Диссертация (1150810), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Из­вестно, что в общем случае цена опциона зависит от цены исполнения, величи­ны базового актива, волатильности, выплачиваемых дивидендов, процентнойставки и момента исполнения. Таким образом для корректной оценки опци­она необходимо учитывать все эти факторы. Более того, для Американскихопционов стоит также рассматривать возможность досрочного исполнения.Это часто приводит к очень сложным вычислениям и редко удается найтианалитическое решение.Когда не удается решить задачу аналитически, оправдано использованиечисленных методов. Одним из известнейших численных методов для нахож­дения цены опциона является биномиальный метод (см., например, [47]).

Несмотря на то, что в биномиальной модели можно реализовать возможностьдосрочного исполнения, вычисления становятся невероятно трудоемкими приросте количества стохастических параметров. Проблема в том, что количе­ство узлов, необходимых для вычислений, растет экспоненциально, если мыхотим учитывать в модели такие стохастические параметры как процентнаяставка, дивиденды, волатильность или сложный базовый актив.Альтернативный подход – использование дифференциальных уравнений:стохастических или в частных производных. Недостатком стохастическихдифференциальных уравнений является тот факт, что с ростом по временирастет дисперсия решения. Этого недостатка лишены решения уравнений вчастных производных.

При численном решении таких уравнений используют96методы, который сводят исходное уравнение к системе алгебраических урав­нений, при этом происходит дискретизация области определения. Заметим,что при увеличении количества параметров, от которых зависит цена опци­она, растет размерность системы, что приводит к большой трудоемкости вслучае использования детерминированных методов.

В данном ситуации ста­новится оправданным использование метода Монте-Карло. Стоит отметитьтакже, что коэффициенты в уравнении могут носить случайный характер, адля решения таких задач особенно эффективным является метод Монте-Кар­ло, который к тому же обладает свойствами параллелизма.3.1. Основы опционовОпцион – это ценная бумага, предоставляющая своему владельцу правокупить или продать некоторый базовый актив в установленный период илимомент времени на заранее оговариваемых условиях. Они являются, такимобразом, производной ценной бумагой, поскольку их стоимость зависит отстоимости базового актива. В роли базового актива могут выступать акции,индексы акций, опционы, иностранная валюта, закладные и.т.п.Существует два основных типа опционов: колл (Call option) и пут (Putoption).

Опцион колл дает своему владельцу право купить определенное коли­чество базового актива по заранее фиксированной цене исполнения или ценепокупки. Опцион пут дает его держателю право продать определенное ко­личество базового актива по фиксированной цене продажи. Тот, кто продаетили выписывает опцион, называется продавцом или выписывающей стороной.Чтобы приобрести опцион, его будущий владелец платит выписывающей сто­роне премию. Когда исполняется опцион колл, его владелец платит продавцу,скажем цену исполнения в обмен на акцию, и опцион прекращает свое суще­ствование. В случае опциона пут, его владелец получает от выписывающей97стороны цену исполнения в обмен на акцию.Различают также Американские и Европейские опционы. Они отлича­ются лишь способом исполнения. Американский опцион можно исполнить влюбой момент до окончания его срока действия, в то время как Европейский– лишь в момент его окончания.Для определенности будем предполагать, что речь идет об опционах,построенных на акциях, стоимость которых обозначим = ().

Также будемполагать, что период существования опциона есть временной интервал [0, ].Рассмотрим теперь, для примера, опцион-колл Европейского типа со вре­менем исполнения . Такой опцион характеризуется фиксированной в моментего покупки ценой (цена исполнения), по которой покупатель может ку­пить акции, фактическая стоимость которых ( ) в момент может, и су­щественным образом, отличаться от .Если ( ) > , то эта ситуация окажется благоприятной для покупате­ля, поскольку ему по условиям контракта дано право купить акции по цене , что он может и сделать с немедленной затем их продажей по рыночнойцене ( ).

Доход от этой операции составит ( ) − .Если же окажется, что ( ) < , то данное покупателю право покупкипо цене ему ничего не дает, поскольку он может купить акции по болеенизкой цене ( ).Таким образом доход покупателя в момент составит max(( ) − , 0).Разумеется, за покупку такого финансового инструмента надо заплатить неко­торую премию . Таким образом чистый доход покупателя опциона-колл бу­дет равен max(( ) − , 0) − . Соответственно доход продавца – − max(( ) − , 0).В данном случае ключевыми являются два вопроса – какова “справед­ливая” цена продажи-покупки опциона и как должен действовать прода­вец опциона, чтобы выполнить условия контракта.

Нас будет интересовать98первый вопрос, то есть как определить “справедливую” цену , которая быустроила и продавца, и покупателя.На практике большинство торгуемых опционов являются опционами Аме­риканского типа, которые дают больше свободы покупателю, допуская вы­бор момента исполнения. В случае же Европейских опционов этот моментзаранее определен. В случае Американских опционов наряду с вопросом о“справедливой” цене возникает вопрос выбора момента исполнения. Напри­мер, если для Американского опциона-колл в момент времени < доходmax(( ) − , 0) − окажется больше 0, как лучше поступить: предъявитьопцион к исполнению или же ждать дальнейшего роста .3.2.

