Диссертация (1150748), страница 8
Текст из файла (страница 8)
[10, 34, 47, 62]):2k =1+ ,j(1.7.11)где j – число степеней свободы молекулы.Число поступательных степеней свободы линейной молекулы CO2 равно3, вращательных степеней свободы – 2. Следовательно, в этом случае k = 1, 4 =7/5.2. Стадия завершения внутримодовой V V -релаксации. На данной стадии релаксации функции распределения имеют вид (1.5.16).Система определяющих макропараметров включает, наряду со скоростью⃗ = ⃗v , поступательно-вращательной энергией Ψ0 = eT R и числом частиц Ψ1 =Ψn, колебательную энергию каждой из трех мод (см. формулу (1.6.20)):)(∑nεviΨ1+i =(Ti ) == vibrsvi εvi exp −, i = 1, 2, 3.kTiZi (Ti ) vi(1.7.12)Применение формулы (1.7.7) приводит к тому же результату, что и напредыдущей стадии.На этой стадии, как и на стадии RT -релаксации, температура газа, входящая в выражение для давления определяется лишь поступательной и вращательной энергией.
Поэтому коэффициент k определяется только классическимистепенями свободы по формуле (1.7.11) и равен 1, 4.Это можно объяснить тем, что на данной стадии нет обмена между поступательной и колебательной энергией. Значение энергии ẽ попрежнему определяется формулой (1.7.9).evibrin⟨evibri ⟩3. Стадия завершения межмодовой V V ′(1−2) -релаксации. На данной стадии релаксации функции распределения имеют вид (1.5.23), система макропараметров, наряду со скоростью ⃗v и числом частиц n, включает сумму поступательной, вращательной и колебательной энергии первых двух мод Ψ0 = e1,2 ,число квантов второй моды в колебательной энергии первых двух мод Ψ1 = W1,2и колебательную энергию третьей моды Ψ2 = e3 .При этом энергия Ψ0 = e1,2 вычисляется следующим образом47()5e1,2 (T, T1,2 ) = nkT + ⟨evibr1,2 ⟩ (T, T1,2 ) ,2(1.7.13)где∑1= vibr(v2 + 1) (εv1 + εv2 ) ×Z1,2 (T, T1,2 ) v ,v1 2(())εv1 + εv211(2)×exp −+−(2v1 + v2 ) ε1 ,kTkTkT1,2⟨evibr1,2 ⟩ (T, T1,2 )(1.7.14)vibrа колебательная статистическая сумма Z1,2рассчитывается по формуле(1.5.22); суммарное значение квантов второй моды Ψ1 = W1,2 рассчитывается по формуле:W1,2 (T, T1,2 ) = n⟨W1,2 ⟩ (T, T1,2 ) ,(1.7.15)где∑1(2)(v2 + 1) (2v1 + v2 ) ε1 ×vibrZ1,2 (T, T1,2 ) v ,v))(( 1 21εv1 + εv21(2)(2v1 + v2 ) ε1 .×exp −+−kTkTkT1,2⟨W1,2 ⟩ (T, T1,2 ) =(1.7.16)При записи выражений для макропараметров использованы формулы (1.6.18)(1.6.20).В этом случае коэффициент k определяется поступательной, вращательной и колебательной энергией первых двух мод.
Он по-прежнему не зависит отколебательной энергии третьей моды. Коэффициент k зависит от двух температур: температуры газа T и колебательной температуры первых двух мод T1,2 .Аналитическое выражение для k может быть получено с помощью формулы(1.7.7).4. Стадия завершения межмодовых V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) обменов. Наэтот раз функции распределения записываются в виде (1.5.26), а система определяющих макропараметров состоит из суммарной поступательной, вращательной и колебательной энергии всех трех мод Ψ0 = e1,2,3 , суммарного значения48квантов второй моды Ψ1 = W1,2,3 , числа частиц Ψ2 = n и импульса (здесь сноваиспользованы выражения (1.6.18)-(1.6.20)).Суммарная поступательная, вращательная и колебательная энергия всехтрех мод Ψ0 = e1,2,3 вычисляется как()5kT + ⟨evibre1,2,3 (T, T1,2,3 ) = n1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 ) ,2(1.7.17)где∑1= vibr(v2 + 1) (εv1 + εv2 + εv3 ) ×Z1,2,3 (T, T1,2,3 ) v ,v ,v1 2 3())(11εv1 + εv2 + εv3(2)+−(2v1 + v2 + 3v3 ) ε1 ;×exp −kTkTkT1,2,3⟨evibr1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 )(1.7.18)суммарное значение квантов второй моды Ψ1 = W1,2,3 вычисляется какW1,2,3 (T, T1,2,3 ) = n⟨W1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 ) ,(1.7.19)где∑1(2)(v2 + 1) (2v1 + v2 + 3v3 ) ε1 ×vibrZ1,2,3 (T, T1,2,3 ) v ,v ,v))(( 1 2 31εv1 + εv2 + εv31(2)(2v1 + v2 + 3v3 ) ε1 .
