Диссертация (1150748), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для того чтобы определить квазистационарные функции распределениярассмотрим уравнения (1.4.11) на разных стадиях релаксации. Функции, аннулирующие ведущий столкновительный оператор, могут быть записаны следующим образом [12, 54, 55, 58, 66]:323(0)fvr= svrmexph3( Λ∑)(λ)γλ ψvr, v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R.(1.5.6)λ=0(λ)Здесь ψvr (λ = 0, 1, ..., Λ) – независимые аддитивные инварианты столкновенийrapоператора Jvr, учитываемые на данной стадии релаксации, то есть величины,сохраняющиеся при рассматриваемых столкновениях; γλ – параметры, которые могут зависеть только от координат и времени.
Их можно определить изусловий нормировки:∑∫(0) (λ)fvrψvr d⃗c = Ψλ , λ = 0, 1, ..., Λ,(1.5.7)vr(λ)где Ψλ – суммарные значения аддитивных инвариантов столкновений ψvr вединице объема.Рассмотрим вид предельных решений (1.5.6) на каждой стадии релаксации.1. Стадия поступательно-вращательной релаксации. На стадии RT релаксации аддитивным инвариантом столкновений является поступательновращательная энергия, уровни колебательной энергии не изменяются пристолкновениях:mc2+ εr , v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R.(1.5.8)2⃗ = m⃗c и, поскольку на данной стаКроме того, сохраняется импульс ψдии не происходит колебательная релаксация, номера колебательных уровнейкаждой моды:(0)ψvr=(λ)ψvr= δv1 ,λ1 δv2 ,λ2 δv3 ,λ3 , λi = 0, 1, ..., vimax (i = 1, 2, 3),(1.5.9)где δvi ,λi (i = 1, 2, 3) – символ Кронекера.На этапе завершения RT -релаксации квазистационарную функцию распределения можно представить в виде [68]:fv(0)1 v2 v3 r( ( 2))mcm3+ εr + γv1 v2 v3 .= sr 3 exp γ0h2(1.5.10)33Функция (1.5.10) нормирована на суммарную поступательновращательную энергию eRT = eT R + eROT и на числовые плотности частицна определенных колебательных уровнях nv1 v2 v3 .
Параметры γ0 и γv1 v2 v3определяются из условий нормировки (1.5.7).Вращательную энергию часто рассматривают в классическом пределе.Учитывая это и условия нормировки (1.5.7) суммарную поступательно вращательную энергию можно представить в виде eRT = 5kT /2, где T – температурагаза. Это позволяет записать соотношение γ0 = −1/(kT ) (такое представлениедля γ0 будем использовать и в дальнейшем).(0)Используя условия нормировки (1.5.7) функцию распределения fv1 v2 v3 rможно представить в видеfv(0)1 v2 v3 r()nv1 v2 v3m3mc2 /2 + εr=srexp −Ztr (T ) Zrot (T ) h3kT(1.5.11)fv(0)1 v2 v3 r()nv1 v2 v3 ( m )3/2mc2 /2 + εr=exp −.Zrot (T ) 2πkTkT(1.5.12)илиВ формулах (1.5.11) и (1.5.12) использованы поступательная Ztr и вращательная Zrot статистические суммы:(Ztr (T ) =2πmkTh2)3/2,εr )Zrot (T ) =sr exp −.kTr=0R∑(1.5.13)((1.5.14)Функция распределения (1.5.12) соответствует поуровневому описаниюколебательной кинетики углекислого газа [42, 55].2.
Стадия внутримодовых колебательных обменов. На стадии V V релаксации, когда происходят обмены вида (1.4.8), в газах из гармоническихосцилляторов наряду с поступательно-вращательной энергией (1.5.8) и импульсом сохраняется колебательная энергия каждой моды ψ (i) = εvi (i = 1, 2, 3).Из закона сохранения числа частиц следует еще один инвариант — единицаψ (4) = 1.Таким образом, на этапе завершения V V -релаксации формируется ква-34зистационарная функция распределения (1.5.6), которую можно представить ввиде)( ( 2)3mcm+ εr + γ1 εv1 + γ2 εv2 + γ3 εv3 + γ .fv(0)= (v2 + 1)sr 3 exp γ01 v2 v3 rh2(1.5.15)Симметричная и антисимметричная колебательные моды не вырождены, поэтому svi = 1 при i = 1, 3.
