Диссертация (1150810), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В этом случае будем считать,что тем или иным способом исходная система (2.1) преобразуется к системеинтегральных уравнений видаZ () =(0,...,0)∑︁ (, )1 1 ( ) . . . ( ) + (), = 1, . . . , , (2.6)0 =(1 ,..., )где { = (1 , . . . , )} – векторы с целочисленными неотрицательными ком­понентами, для которых выполнено неравенство∑︁ ≤ .=1Далее, как и в случае с системами уравнений из первой главы, иногдабудет использоваться следующее сокращенное обозначение = 1 1 .

. . .для векторов = (1 , 2 , . . . , ) и = (1 , . . . , ). В таких обозначенияхсистему (2.6) можно записать в виде () =Z ∑︁(0,...,0) (, ) ( ) + (), = 1, . . . , .0Будем считать, что свободные члены 0 из уравнения (2.3) и () 0 из уравне­(0,...,0)ния (2.5) входят в (), который для краткости будем обозначать 0 ().592.1. Частные случаиНачнем рассмотрение с частного случая системы (2.6) - c линейного ин­тегрального уравненияZ() =(, )( ) + (),(2.7)0Применение метода Монте-Карло для решения интегрального уравнения вто­рого рода подробно описано в [4, 35]. Используем указанную методику длярешения уравнения (2.7).Отличительной особенностью уравнения (2.7) является наличие перемен­ного верхнего предела в интеграле. Эта особенность влияет на свойства цепиМаркова, используемой для оценки решения уравнения.Пусть () – решение уравнения (2.7), удовлетворяющее начальному усло­вию (0 ) = 0 .

Далее уравнению (2.7) сопоставляется цепь Маркова с множе­ством состояний [0 , ]. Цепь задаётся плотностью начального распределения0 () и плотностью перехода из состояния в состояние : (, ). Относи­тельно плотности (, ) предполагается, что она субстохастична при любом ∈ [0 , ∞)Z(, ) = 1 − (), 0 ≤ () < 1,(2.8)0где () – вероятность поглощения (обрыва траектории). На траекториях цепиМаркова = 0 → 1 → · · · → вводится функционал ( ) =ℎ(0 )(0 , 1 ) .

. . (−1 , )( ).0 (0 )(0 , 1 ) . . . (−1 , )( )(2.9)Как было показано в [4] для того, чтобы оценка (2.9) была несмещеннойоценкой функционала (, ℎ) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд0∞ Z Z∑︁=0 0 0Z−1|ℎ(0 )(0 , 1 ) . . . (−1 , )( )| . . . 0...0(2.10)60и выполнялись условия согласования:∙ 0 () > 0 для тех , для которых ℎ() ̸= 0,∙ (, ) > 0 для тех (, ), для которых (, ) ̸= 0,∙ () > 0 для тех , для которых () ̸= 0.Доказательство теоремы существования (см., например, [36]) решенияуравнения (2.1) носит конструктивный характер, решение ищется при помо­щи метода последовательных приближений. В ходе доказательства находятсятакие положительные константы и , что ряд0∞ Z Z∑︁Z−1|(0 , 1 ) . .

. (−1 , )( )| . . . 0...=0 0 00сходится при условии | − 0 | < и |() − 0 | < . Отсюда следует также исходимость ряда (2.10).Наличие переменного верхнего предела и субстохастической плотности(, ) означает, что последовательность моделируемых состояний в цепи Мар­кова будет не возрастать.Следующим по сложности случаем системы (2.6) – система линейныхинтегральных уравнений⎧∑︀ R⎪⎪()=⎪=1 0 1, (, ) ( ) + 1 (),⎨ 1...⎪⎪⎪⎩ () = ∑︀ R , (, ) ( ) + ().=1(2.11)0или в векторной форме∞Z() =(, )( ) + (),0где (, ) – матрица × .(2.12)61В этом случае предлагается рассматривать векторную марковскую цепьвида⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞10 = ⎝ ⎠ → ⎝ ⎠ → · · · → ⎝ ⎠10с множеством состояний {1, . .

. , } × [0 , ). Предполагается, что для первойкомпонентывекторазаданыплотностьначальногораспределения 0 = (10 , 20 , . . . , 0 ) и матрица переходных вероятностей () = ‖, ()‖,=1 ,которая является субстохастической для любого ∈ [0 , ∞)∑︁, () = 1 − (), 0 ≤ () < 1, = 1, . . . , ,=1где () = (1 (), . . . , ()) – вероятности поглощения (обрыва траектории).Длявторойкомпонентызаданаматрицапереходныхплотностей(, ) = ‖, (, )‖,=1 , таких что для ∈ [0 , ∞)Z, (, ) = 1, , = 1, . . . , ,0а 0 всегда равен .Моделирование такой цепи осуществляется следующим образом:Шаг 0. Инициализация. k:=0;Шаг 1.

Моделируется плотность 0 . Вычисляется 0 ;Шаг 2. По неравенству < ( ), где – равномерно распределенная наотрезке [0, 1] случайная величина, проверяется является ли состояние( , ) поглощающим. В случае выполнения неравенства траектория об­рывается, и моделирование заканчивается. Иначе выполняется переходк шагу 3;62Шаг 3.