(1.7.20)×exp −+−kTkTkT1,2,3⟨W1,2,3 ⟩ (T, T1,2,3 ) =vibrКолебательная статистическая сумма Z1,2,3определяется по формуле(1.5.27).Коэффициент k определяется поступательной, вращательной и колебательной энергией всех трех мод и зависит от двух температур: температурыгаза T и колебательной температуры T1,2,3 . Аналитическое выражение для kснова может быть получено с помощью формулы (1.7.7).5.
Состояние термодинамического равновесия. Наконец в состоянии термодинамического равновесия система макропараметров состоит из полной энергии, числа частиц и импульса, а функции распределения определяются как(1.5.30). Коэффициент k определяется температурой газа, а его аналитическое49выражение может быть получено путем подстановки в формулу (1.7.7) выражений для макропарамметров Ψ0 = e()5e (T ) = nkT + ⟨evibr ⟩ (T ) ,2(1.7.21)где⟨evibr ⟩ (T ) =(∑1Zvibr (T ) v1 ,v2 ,v3εv + εv2 + εv3(v2 + 1) (εv1 + εv2 + εv3 ) exp − 1kT)(1.7.22)и давления p = nkT .
Аналитическая формула для коэффициента k будет выглядеть следующим образом:7/2(kT )2 + ⟨e2vibr ⟩ − ⟨evibr ⟩2k=.5/2(kT )2 + ⟨e2vibr ⟩ − ⟨evibr ⟩2(1.7.23)Здесь введено обозначение ⟨e2vibr ⟩:⟨e2vibr ⟩ (T ) =1Zvibr (T ) v∑1 ,v2 ,v3()ε+ε+εvvv23(v2 + 1) (εv1 + εv2 + εv3 )2 exp − 1.kT(1.7.24)Из формулы (1.7.23) видно, что несмотря на то, что мы имеем дело слокально равновесным течением, коэффициент k не является постоянным, асильно зависит от температуры.Формула (1.7.23) соответствует классической формуле [55, 62, 75]:k=Cp,CV(1.7.25)где Cp и CV – теплоемкости при постоянном давлении и объеме.Конкретные расчеты коэффициента k и скорости звука a на разных стадиях релаксации были проведены в диапазоне температур от 300 до 1500K.При расчетах использовались спектроскопические постоянные CO2 таблицы 1,а также универсальные физические константы и молекулярные характеристикиCO2 из таблицы 2. Полученные результаты продемонстрированы на рис.
2-4.50Таблица 2. Универсальные физические константы и молекулярные характеристики CO2 .НазваниеЧисло ЛошмидтаПостоянная БольцманаПостоянная ПланкаСкорость светаМасса молекулы CO2ОбозначениеЗначениеnL2, 687 · 1025k1, 380662 · 10−23h6, 626176 · 10−34c∗2, 99792458 · 108m7, 30637 · 10−26Единицы измерениям−3Дж/КДж·см/скгНа рис. 2 представлена зависимость коэффициента k от температуры газана разных стадиях релаксации.1,421,421,21,21,401,403341,381,361,364kk1,381,341,341,321,321,301,30551,281,281,261,260200400600800100012001400160002004006008001000120014001600T, KT, Kа) T1,2 = T1,2,3 = 600Kб) T1,2 = T1,2,3 = 900K1,421,421,21,401,21,403341,361,364k1,38k1,381,341,341,321,321,301,30551,281,281,261,26020040060080010001200T, Kв) T1,2 = T1,2,3 = 1200K1400160002004006008001000120014001600T, Kг) T1,2 = T1,2,3 = 1500KРис.
2. Коэффициента k в зависимости от температуры газа T на разных стадиях релаксациипри разных температурах T1,2 и T1,2,3 . Кривые 1 соответствуют завершению стадии RT релаксации; кривые 2 – V V -релаксации; кривые 3 – V V ′(1−2) -релаксации; кривые 4 – V V ′(2−3)и V V ′(1−2−3) -релаксации; кривые 5 – V RT -релаксации.51Как было отмечено, на стадиях RT и V V -релаксации коэффициент k независит от температуры и равен 1, 4 (см. прямую 1, 2 на рис. 2).В рассматриваемых условиях учет межмодовых обменов оказывает на величину k слабое влияние.
