Диссертация (1150748), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Столкновения, сопровождающиеся нарядус изменениями поступательно-вращательной энергии изменениями колебательной энергии молекул, происходят значительно реже остальных.Интегральный оператор Jvr (fvr ) в уравнениях Больцмана (1.4.1) в видесуммы интегральных операторов столкновений трех типов:(tr)(rot)(vibr)Jˆvr = Jˆvr+ Jˆvr+ Jˆvr.(1.4.2)(tr)(rot)(vibr)Здесь Jˆvr соответствует упругим столкновениям; Jˆvr и Jˆvr– столкновениям с изменениями вращательной и колебательной энергии молекул. В своюочередь, вероятности столкновений, сопровождающихся изменениями колебательной энергии, также могут различаться по величине.

Соответственно, характерные сечения σ∗ в (1.4.1) имеют различные значения для разного типастолкновений, и можно ввести средние сечения для каждого типа столкновенийσ∗α , где α обозначает тип столкновения. Сечениям σ∗α соответствуют интегральαные операторы Jvr(1.2.4) или (1.2.5).Тогда уравнения (1.4.1) можно записать так:27D̂vr fˆvr =∑αn∗ l∗ σ∗α Jˆvr()ˆfvr .(1.4.3)αРассмотрим комбинацию величин n∗ l∗ σ∗α .

Заметим, что произведениеn∗ σ∗α c∗ можно связать со средним числом столкновений типа α в единице объема в единицу времени. Выражение 1/ (n∗ σ∗α c∗ ) соответствует среднему времениτα между этими столкновениями, l∗ = θ∗ c∗ .Учитывая это, запишем1λατα== ϵα=n∗ l∗ σ∗αθ∗l∗(1.4.4)Здесь λα = τα c∗ - средняя длина свободного пробега молекул между столкновениями типа α.Величина ϵα = λα /l∗ = τα /θ∗ является аналогом числа Кнудсена длястолкновений, которым соответствуют средние сечения σ∗α .Уравнение (1.4.3) можно переписать в виде [12, 55, 66]:D̂vr fˆvr =( )∑ 1αˆJvr fˆvr .ϵαα(1.4.5)Учитывая экспериментальные данные, приведенные в [70], (1.4.2) можнозаписать следующие цепочки неравенств:τtr < τrot << τvibr(1.4.6)ϵtr < ϵrot << ϵvibr .(1.4.7)иВ уравнениях (1.4.5) индексы α занумерованы в порядке возрастания ϵα .Кроме того, будем считать, что осуществлен переход к безразмерным уравнениям (1.4.5), и опустим в дальнейшем символ ˆ.

Времена между разными типамиколебательных переходов также могут сильно различаться даже при использовании модели гармонического осциллятора.Если газ вывести из состояния термодинамического равновесия, то егорелаксация будет представлять собой сложный многоступенчатый процесс. Вряде случаев это позволяет разделить во времени релаксацию различных видов28энергии, а иногда и выделить разные стадии релаксации одного и того же видаэнергии, и разделить процесс релаксации на соответствующие стадии.Ранее процесс релаксации был разделен на поступательную, вращательную и колебательные стадии (см. (1.4.2)).

При этом были записаны неравенства(1.4.6) и (1.4.7). За счет того, что столкновения, сопровождающиеся колебательными переходами, происходят с разной частотой, колебательная релаксация тоже может быть разделена на стадии в соответствии с типами энергетическихобменов, происходящих при столкновениях.Например, в многоатомных газах и смесях двухатомных газов наиболеечасто происходят внутримодовые колебательные обмены. В газе из гармонических осцилляторов обычно выделяется стадия V V -релаксации, когда при столкновениях происходят обмены колебательной энергией одного вида(vi ) + (vi′ ) ↔ (vi ± 1) + (vi′ ∓ 1).(1.4.8)Межмодовые колебательные обмены происходят реже внутримодовых.Частота этих колебательных обменов определяется долей колебательной энергии, переходящей в поступательную и вращательную (так называемым дефектом резонанса) [20, 61].В некоторых работах (см., например, [60, 61]) теоретически отмечалось,что в ситуациях когда частоты колебаний двух мод νi и νk относятся как небольшие целые числа νi : νk ≈ m : n, вероятности обменов вида(vi ) + (vk ) ↔ (vi ± n) + (vk ∓ m)(1.4.9)возрастают более чем на порядок по сравнению с другими.Это позволяет выделить некоторые группы наиболее частых столкновений, при которых происходят межмодовые колебательные обмены, — V V ′ обмены.Переход к состоянию полного термодинамического равновесия осуществляется за счет всех межмолекулярных столкновений.В газе без химических реакций может быть выписана система неравенствдля характерных времен релаксации:(1)(k)τtr ≤ τrot << τV V << τV V ′ << ...

