревьев с бесконеч∞ным количеством поколений. Объединение множеств ∪∞=1 Ω ∪ Ω даёт всёмножество Ω .В качестве -алгебры ℱ возьмем минимальную -алгебру, содержащуюподмножества Ω , = 1, 2, . . .
и Ω∞ .Введем вероятностную меру на ℱ . Сначала рассмотрим деревья ∈ Ω .68Такие траектории распределены следующим образом0 () (, )( )( )1 1 (1 )1 1 (1 , 1 ) · · ·∏︁1 ∈1 ()(0,...,0)∏︁( ).(2.15) ∈ ()Если теперь провести суммирование по всем деревьям с конечным числом поколений и всем возможным (), , то получится выражение∞ ∑︁∑︁ 0=0 0 =1Z ∑︁01∏︁ Z ∑︁0 ()0 (, )(1 )1(1 )(1 )1(1 , 1 ) . .
.(2.16)1 ∈1 () 0 (1 )∏︁···(0,...,0)( )−1 . . . 1 ∈ ()или же, если записать это в виде скалярного произведения,( 0 , ()),() = (1 (), . . . , ()),где компоненты вектора () имеют вид∞ Z ∑︁∑︁ () ==0 0 () (, ) 1∏︁ Z ∑︁(1 )1(1 )(1 )1(1 , 1 ) . . .1 ∈1 () 0 (1 )···∏︁(0,...,0)( )−1 . . . 1 . ∈ ()Если показать, что сумма ряда (2.16) равна единице, то почти все деревьябудут конечными, а это наиболее интересный случай с практической точкизрения.Рассмотрим вектор частичных сумм рядов из () до равного и обозначим его за (, ).
Как нетрудно видеть(0,...,0)(, 0) = (1(), . . . , (0,...,0) ()).(2.17)Покажем, что (, + 1) и (, ) связаны соотношением(, + 1) =Z ∑︁0 () (, ) (, ), = 0, 1, . . . .(2.18)69Для равного нулю это показывается довольно просто (, 1) =Z ∑︁ () (, )0 Z∑︁=0∏︁(0,...,0) 1(1 ) =1 ∈1 () () (, ) ∏︁∏︁(0,...,0)1( ) =1 =1 =1=Z ∑︁0 () (, ) (, 0).Случай произвольного требует дополнительных соображений. В данном случае полезно отметить тот факт, что для дерева ∈ Ω с количествомпоколений + 1, у которого 1 () ̸= ∅, все частицы первого поколения рождаются в некоторый момент и являются в свою очередь корневыми вершинамидеревьев из Ω с количеством поколений, не превосходящим (рисунок 2.2).Воспользуемся этим для доказательства (2.18).ВремяtРис.
2.2. Первое поколение70+1 Z ∑︁∑︁ (, + 1) = () (, )=1 0 1∏︁ Z ∑︁(1 )1(1 )(1 )1(1 , 1 ) . . .1 ∈1 () 0 (1 )(0,...,0)∏︁···( )−1 . . . 1 = ∈ ()=Z ∑︁01 Z ∏︁∏︁∑︁ ∑︁ () (, )(1 )1(1 )(1 )1(1 , 1 ) . . .1 =1 =1 =1 (1 )0(0,...,0)∏︁···( )−1 . . . 1 = ∈ ()=Z ∑︁0 () (, ) (, ).Таким образом (2.18) доказано. Нетрудно видеть, что (2.18) являются простыми итерациями для системы интегральных уравнений () =Z ∑︁0 () (, ) ( ), = 1, .
. . , (2.19)с начальным условием (0 ) = (1, . . . , 1).Если взять () ≡ 1, = 1, . . . , , то они в силу свойств вероятностей и плотностей (, ) будут удовлетворять системе уравнений (2.19)и являться его единственным решением. Следовательно, если итерации (2.18)сходятся при некотором ≥ 0 , то сходятся они к единственному решению системы уравнений (2.19).
В этом случае вектор-функция () ≡ (1, . . . , 1),откуда следует, что сумма (2.16) будет равна единице и почти все траекторииконечны.Далее будем предполагать, что для рассматриваемых вероятности ()и плотности (, ) выбраны таким образом, что итерационный процесс (2.18),начинающийся с (2.17), сходится к (1, . . .
, 1).71Вернемся к поиску решения системы уравнений (2.6) и рассмотрим связанные с ней итерации (, + 1) =Z ∑︁ (, ) (, ) + 0 (), = 1, . . . , , = 0, 1, . . . , (2.20)0начинающиеся с (, 0) ≡ 0 .Наряду с (2.20) будем рассматривать мажорантный итерационный процесс (, + 1) =Z ∑︁0| (, )| (, ) + |0 ()|, = 1, . .
