Диссертация (1150810), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

⎟⎟⎜ .⎠⎝0...0 −1 −1 −1где(︂)︂2 2+1 − =−−,2(∆)2 2(∆) ∆2 21−− , = −∆ (∆)2(︂)︂2 2+1 − =+−,2(∆)2 2(∆) ∆+1 +1, − −1, = 2, ∆2∆ = 1, . . . , − 1.Решая последовательно эту задачу на каждом шаге по времени с = − 1до 0, мы найдем значение цены опциона в начальный момент времени.На каждом шаге итерации будет решаться линейная система вида( ) = − ( ). Представим систему в виде = ( ) + ( ),104где матрица имеет структуру⎞⎛00...01 ⎟⎜ 0⎟⎜⎜ −100...0∆ ⎟⎟⎜⎟⎜⎜1 /1 1 /10...01 /1 ⎟⎟,=⎜⎟⎜⎜ 02 /2 2 /20...2 /2 ⎟⎟⎜⎜ ........ ⎟⎟⎜ .⎠⎝0...0 −1 / −1 −1 / −10Однако методы решения систем линейных уравнений, предложенные впредыдущих пунктах, в данном случае не дают положительных результатов.Это происходит в силу того, что соответствующие итерационные процессы несходятся.

По этой причине перейдем к рассмотрению альтернативного мето­да.3.4. Метод штрафной функцииМетод штрафной функции для решения задач нахождения цены опционавпервые был предложен в статье [52]. Суть метода заключается в добавлениик уравнению в частных производных небольшого слагаемого, которое пред­ставляет собой непрерывную функцию ( ), нелинейно зависящую от ценыопциона . При этом получается нелинейное дифференциальное уравнение сфиксированной областью определения. Как показано в работе [50], решениеэтого уравнение будет обладать свойствам аналитического решения задачинахождения цены Американского опциона при достаточной малости добавля­емого слагаемого.

Рассмотрим уравнение Блэка-Шоулса с такой добавкой: 2 2 2 ++ − + ( ) = 022 (3.8)105с граничными условиями (, ) = max( − , 0),lim (, ) = 0,→∞(3.9) (0, ) = ,где ( ) =, + − + (3.10) ≥ – положительная константа. Здесь индексация призвана подчерк­нуть зависимость решения уравнения (3.8)-(3.9) от . Справедлива следую­щая теорема (см. [50]):Теорема 12.Пусть – единственное решение уравнения Блэка-Шоулза,а – единственное решение уравнения (3.8) для > 0. Тогда → в∞ ( ) при → 0, где = [0, ]×, ⊂ – открытое и ограниченное.Далее индекс будет опускаться.

Пусть 0 < ≪ 1 и2 2 2++− + ( ) = 0, ≥ 0, 0 ≤ < .2 2(3.11)Как уже отмечалось, при стремлении к нулю, решение задачи (3.11),(3.10), (3.9) будет стремиться к цене американского опциона. Получившаясязадача является нелинейной с фиксированной областью определения.Для численного решения рассмотренной задачи (3.11), (3.10), (3.9) могутбыть использованы различные методы, их обзор можно найти в [48]. Мырассмотрим метод конечных разностей.Обратим внимание также на следующий интересный факт. При дискре­тизации мы переходим от задачи, где время представлено непрерывно, к дис­кретному времени. Рассматривая список временных моментов, когда опционможет быть исполнен, мы переходим, таким образом, к формальному рас­смотрению так называемого бермудского опциона.106Для того, чтобы численно решить систему (3.11), (3.10), (3.9) введем∞ – большое значение , в котором предполагается выполнение граничногоусловия на бесконечности, а именно (∞ , ) = 0.

Для решения задачи (3.11),(3.10), (3.9) методом конечных разностей в области ≥ 0, 0 ≤ ≤ введемсетку:∆ =∞,∆ =, = ∆, = 0, ..., , = ∆, = 0, ..., ,, = ( , ).Полунеявная разностная схема, используемая в [50], для уравнения (3.11)имеет вид+1, − −1,,+1 − , (∆)2 2 −1, − 2, + +1,++ ∆− , +2∆2(∆)2∆+= 0 , = 1 . . . − 1, = 0 . . .

− 1,,+1 + − + ∆, = max( − ∆, 0),, = 0, = 0 . . . − 1,0, = , = 0 . . . − 1. = 1 . . . − 1,После перегруппировки слагаемых получим2 2 ∆ − ∆2 2 ∆ + ∆, =−1, ++1, +2(1 + 2 2 ∆ + ∆)2(1 + 2 2 ∆ + ∆),+1∆++,(1 + 2 2 ∆ + ∆) (1 + 2 2 ∆ + ∆)(,+1 + − + ∆) = 1 . . . − 1, = 0 . . . − 1.Введем обозначение = (1, , 2, , . . . , −1, ) и заметим, что в об­щем эта система является нелинейной, однако на каждом шаге по времени107получается линейная система вида(3.12) = + (+1 ),⎛⎜0⎜⎜2⎜⎜⎜0=⎜⎜⎜.⎜⎜⎜0⎝0где1 0 . .