На стадии V V ′(1−2) -релаксации (с учетом «Фермирезонанса») значения k практически совпадают со значениями на стадиях RTи V V релаксации при всех значения T1,2 в диапазоне от 300 до 1500K (см.кривую 3 на рис. 2). Обмены, происходящие на стадиях V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3)(когда учитываются все межмодовые обмены со сравнительно малым дефектомрезонанса), приводят к небольшому уменьшению величины k при сравнительномалых значения температуры газа, когда отношение T1,2,3 /T достаточно велико(см.
кривую 4 на рис. 2). Влияние отношения температур T1,2,3 /T здесь болеезаметно.Следует отметить поведение k на стадиях V V ′ -релаксации. Более подробно это поведение демонстрирует рис. 3, на котором изображен коэффициент kна стадии V V релаксации (прямая 1), на стадии V V ′(1−2) -релаксации при различных значения T1,2 (кривые 2 практически сливаются с прямой 1) и стадияхV V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) при разных T1,2,3 (кривая 3 – T1,2,3 = 600K, кривая 4 –T1,2,3 = 900K, кривая 5 – T1,2,3 = 1200K, кривая 6 – T1,2,3 = 1500K).1,4041,40211,40023k1,3981,39641,3941,39251,3901,38861,3862004006008001000120014001600T, KРис. 3.
Коэффициент k в зависимости от температуры газ T на стадиях V V и V V ′ релаксации. Прямая 1 соответствует стадии V V -релаксации; кривые 2 – стадии V V ′(1−2) релаксации при разных T1,2 ; кривая 3 – V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации при T1,2,3 = 600K;кривая 4 – V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) -релаксации при T1,2,3 = 900K; кривая 5 – при T1,2,3 = 1200K;кривая 6 – при T1,2,3 = 1500K.52Рис. 2 и 3 показывают, что с ростом температуры газа T коэффициентk приближается к значению 1, 4. Когда значения колебательных температурT1,2 и T1,2,3 выше, чем значения температуры газа, коэффициент k меньше 1, 4.Особенно это заметно на стадиях V V ′(2−3) и V V ′(1−2−3) . Видимо, это связанос увеличением заселенностей колебательных уровней при температурах T1,2 иT1,2,3 , превосходящих температуру T .В условиях равновесия значение k тем меньше, чем выше температурагаза (см. кривую 5 на рис.
2). При сравнительно низких температурах коэффициент k близок к 1, 4, с повышением температуры значение k резко уменьшаетсяи достигает значения 1, 28 при температуре T = 1500K. Подобное поведениетемпературной зависимости k в локально равновесных гиперзвуковых потокахгаза отмечалось в монографиях [49, 50].Используя расчеты коэффициента k, в настоящей работе были полученызависимости скорости звука a от температуры газа T на этапах завершенияразных стадий релаксации, представленные на рис. 4.650126003550a,/5004504003503002502004006008001000120014001600T, KРис.
4. Скорость звука a в зависимости от температуры газа T на разных стадиях релаксации.Кривая 1 соответствует стадиям RT и V V -релаксации; кривая 2 (почти сливается с кривой1) – стадиям V V ′ -релаксации; кривая 3 – состоянию термодинамического равновесия.Значения a на стадиях V V ′ , представленные на данном рисунке кривой 2,соответствуют T1,2 и T1,2,3 равным 1500K.В условиях стадий RT и V V -релаксации, где k = 1, 4, имеем линейнуюзависимость квадрата скорости звука a2 от температуры T и соответствующийвид графика зависимости a от T (см. кривую 1 на рис. 4).53В масштабах стадий V V ′ -релаксации (когда происходят межмодовые обмены колебательной энергии) коэффициент k слабо отличается от значения 1, 4(см.
рис. 2 и 3). Значения скорости звука на этих стадиях мало зависят от изменений температур T1,2 и T1,2,3 , хотя здесь и нет линейной зависимости междуa2 и температурой газа.Увеличение отношений T1,2 /T и T1,2,3 /T не приводит к значительным изменениям величины скорости звука (при T1,2,3 /T = 8 изменения не превышают2%).В условиях локального равновесия при сравнительно низких температурах значения a, в соответствии с поведением k, уменьшаются в сравнении спредыдущими стадиями релаксации (см. кривую 3 на рис. 4) . Здесь также нетпрямой пропорциональной зависимости a2 от температуры T .Таким образом, процессы близкие к резонансным практически не меняютскорость звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