Моделируется распределение ( ,1 ( ), . . . , , ( )). Вычисляется +1 .Моделируется плотность ,+1 (, ). Вычисляется , заменяется на + 1 и выполняется переход к шагу 2.Плотность распределения такой траектории есть00 0 ,1 ()0 ,1 (0 , 1 ) . . . −1 , (−1 )−1 , (−1 , ) ( ).На траекториях цепи Маркова вводится функционал ( ) =ℎ(0 )0 ,1 (0 , 1 ) . . . −1 , (−1 , ) ( ).00 0 ,1 ()0 ,1 (0 , 1 ) .

. . −1 , (−1 )−1 , (−1 , ) ( )(2.13)Вычислим математическое ожидание ( ):E ( ) =∞ ∑︁∑︁=1 0 =1 Z∑︁Z−1··· =1 0...ℎ0 (0 )0 ,1 (0 , 1 ) . . .0. . . −1 , (−1 , ) ( ) . . . 1 =∑︁(ℎ0 , 0 )0 =1Условия согласования в этом случае примут вид∙ 0 > 0 для тех , для которых ℎ ̸= 0;∙ , () > 0 для тех , , , для которыхR0, (, ) ̸= 0;∙ , (, ) > 0 для тех (, ), для которых , (, ) ̸= 0, , = 1, .

. . , ;∙ () > 0 для тех , для которых () ̸= 0, = 1, . . . , .Выражение для второго момента (2.13), полезное для многих целей, мо­жет быть получено путем прямых выкладок.E 2 ( ) =Z∞∑︁∑︁=1 0 ,..., =1 Z−1...0...0ℎ2 (0 ) 2 (0 , 1 ) . . . 2 (−1 , )2 ( ) . . . 100 0 ,1 ()0 ,1 (0 , 1 ) . . . −1 , (−1 )−1 , (−1 , ) ( )(2.14)63В предположении, что указанный ряд сходится, выражение для дисперсиибудет иметь вид(︂D ( ) =)︂ℎ2, () − (ℎ, ())2 ,0где () = (1 (), . . .

, ()) – итерационное решение системы уравнений∞Z() =2 () 2 (, )( ) +,()(, )()0умножение и деление матрицы на матрицу и вектора на вектор выполняютсяздесь поэлементно.Как видим, переход от одного линейного интегрального уравнения к си­стеме линейных интегральных уравнений хоть и усложнил схему, но не зна­чительно. Иначе дело обстоит с общим случаем.2.2.

Случай полиномиальной нелинейностиИтак, теперь приступим к рассмотрению общего случая системы урав­нений (2.6). При решении линейных систем интегральных уравнений оценкиметода Монте-Карло строились на линейных траекториях цепи Маркова. Вслучае же с системами вида (2.6) оценки строятся на ветвящихся траекто­риях. При этом процесс, порождающий такие траектории, удобно интерпре­тировать как процесс эволюции популяции частиц.

Изначально в популяцииимеется одна частица, продолжительность жизни такой частицы являетсяслучайной величиной. В конце жизни каждая частица производит случай­ное количество потомков. Качественный и количественный состав потомковопределяется рассматриваемой системой уравнений.Подробно опишем связь между системой (2.6) и процессом рождения/­гибели частиц. Пусть имеется типов частиц1 , 2 , . .

. , ,64каждая из которых связана с определенным уравнением системы (2.6) – ча­стица -ого типа связана с -ым уравнением. Если в популяции есть частица-ого типа, то её потомки и время жизни определяются членами -ого уравне­ния. Член уравнения видаZ (, )1 1 . . . 0предполагает рождение 1 частиц первого типа, 2 частиц второго типа итак далее вплоть до частиц -ого типа. Так, например, свободный член(все равны нулю) подразумевает гибель частицы без рождения потомков.Конкретный же член -ого уравнения, определяющий дальнейший сценарий,выбирается случайным образом, так или иначе согласованным с коэффици­ентами (, ).Подобные ветвящиеся процессы описываются, например, в [29] и [37].Отличительной особенностью рассматриваемого ветвящегося процесса будетто, что время имеет обратный ход. Другими словами, частица, родившаяся вмомент времени > 0 , погибнет в момент времени из промежутка [, 0 ].Обозначим за () вероятность того, что частица типа , родившаясяв момент времени , после гибели превратится в совокупность частиц = (1 , .

. . , ). Предполагается, что для вероятностей () выполненоусловие нормировки для каждого > 0∑︁ () = 1, = 1, . . . , .Плотность распределения времени гибели частицы типа , родившейся вмомент времени и превращающуюся после гибели в совокупность частиц ,обозначим за (, ). Для плотностей (, ) предполагается выполнениеZ (, ) = 1, = 1, . . . , 065при любом .Если решение системы (2.6) или некоторый функционал от него ищется вмомент времени > 0 , то пространство элементарных событий Ω состоит изветвящихся траекторий следующего вида. В момент в популяции единствен­ная частица типа 0 , где 0 является случайной величиной с распределением 0 = (10 , . . .

Характеристики

Список файлов диссертации