.00 2 . . .03 0 . . .0....00 ...00 . . . −10⎞0 ⎟⎟0 ⎟⎟⎟0 ⎟⎟,⎟. ⎟⎟⎟ −2 ⎟⎠0(3.13)2 2 ∆ − ∆, =2(1 + 2 2 ∆ + ∆)2 2 ∆ + ∆, =2(1 + 2 2 ∆ + ∆) = ∆, = 1, . . . , − 1,а вектор-функция F: (+1 ) = (1 (1,+1 ), 2 (2,+1 ), . . . , −1 ( −1,+1 )) , 2 ∆ − ∆1,+1++1 (1,+1 ) =(1 + 2 ∆ + ∆)(1 + 2 ∆ + ∆)∆+,(1,+1 + − + ∆)(1 + 2 ∆ + ∆) (,+1 ) =(1 +,+12 2 ∆ +∆)+∆,(,+1 + − + ∆)(1 + 2 2 ∆ + ∆) = 2, . . . , − 1.При каждом фиксированном система (3.12) является системой линей­ных алгебраических уравнения (+1 – вычислено на предыдущем шаге, – неизвестно). Таким образом, последовательно решив систем уравнений108начиная с равного − 1 и до 0, мы найдем цену опциона в начальный мо­мент времени. Чтобы применять метод Монте-Карло для решения системыпри каждом фиксированном , необходимо убедиться в том, что спектраль­ный радиус матрицы || по модулю меньше единицы.

Докажем следующуюлеммуЛемма 4.При каждом фиксированном существует ∆ > 0 такое, чтоспектральный радиус матрицы || (3.13) меньше единицы.Доказательство. Рассмотрим сумму элементов строки матрицы ||, состоя­щей из модулей элементов матрицы :∆(|(2 2 − )| + 2 2 + )| | + | | =,2(1 + 2 2 ∆ + ∆) = 1, . . . − 1.При фиксированном ∆ , уменьшая ∆, можно сделать сумму меньше едини­цы для любого , сделав норму (в качестве нормы берётся максимум из сумммодулей элементов строк) матрицы ||, а тем самым и ее спектральный ра­диус, меньше единицы.

Можно получить оценку для ∆,∆(|(2 2 − )| + 2 2 + )∆ max(2 2 , )=< 1.2(1 + 2 2 ∆ + ∆)1 + 2 2 ∆ + ∆Заметим, что неравенство2 2 ∆<11 + 2 2 ∆ + ∆выполнено для любых ∆ и ∆ . Рассмотрим второе неравенство∆< 1.1 + 2 2 ∆ + ∆Напомним, что 1 ≤ ≤ , поэтому∆1+2 2 ∆+ ∆≤ ∆< 1.1 + 2 ∆ + ∆После преобразований получим∆(( − 1) − 2 ) < 1.(3.14)109При ( − 1) − 2 ≤ 0 предыдущее неравенство, а следовательно и (3.14),выполнено.

Если же ( −1)− 2 > 0, то для выполнения неравенства (3.14),достаточно следующего условия на ∆:∆ <1.( − 1) − 2Доказанная лемма означает, что можно находить решение системы ме­тодом Монте-Карло (возможно также применение квази Монте-Карло). Обаэти метода обладают свойствами естественного параллелизма.Теперь при каждом фиксированном мы будем находить с помощьюметода Монте-Карло. Это означает, что будет строиться последовательностьоценок , таких что−1 = (^− ) (ˆ+1 (+1 )),(3.15)где волна обозначает, что соответствующий результат обращения матрицы иумножения её на вектор осуществляется посредством метода Монте-Карло,а ˆ+1 (+1 ) – среднее +1 испытаний на ( + 1)-ом слое.

При переходе сослоя на слой мы будем иметь дело с двумя видами ошибок: случайной и де­терминированной. При решении системы (3.12) используются несмещенныеоценки, однако, в силу нелинейности функции (), будет возникать сме­щение при переходе со слоя на слой. Возьмем математическое ожидание отправой части (3.15):−1−1((^− ) (ˆ+1 (+1 ))) = ((^− ) )( (ˆ+1 (+1 ))) == ( − )−1 ( (ˆ+1 (+1 ))).Первое равенство выполнено в силу того, что на разных слоях используются110независимые траектории. Рассмотрим разложение () в ряд Тейлора: (ˆ+1 (+1 )) ==(︁∑︀+11()=1 +1)︁(︁′1∑︀+1()=1 +1= (+1 ) + (+1 ) +1(︁)︁2∑︀+1 ()1 ′′1+ 2 (+1 ) +1 =1 +1 − +1 + .

. . .+1)︁− +1 +Возьмем математическое ожидание от левой и правой частей получившегося()равенства, предварительно отметив, что +1 = +1( (ˆ+1 (+1 ))) = ((+1 )) + ′′ (+1 )2+1− (+1 )2+ ...,2+1где ′′ (+1 ) – диагональная матрица ( − 1) × ( − 1) с элементами′′ =∆,(1 + 2 2 ∆ + ∆)(,+1 + − + ∆)3 = 1, . . . , − 1.В статье [50] было показано, что при ∆ ≤ / решение уравнения (3.12)удовлетворяет неравенству, ≥ max( − , 0) ∀, .Оценим ′′ :∆≤(1 ++ ∆)(max( − , 0) + − + ∆)3∆1≤≤.(1 + 2 2 ∆ + ∆)2(1 + 2 2 ∆ + ∆)′′ ≤2 2 ∆Из этого следует, что при достаточно больших (порядка 1/ и больше)смещением можно будет пренебречь.Перейдем к рассмотрению случайной ошибки.

При переходе по временисо слоя на слой эта ошибка может оставаться ограниченной, а может неогра­ниченно расти с ростом . Поэтому необходимо исследовать её поведение.Обозначим ℰ = − – вектор-столбец случайных ошибок на каждом слое.Выразим ℰ через ℰ+1 в удобной для дальнейшего анализа форме. Из(3.15) следует−1 + ℰ = (^− ) ( (+1 + ℰ+1 )).(3.16)111Напишем разложение функции в ряд Тейлора: ( + ℰ ) = ( ) + ′ ( )ℰ + ′′ ( )ℰ2 + . . . .Отметим, что при достаточно малых и ∆ слагаемым ′′ ( )ℰ2 и всемипоследующими можно будет пренебречь.

Характеристики

Список файлов диссертации