Диссертация (1150748), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При этом каждая из выделенных релаксационных зон будет переходным слоем между двумяквазистационарными состояниями. Выписанные в главе 1 квазистационарныефункции распределения и макроскопические уравнения могут быть использованы для получения соотношений, связывающих значения макропараметров ⃗v , ẽи Ψλ , λ = 1, ..., Λ на границах выделенных релаксационных зон. Эти соотношения можно получить с помощью уравнений (1.6.3)-(1.6.5), действуя по аналогиис [34, 75].В [16, 66] они были выписаны в виде[ρ⃗v θ] = [p] · ⃗n,[( 2) ]vρ + ẽ θ = [p⃗v · ⃗n] ,2(3.1.4)[Ψλ θ] = 0, λ = 1, ..., Λ,(3.1.6)(3.1.5)где Ψλ , λ = 1, ..., Λ — плотности макропараметров, сохраняющихся в выделенной релаксационной зоне.
Энергетическая плотность ẽ включает те видыэнергии, которые обмениваются с поступательной энергией в масштабах рассматриваемой релаксационной зоны. Часть из соотношений (3.1.6) соответствует сохранению тех видов колебательной энергии, которая не обменивается споступательной в пределах данной релаксационной зоны.В данной работе мы ограничимся рассмотрением плоских разрывов. Плоская поверхность разрыва, нормаль к которой не совпадает по направлению соскоростью набегающего потока, называется косым скачком уплотнения.
Косыескачки уплотнения возникают, например, при обтекании клиньев, при нерасчетном истечении из плоских сопел. Скорость потока при переходе через косойскачок меняется не только по величине, но и по направлению.Схематически косой скачок уплотнения изображен на рис. 16. За α обозначен угол наклона фронта скачка к скорости набегающего потока, а за β –угол отклонения потока за скачком.73V(+)V(-)βαПотокРис.
11. Схема косого скачка уплотнения.Выберем систему координат, связанную с ударной волной. Тогда в проекции на скачок система обобщенных уравнений динамической совместностибудет выглядеть следующим образом:[ρvn2 ] = −[p],(3.1.7)[vτ ] = 0,[( 2) ]vρ + ẽ vn = −[pvn ],2(3.1.8)[Ψλ vn ] = 0, λ = 1, ..., Λ.(3.1.10)(3.1.9)Здесь vn = vcosα, а vτ = vsinα.Кроме того, может быть получена зависимость между углом наклона скачка и углом отклонения потока на скачке [35]:()−11∆vn+ tg 2 αtgα.(3.1.11)tgβ =1 − ∆vn 1 − ∆vn()(−)(+)(−)Здесь ∆vn = vn − vn /vn .Уравнения (3.1.7)-(3.1.10) и формула (3.1.11) позволяют получить значения газодинамических параметров за косым скачком уплотнения.Ударные волны, плоскость которых перпендикулярна направлению набегающего потока, носят название прямых скачков уплотнения.
В случае прямогоскачка обобщенные условия динамической совместности (3.1.4)-(3.1.6) можнопереписать в виде (в системе координат, связанной с прямым скачком):74[ρv 2 ] = −[p],) ][( 2vρ + ẽ v = −[p],2(3.1.12)[Ψλ v] = 0, λ = 1, ..., Λ.(3.1.14)(3.1.13)В следующих параграфах в соответствии с иерархией времен релаксации(1.5.5) проводится послойное исследование прямых и косых скачков уплотненияна основе системы определяющих макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам столкновений, которые учитываются в пределах рассматриваемой релаксационной зоны [55, 66].§3.2 Схема описания скачков уплотненияв равновесных потоках углекислого газаРассмотрим ударные волны, сформировавшиеся в равновесных потокахуглекислого газа с вращательными и колебательными степенями свободы. Такие ударные волны можно рассматривать как и в классической газовой динамике, — как узкий переходный слой между двумя состояниями полного термодинамического равновесия.Возбуждение внутренних степеней свободы оказывает существенное влияние на структуру ударной волны.
В главе 1 процесс релаксации к состояниюполного термодинамического равновесия был разделен на несколько стадий,соответствующих иерархии времен релаксации (1.5.5). На этапе завершениякаждой из этих стадий были получены соответствующие квазистационарныераспределения и система определяющих макропараметров.Как уже было сказано, ударная волна разделяется на релаксационныезоны в соответствии с (1.5.5).Выпишем обобщенные условия динамической совместности (3.1.7)-(3.1.10)на границе каждой из релаксационных зон.751.