Деформационная мода дважды вырождена, поэтомуsv2 = v2 + 1Функция (1.5.15) нормирована на суммарную поступательновращательную энергию eRT , суммарную колебательную энергию каждой(i)моды eV (i = 1, 2, 3) и общее число частиц n. Параметры γ0 , γ1 , γ2 , γ3 и γопределяются из условий нормировки (1.5.7). На этой стадии можно ввестиобозначения γi = −1/(kTi ) (i = 1, 2, 3).Перепишем функцию (1.5.15) следующим образомfv(0)1 v2 v3 r( m )3/2n=×Zrot (T ) Z1vibr (T1 ) Z2vibr (T2 ) Z3vibr (T3 ) 2πkT()mc2 /2 + εrεv2εv3εv1× exp −−−.−kTkT1 kT2 kT3(1.5.16)Кроме соотношений (1.5.13) и (1.5.14) в (1.5.16) использованы следующиеформулы для статистических сумм, соответствующих разным колебательныммодам:)(ε vi, i = 1, 2, 3.(Ti ) =svi exp −kTiv =0vimaxZivibr∑(1.5.17)iПри i = 1 и 3, svi = 1, при i = 2, sv2 = v2 + 1.Функции распределения (1.5.16) соответствуют четырехтемпературномуописанию колебательной кинетики молекул CO2 [42].3.
Стадия межмодовых колебательных обменов V V ′(1−2) . Среди межмодовых обменов наиболее вероятными являются околорезонансные двухквантовые обмены V V ′(1−2) (1.5.1).На стадии V V ′(1−2) -релаксации объединенная колебательная энергия пер-35вых двух мод сохраняется лишь приближенно. Аддитивными инвариантами являются: сумма поступательно-вращательной и колебательной энергии первых(0)⃗ = m⃗c , колебательная энердвух мод ψv1 v2 r = mc2 /2 + εr + εv1 + εv2 , импульс ψ(1)гия третьей моды ψv3 = εv3 и единица. Кроме этого, из соотношений (1.5.1)следует, что при всех столкновениях в первых двух модах сохраняется число(2)(2)(2)колебательных квантов второй моды: ψv1 v2 = (2v1 + v2 )ε1 (ε1 – колебательнаяэнергия первого уровня второй моды). Поэтому квазистационарную функциюраспределения можно записать так:fv(0)1 v2 v3 r( ( 2)m3mc= (v2 + 1)sr 3 exp γ0+ εr + εv1 + εv2 +h2)(2)+γ1,2 (2v1 + v2 )ε1 + γ3 εv3 + γ .(1.5.18)Функция (1.5.18) нормирована на суммарные значения инвариантов в единице объема: поступательно-вращательную и колебательную энергию первой и(2)(1)второй мод e1,2 = eT R + eV + eV :)∑ ∫ ( mc2e1,2 (⃗r, t) =+ εr + εv1 + εv2 fv(0)(⃗r, ⃗c, t)d⃗c1 v2 v3 r2v v v r(1.5.19)1 2 3(2)и число W1,2 квантов ε1 :W1,2 (⃗r, t) =∫∑(2v1 +(2)v2 )ε1fv(0)(⃗r, ⃗c, t)d⃗c,1 v2 v3 r(1.5.20)v1 v2 v3 r(3)а также на колебательную энергию третьей моды eV :(3)eV (⃗r, t)=∑ ∫εv3 fv(0)(⃗r, ⃗c, t)d⃗c1 v2 v3 r(1.5.21)v1 v2 v3 rи число частиц n.