<< τV V ′ << τV RT ≈ τEQ .(1.4.10)29Здесь k-количество межмодовых колебательных обменов; τV RT – среднее времямежду столкновениями, при которых происходят любые обмены энергией (оносоответствует времени τEQ перехода к состоянию термодинамического равновесия). Вероятность таких столкновений самая маленькая. Стадией V RT завершается процесс релаксации газа.Соотношения вида (1.4.10) обычно называют иерархией времен релаксации.При сильно неравновесных условиях различие характерных скоростейпроцессов играет принципиальную роль [55]. При исследовании течений в расширяющихся соплах, а также на орбитах спускаемых космических аппаратовнаблюдались ситуации, когда часть ϵα << 1, а другие ϵα ∼ 1.В связи с этим, рассматриваемые процессы можно разбить на две группы:быстрые и медленные процессы. Для быстрых процессов характерное времяταrap ≪ θ∗ , а для медленных процессов ταsl ∼ θ∗ .Тогда, учитывая различие в скоростях релаксационных процессов и разделение интегрального оператора на слагаемые, описывающие различные типыстолкновений, в интегральной части уравнений (1.4.5) можно выделить ведущий столкновительный оператор [27,53,58].

При этом система уравнений (1.4.5)может быть записана в виде1 rapslDvr fvr = Jvr+ Jvr.ϵ(1.4.11)rapslЗдесь Dvr , Jvr, Jvr– дифференциальный и интегральные операторы быстрыхrapи медленных процессов. Причем оператор Jvrсодержит только те слагаемые,для которых ϵα << 1. Параметр ϵ = maxα {ϵα , ϵα << 1}; соответственно ϵ << 1.rapОператор Jvrописывает столкновения, среднее время τ между которымиslмного меньше θ; Jvr– столкновения, среднее время τ между которыми сравнимоrapс θ или превосходит его.

Оператор Jvrобычно называют ведущим столкновительным оператором.Перепишем уравнение (1.4.11) в видеrapslϵDvr fvr = Jvr+ ϵJvr.(1.4.12)и устремим ϵ → 0. Тогда уравнения системы (1.4.11) переходят в уравнения30rapJvr= 0.(1.4.13)Решения уравнений (1.4.13) часто называют предельными решениями.В ситуации, когда все процессы являются быстрыми по сравнению с газодинамическими, уравнения (1.4.11) принимают вид1 rap.(1.4.14)Dvr fvr = JvrϵЭти уравнения соответствуют локально равновесным и близким к ним течениям.§1.5 Предельные решения кинетических уравненийв углекислом газеВ настоящей работе рассматриваются течения углекислого газа. В соответствии с §1.4, внутримодовые обмены (1.4.8) можно учитывать для каждойиз трех мод линейной молекулы CO2 .Среди наиболее частых групп межмодовых обменов (1.4.9) особенно четкопрослеживается так называемый «Ферми-резонанс» [17, 60].Следствием того, что отношение частот симметричной и деформационноймод ν1 : ν2 ≈ 2 : 1 является резкое увеличение вероятности V V ′(1−2) -обменов:(v1 , v2 ) + (v1′ , v2′ ) ↔ (v1 ± 1, v2 ) + (v1′ , v2′ ∓ 2).(1.5.1)При рассмотрении колебательных переходов, связанных с изменениемэнергии третьей моды, можно заметить, что отношение частот колебаний симметричной и антисимметричной мод ν1 : ν3 ≈ 1 : 2.

Согласно сказанному выше,среди обменов типа (1.4.9) достаточно частыми должны быть обмены вида(v1 , v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ) ↔ (v1 ± 2, v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ∓ 1).(1.5.2)31Это позволяет выделить стадию V V ′(1−3) -релаксации, когда наряду споступательно-вращательными переходами и обменами (1.5.1) учитываются обмены вида (1.5.2).Кроме того, среди колебательных обменов, включающих третью моду, были обнаружены трехквантовый V V ′(2−3) переход энергии между антисимметричной и деформационной модами и V V ′(1−2−3) обмен между всеми колебательными модами молекулы:(v1 , v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ) ↔ (v1 , v2 ± 3, v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ∓ 1)(1.5.3)(v1 , v2 , v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ) ↔ (v1 ± 1, v2 ± 1, v3 ) + (v1′ , v2′ , v3′ ∓ 1).(1.5.4)иВ принципе, обмены (1.5.1), (1.5.3) и (1.5.4) можно считать наиболее вероятными среди наблюдавшихся в экспериментальных исследованиях межмодовых обменов [96].

Обмен вида (1.5.2) хоть и является возможным с теоретической точки зрения на практике не наблюдается.Суммируя все вышесказанное, систему неравенств (1.4.10) можно конкретизировать следующим образом:(1−2)(2−3)(1−2−3)τtr < τrot << τV V << τV V ′ << τV V ′ ≤ τV V ′<< τV RT ≈ τEQ .(1.5.5)Иерархия (1.5.5) позволяет рассматривать ситуации, при которых столкrapновительный оператор быстрых процессов Jvrвключает разные группы столкновений.Кинетическая теория газов позволяет определить квазистационарныефункции распределения, которые формируются на разных стадиях релаксации.

Характеристики

Список файлов диссертации