Стадия RT -релаксации.В масштабах этой релаксационной зоны формируется максвеллбольцмановское распределение по поступательным и вращательным энергиям (1.5.12). Сохраняется импульс ρ⃗v , поступательно-вращательная энергия eT R(1.5.8) и заселенности всех колебательных уровней nv1 v2 v3 (1.5.9).Учитывая вышесказанное, можно записать обобщенные условия динамической совместности (3.1.7)-(3.1.10) в симметричной форме:mn(+) vn(+)2 + n(+) kT (+) = mn(−) vn(−)2 + n(−) kT (−) ,(+)2vn2(−)27 kT (+)vn+=2 m27 kT (−)+,2 m(3.2.1)(3.2.2)vτ(+) = vτ(−) ,(3.2.3)(+)(−)(−)maxn(+), i = 1, 2, 3.v1 v2 v3 vn = nv1 v2 v3 vn , vi = 0, 1, ..., vi(3.2.4)Здесь использованы формулы для давления p = nkT и массовой плотностиρ = mn.Следствием уравнений (3.2.4) являются соотношенияn(+) vn(+) = n(−) vn(−)(3.2.5)ρ(+) vn(+) = ρ(−) vn(−) .(3.2.6)илиМожно выписать равенства(+)(−)nvnv=, v = 0, 1, ..., v max ,(3.2.7)(+)(−)nnгде v = (v1 , v2 , v3 ), а v max = (v1max , v2max , v3max ).Зону RT -релаксации обычно отождествляют с фронтом ударной волны.При поуровневом описании в релаксационных зонах за фронтом волны решаются дифференциальные уравнения для nv1 v2 v3 .2.
Стадия V V -релаксации.Обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений (3.2.1)-(3.2.3), (3.2.5) и уравнений76(+) (+)(−) (−)n(+) ⟨evibrvn = n(−) ⟨evibrvn , i = 1, 2, 3.i ⟩i ⟩(3.2.8)Учитывая (3.2.5), соотношение (3.2.8) можно переписать как равенство:(+)(−)⟨evibr= ⟨evibr, i = 1, 2, 3.i ⟩i ⟩(3.2.9)3. Стадия V V ′(1−2) -релаксации.Обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений(+)2vn2(−)2(+)(−)7 kT (+) ⟨evibrvn7 kT (−) ⟨evibr1,2 ⟩1,2 ⟩++=++,2 mm22 mm(3.2.10)n(+) ⟨W1,2 ⟩(+) vn(+) = n(−) ⟨W1,2 ⟩(−) vn(−) ,(3.2.11)(+) (+)(−) (−)n(+) ⟨evibrvn = n(−) ⟨evibrvn ,3 ⟩3 ⟩(3.2.12)а также уравнения для импульса (3.2.1), касательной составляющей скорости(3.2.3) и числа частиц (3.2.5).Учитывая (3.2.5) можно переписать уравнение (3.2.12) в виде (3.2.9) (приi = 3), а уравнение (3.2.11), соответствующее сохранению суммарного числаквантов 2-й моды в первых двух модах, в виде⟨W1,2 ⟩(+) = ⟨W1,2 ⟩(+) .(3.2.13)Итоговая система будет состоять из 6 уравнений (3.2.1), (3.2.3), (3.2.5),(3.2.9) при i = 3, (3.2.10) и (3.2.13).4.
Стадии V V ′(2−3) - и V V ′(1−2−3) -релаксации.На данных стадиях релаксации система макропараметров, помимо импульса и числа частиц n, состоит из полной энергии e (1.7.17) и числа W123(2)колебательных квантов ε1 (1.7.19) в трех колебательных модах.На этот раз обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений77(+)2vn2(−)2(+)(−)7 kT (+) ⟨evibrvn7 kT (−) ⟨evibr1,2,3 ⟩1,2,3 ⟩++=++,2 mm22 mm⟨W1,2,3 ⟩(+) = ⟨W1,2,3 ⟩(−)(3.2.14)(3.2.15)и уравнений (3.2.1), (3.2.3) и (3.2.5). В уравнении (3.2.15) уже учтено сохранениечисла частиц.5.
Стадия V RT -релаксации.Рассмотрим завершающую стадию релаксации. На ее границе формируется новое состояние термодинамического равновесия. Определяющими макропараметрами являются число частиц, импульс и полная энергия.На этот раз обобщенные условия динамической совместности будут состоять из уравнений нормальной составляющей скорости (3.2.1), касательнойсоставляющей (3.2.3), числа частиц (3.2.5) и уравнения для энергии (3.2.14).Эту зону релаксации можно отождествлять с толщиной ударной волны в равновесном потоке.Решая системы уравнений, соответствующие обобщенным условиям динамической совместности, можно изучить состояние газа на границах каждойиз 5 рассматриваемых зон внутри ударной волны и оценить влияние разныхпроцессов на газодинамические параметры за скачком.§3.3 Значения газодинамических параметровза ударной волной на границах различныхрелаксационных зонВ предыдущем параграфе были выписаны обобщенные условия динамической совместности, справедливые на границах выделенных внутри ударнойволны релаксационных зон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