Параметры γ0 , γ1,2 , γ3 и γ определяются из условийнормировки (1.5.7). Здесь можно сохранить обозначение γ3 = −1/ (kT3 ) и поаналогии с работой [105] ввести обозначение γ1,2 = 1/ (kT ) − 1/ (kT1,2 ).Учитывая это и вводя колебательную статистическую сумму по первымдвум модам36)(()εv1 + εv211(2)(2v1 + v2 )ε1 ,(v2 + 1) exp −+−kTkTkT1,2=0v1max v2maxvibrZ1,2(T, T1,2 ) =∑∑v1 =0 v2(1.5.22)запишем функцию распределения (1.5.18) в виде( m )3/2n=×vibr (T, T ) Z vibr (T ) 2πkTZrot (T ) Z1,21,23() 3)(211εv3mc /2 + εr + εv1 + εv2(2)× exp −+−(2v1 + v2 )ε1 −.kTkTkT1,2kT3(1.5.23)fv(0)1 v2 v3 rНа этот раз имеем трехтемпературную функцию распределения.
Причемв (1.5.23) учтен дефект резонанса колебательной энергии, соответствующий переходам (1.5.1). В случае, когда дефект резонанса равен нулю, распределение(1.5.23) приобретает вид Больцмановского распределения по поступательным ивращательным степеням свободы с температурой T , по колебательным степеням свободы, относящимся к первой и второй моде, – с температурой T1,2 , и стемпературой T3 по колебательному распределению третьей моды.4. Стадия межмодовых колебательных обменов V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) .На этих стадиях релаксации в колебательные обмены уже включается третьямода.На стадии V V ′(2−3) -релаксации происходят обмены вида (1.5.3), при которых приближенно сохраняется суммарная колебательная энергия второй итретьей моды. Однако, на рассматриваемой стадии учитываются и предыду(0)щие обмены. Поэтому будет сохраняться полная энергия ψv1 v2 v3 r = mc2 /2 + εr +εv1 + εv2 + εv3 . Из соотношения (1.5.3) следует, что при столкновениях сохраняется число колебательных квантов второй моды во второй и третьей модах, а(2)учитывая предыдущие обмены, сохраняется число колебательных квантов ε1(2)(2)во всех трех модах ψv1 v2 v3 = (2v1 +v2 +3v3 )ε1 .
Как и ранее, сохраняется импульс⃗ = m⃗c и единица.ψАналогичным образом, рассматривая стадию V V ′(1−2−3) , когда происходятобмены вида (1.5.4), можно получить тот же набор аддитивных инвариантов37столкновений, что и на стадии V V ′(2−3) . В принципе, этот же набор инвариантов соответствует ситуации, когда нужно учитывать колебательные переходы(1.5.1) и (1.5.2).В итоге, на этапах завершения стадий релаксации V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)квазистационарная функция распределения будет выглядеть какfv(0)1 v2 v3 r( ( 2)m3mc= (v2 + 1)sr 3 exp γ0+ εr + εv1 + εv2 + εv3 +h2)(2)+γ1,2,3 (2v1 + v2 + 3v3 )ε1 + γ .(1.5.24)Функция (1.5.24) нормирована на суммарные значения инвариантов в единице объема: суммарную поступательно-вращательную и колебательную энер(2)(3)(2)(1)гию всех трех мод e1,2,3 = e = eT R + eV + eV + eV и число W1,2,3 квантов ε1 ,определяемое выражением:W1,2,3 (⃗r, t) =∑∫(2v1 + v2 +(2)3v3 )ε1fv(0)(⃗r, ⃗c, t)d⃗c,1 v2 v3 r(1.5.25)v1 v2 v3 rа также число частиц n.
Параметры γ0 , γ1,2,3 и γ определяются из условий нормировки (1.5.7). Здесь можно ввести обозначение γ1,2,3 = 1/ (kT ) −1/ (kT1,2,3 ).Учитывая вышесказанное, функцию (1.5.24) можно представить в виде:( m )3/2×=vibr (T, TZrot (T ) Z1,2,31,2,3 ) 2πkT(())mc2 /2 + εr + εv1 + εv2 + εv311(2)exp −+−(2v1 + v2 + 3v3 )ε1 .kTkTkT1,2,3(1.5.26)fv(0)1 v2 v3 rЗдесь введено выражение:n38(v1max v2max v3maxvibrZ1,2,3(T, T1,2,3 ) =∑∑∑v1 =0 v2 =0 v3 =0(+εv1 + εv2 + εv3+kT))(2)(2v1 + v2 + 3v3 )ε1 .(v2 + 1) exp11−kTkT1,2,3−(1.5.27)На этапах завершения V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) имеем двухтемпературныераспределения (1.5.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