. , , = 0, 1, . . . ,(2.21)начинающиеся с (, 0) ≡ |0 |.Существует такое ′ , что для любого 0 ≤ ≤ ′ итерации (2.21) сходятся,а вместе с ними сходится итерационный процесс (2.20), при этом сходится онк решению системы (2.6). Далее будем предполагать, что 0 ≤ ≤ ′ .На деревьях ∈ Ω построим оценку метода Монте-Карло решения системы (2.6). Оценка по поглощению для траектории ∈ Ω будет иметь вид( )∏︁ (0,...,0)∏︁( )1 1 (1 , 1 )ℎ (, ) () = .···(1 )(1 )(0,...,0)0 () (, )()(,)()1111 ∈ () 1 ∈1 () 1(2.22)Теперь может быть сформулированаТеорема 10.Пусть выполнены условия согласования∙ 0 > 0 для тех , для которых ℎ ̸= 0, = 1, . .
. , ;∙ () > 0 для тех , для которыхR0 (, ) ̸= 0, для всех и = 1, . . . , ;∙ (, ) > 0 для тех , , для которых (, ) ̸= 0, для всех и =1, . . . , ;72и сходится мажорантный процесс (2.21), тогда (2.22) является несмещенной оценкой скалярного произведения ( 0 , * ()), где * () – решение уравнения (2.6).Доказательство. Выражение для E () имеет видE () = ∑︁ ∑︁∑︁=1··· 1∑︁ Z ZZ−1 ()()−1 . . .
....(−1 ) 0 00Знаменатель в () есть не что иное, как (), поэтому условия согласования дают возможность выполнить сокращение. Сходимость же мажорантного процесса позволяет делать перестановки знаков сумм и интегрирования.После преобразований получим следующееE () =∞ ∑︁∑︁ 0=1 0 =1Z ∑︁0···0 (, )(1 ) 1(1 , 1 ) . . .1 ∈1 () 0 (1 )(0,...,0)∏︁ 1∏︁ Z ∑︁( )−1 . .
. 1 = ( 0 , * ()), ∈ ()и теорема доказана.Выражение для второго момента оценки (2.22) имеет следующий видE( ())2 =(︂)︂ℎ(), () ,0где операция деления вектора на вектор выполняется поэлементно, а () –итерационное решение системы уравнений () =Z ∑︁0( (, ))2 ( ), = 1, . . . , , ( ) (, )(2.23)которое, вообще говоря, может и не существовать. Дисперсия оценки (2.22)при условии конечности второго момента имеет вид(︂D () =)︂ℎ(), () − ( 0 , * ())2 .073Таким образом оценка (2.22) может быть использована для таких > 0 ,при которых сходится мажорантный итерационный процесс (2.21) и сходитсяитерационный процесс, связанный с уравнением (2.23).
Предположим, удалось найти некоторое ′ , такое что указанные итерационные процессы сходятся для 0 ≤ ≤ ′ , а следовательно применима предложенная оценка методаМонте-Карло.Возникает вопрос - как же найти решение (2.6) для > ′ ? В этом случае предлагается использовать схему с запоминанием. На первом этапе припомощи метода Монте-Карло находится ˜ – оценка (′ ), а затем система(2.1) решается с новым начальным условием (′ ) = ˜. Далее процедура повторяется. При таком подходе каждая новая система уравнений решается сначальными условиями, содержащими случайную ошибку, а это означает, чтоесть риск столкнуться с явлением стохастической неустойчивости алгоритмаметода Монте-Карло.В дальнейших рассуждениях будем считать, что исходная система дифференциальных уравнений (2.1) заменена системой интегральных уравнений(2.3).
Пусть решение задачи ищется в моменты времени , = 0, 1, . . . такие,что0 < 1 < 2 . . . .Точное решение задачи обозначим за * (). Для него выполненоZ* () = (, * ( )) + * (0 ),(2.24)0где * (0 ) – заданное начальное значение.Последовательный метод Монте-Карло предполагает в данной ситуации,что по известной оценке решения в момент времени −1 , начиная с = 1,ищется оценка решения в момент времени , после чего увеличиваетсяна единицу и процедура повторяется.
Такой процесс в предположении, что74при каждом находится точное решение, соответствует последовательномурешению интегральных уравнений видаZ( ) = (, ( )) + (−1 ), = 1, 2, . . . ,(2.25)−1где (0 ) = * (0 ). Легко убедиться в том, что * () удовлетворяет уравнениям(2.25).В действительности же из-за вычислительных ошибок будут решатьсясистемыZ ( ) = (, ( )) + ˜−1 (−1 ), = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