Модель Блэка-ШоулсаОценка стоимости опционов является важной задачей финансовой мате­матики, и решению этой проблемы посвящено много работ (см., например,[48]). Среди них важную роль играет модель Блэка-Шоулса оценки стоимостиопциона. Блэк и Шоулс показали (см. [49]), что цена опциона удовлетворяетследующему уравнению в частных производных 2 2 2 ++− = 0,2 2где∙ – время,∙ – цена акции,∙ = (, ) – цена опциона,∙ – постоянная волотильность,∙ – безрисковая ставка.99Это уравнение справедливо при следующих предположениях:∙ Разрешена короткая продажа акций;∙ Торговля ценными бумагами (базовым активом) ведется непрерывно;∙ Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акцииили опциона;∙ Краткосрочная безрисковая процентная ставка r известна и являетсяпостоянной в течение всего срока действия опциона;∙ Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосроч­ной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.Начальные и граничные условия для этого уравнения зависят от типа опци­она.3.3.

Метод подвижной границыЕвропейский опцион, как известно, может быть исполнен лишь в моментокончания его срока действия, в то время как Американский опцион можетбыть исполнен в любой момент до окончания его срока. Пусть = (, ) –цена Американского опциона-пут в момент времени . Тогда P удовлетворяетследующему уравнению2 2 2++− = 0, > (), 0 ≤ < .2 2(3.1)Здесь () – подвижная граница. Смысл () следующий: если цена ак­ции () опустится ниже (), то необходимо предъявить опцион к исполне­нию. Однако проблема в том, что () не известна заранее.

Предполагается,что дивиденды не выплачивают на протяжении существования опциона.100Для уравнения (3.1) необходимо задать начальные и граничные условия.В момент окончания срока действия опциона условия следующие: (, ) = max( − , 0), ≥ 0,где – цена исполнения опциона.Если цену акции устремить к бесконечности, то рано или поздно станет больше , и чем больше будет разница − , тем меньше будетстоить опцион. Таким образом условие на бесконечности:lim (, ) = 0,→∞0 ≤ ≤ .Так как после пересечения границы () опцион исполняется, то условияна подвижной границе выглядят следующим образом ((), ) = − (),((), ) = −1.Также определим подвижную границу в момент окончания срока действияопциона:( ) = .И наконец, цена опциона в области 0 ≤ < (): (, ) = max( − , 0).Получившаяся задача весьма специфична в силу своих граничных усло­вий.

Один из подходов к решению этой задачи – это замена переменных (см.,например, [50, 51]), которая приведет к задаче с фиксированной областьюопределения. При этом возникнет другая трудность – исходное уравнениестановится нелинейным.Сделаем замену переменных=()101и(, ) = (, ) = ((), ).Получим ∈ [1, +∞) для ∈ [(), ∞). Нашей целью является получениеуравнений для (, ) при ≥ 1, 0 ≤ ≤ .Частные производные будут иметь следующий вид 1=+=, ()(3.2) ′ () =+=−+ , 2 () (3.3) 2= 2(︂ 1 ())︂=(︂ 1 2 ())︂1 2= 2.

() 2(3.4)Подставив выражения (3.2)-(3.4) в исходное уравнение (3.1), получим[︂]︂ ′ () 2 2 2 + −+− = 0, 1 < < ∞, 0 ≤ < . (3.5)2 2() Граничные условия приобретут вид:(, ) = 0, ≥ 1,lim (, ) = 0,→∞(1, ) = −(),(3.6)(1, ) = − (),( ) = .Заметим, что теперь в уравнении две неизвестных: цена опциона играница (), а само уравнение стало нелинейным.

Решив задачу (3.5)-(3.6)относительно и , можно будет вычислить цену Американского опционаследующим образом:102 (, ) =⎧⎪⎨(/(), ), при /() ≥ 1;при 0 ≤ /() < 1.⎪⎩ − ,Для численного решения рассмотренных задач (3.5)-(3.6) могут быть ис­пользованы различные методы, их обзор можно найти в [34, 48]. В настоящейработе будет использован метод конечных разностей.Для решения задачи (3.5)-(3.6) методом конечных разностей на области1 ≤ < ∞, 0 ≤ ≤ введем сетку с шагом ∆ по и ∆ по . Такую что∆ =∞,∆ =, = 1 + ∆, = 0, ..., , = ∆, = 0, ..., .Для численного решения задачи было введено большое число ∞ , для кото­рого выполнено условие (∞ , ) = 0.

Введем обозначения , = ( , ) и = ( ). Для уравнения (3.5) получим неявную разностную схему:[︂]︂+1 − +1, − −1,,+1 − , 2 2 −1, − 2, + +1,++ −−∆2(∆)2 ∆2∆− , = 0, = 1, ..., − 1, = 0, ..., − 1.(3.7)Со следующими граничными условиями, = 0, = 0, . . . , ,, = 0, = 0, . . . , − 1,1, − 0,= − , = 0, . . . , − 1,∆0, = − , = 0, . . . , − 1, = .Получилась система нелинейных алгебраических уравнений. Можно записатьэту систему в более компактном виде, удобном для применения метода Нью­103тона. Для каждого шага по времени = − 1, .

. . , 0 представим систему(3.7) в виде: () = 0, = (0, , ..., −1, , ) .Итерационный процесс метода Ньютона для данного уравнения будет выгля­деть так+1 = − −1 ( ) ( ), ≥ 0,где – якобиан , имеющий следующую структуру⎞⎛00 ...01 ⎟⎜ 1⎟⎜⎜−1/∆ 1/∆ 0 . . .01 ⎟⎟⎜⎟⎜⎜ 111 . . .01 ⎟⎟, =⎜⎟⎜⎜ 02 2 2...2 ⎟⎟⎜⎜ ........

Характеристики

Список файлов диссертации