Диссертация (1150748), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Любой параметр газа может быть вычислен, еслиизвестны функции fv1 v2 v3 r (⃗r, ⃗u, t). Чтобы определить эти функции, необходиморешить обобщенные кинетические уравнения Больцмана.Система обобщенных кинетических уравнений для углекислого газа может быть записана в виде [106]Dvr fvr = Jvr (f ) , v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R,(1.2.1)где индекс v = (v1 , v2 , v3 ) (v max = (v1max , v2max , v3max )) определяет колебательную энергию молекулы; Dfvr и Jvr (f ) – дифференциальный и интегральныйоператоры.Дифференциальный оператор характеризует изменение функции распределения при движении молекул вдоль фазовой траектории и может быть записан в виде [12, 74]:∂fvrF⃗ ∂fvrDfvr =+ ⃗u · ∇fvr + ·,(1.2.2)∂tm ∂⃗uгде u – скорость движения молекул; F⃗ – массовая сила.Интегральный оператор Jvr (f ) характеризует изменение функции распределения за счет столкновений молекул друг с другом и соответствует суммарно-21му воздействию на функции распределения всех, происходящих в газе, парныхстолкновений, вида:Avr (⃗u) + Av1 r1 (⃗u1 ) ↔ Av′ r′ (⃗u′ ) + Av′1 r′1 (⃗u′1 ) .(1.2.3)Здесь Avr (⃗u) и Av1 r1 (⃗u1 ) – сталкивающиеся частицы со скоростями ⃗u и ⃗u1 на колебательных уровнях v = (v1 , v2 , v3 ) и v 1 = (v11 , v21 , v31 ) и вращательных уровняхr и r1 .

Штрихом обозначены скорости и уровни энергии частиц после столкновения. Интеграл Jvr (f ), описывающий столкновения (1.2.3), имеет вид [55, 72]:)∑ ∑ ∫ (1 r1ssvrv− fvr fv11 r1 ×Jvr (f ) =fv′ ′ r′ fv′1′1 r′1′′′1′1sv r sv r1 ′ ′1 1 ′ ′1v vv r rrv ′ r′ v ′1 r′1×gσvrvdΩd⃗u1 ,1 r1v = 0, 1, ..., v max , r = 0, 1, ..., R.(1.2.4)Здесь svr , sv1 r1 , sv′ r′ и sv′1 r′1 – статистические веса сталкивающихся и получающихся в результате столкновений (1.2.3) частиц, причем svr = sv sr =sv1 sv2 sv3 sr = (v2 + 1) sr , так как дважды вырожденной является только вторая′ ′v′ r′ v 1 r1мода; σvrv– дифференциальное сечение столкновения частиц углекислого1 r1газа, находящихся на v-м и v 1 -м колебательных и r-м и r1 -м вращательныхуровнях, движущихся с относительной скоростью ⃗g = ⃗u1 − ⃗u, в результате ко′торого частицы переходят на колебательные уровни v ′ и v 1 и вращательные′уровни r′ и r1 , а вектор относительной скорости ⃗g ′ после столкновения попадает в телесный угол dΩ.

Используются следующие обозначения для функцийраспределения до и после столкновения:fvr = fvr (⃗r, ⃗u, t),fv′ ′ r′ = fv′ r′ (⃗r, ⃗u′ , t),()()fv11 r1 = fv1 r1 ⃗r, ⃗u1 , t , fv′1′1 r′1 = fv′1 r′1 ⃗r, ⃗u′1 , t .Интегралы столкновений (1.2.4) могут быть записаны в симметричнойформе [66]∑ ∑ ∫ ( f ′ ′ ′ f ′1′1 ′1 fvr f 11 1 )vr v rv rJvr (f ) =−×′ r ′ sv ′1 r ′111sssvvrv rv 1 v ′ v ′1 r1 r′ r′1()v ′ r′ v ′1 r′1×Wvrv⃗u, ⃗u1 |⃗u′ , ⃗u′1 d⃗u1 d⃗u′ d⃗u′1 .1 r1(1.2.5)22′ ′ ′1 ′1vrv rЗдесь Wvrv– плотность вероятности появления частиц Av′ r′ и Av′1 r′1 со ско1 r1ростями ⃗u′ и ⃗u′1 при столкновении частиц Avr и Av1 r1 со скоростями ⃗u и ⃗u1 .Операторы (1.2.4) и (1.2.5) описывают как упругие столкновения, так инеупругие столкновения, приводящие к изменению внутренней энергии молекул.Интеграл столкновений в форме (1.2.4) удобен для проведения конкретных вычислений, а в форме (1.2.5) — для доказательства интегральной леммы:)()fv′ ′ r′ fv′1′1 r′1 fvr fv11 r1v ′ r′ v ′1 r′1Φvr−Wvrv⃗u, ⃗u1 |⃗u′ , ⃗u′1 d⃗ud⃗u1 d⃗u′ d⃗u′1 =1 r1sv′ r′ sv′1 r′1svr sv1 r1)(∫∫∫∫() fv′ ′ r′ fv′1′1 r′1 fvr fv11 r11∑1′′1=Φvr + Φv1 r1 − Φv′ r′ − Φv′1 r′1−×4sv′ r′ sv′1 r′1svr sv1 r1()v ′ r′ v ′1 r′1⃗u, ⃗u1 |⃗u′ , ⃗u′1 d⃗ud⃗u1 d⃗u′ d⃗u′1 ,×Wvrv1 r1(1.2.6)∑∫ ∫ ∫ ∫(где Φvr (⃗r, ⃗u, t) – произвольная функция времени, векторных аргументов ⃗r и ⃗u.§1.3 Газодинамическая скоростьи макроскопические уравненияПри изучении течений различных газов исследователей интересуют макроскопические параметры.Величины∫nvr (⃗r, t) =fvr (⃗r, ⃗u, t)d⃗u(1.3.1)соответствуют числу молекул газа с фиксированным значением квантовых чисел v1 , v2 , v3 , r в единице объема.

Общая числовая n и массовая ρ плотностигаза определяются выражениями:n(⃗r, t) =∑vrnvr (⃗r, t),(1.3.2)23ρ(⃗r, t) = mn(⃗r, t).(1.3.3)Наибольший интерес представляет скорость газовых потоков ⃗v (⃗r, t), которая определяется в данный момент времени в каждой точке пространства каксреднемассовая скорость частиц исследуемого газа:ρ(⃗r, t)⃗v (⃗r, t) =∑∫fvr (⃗r, ⃗u, t)m⃗ud⃗u,(1.3.4)vrгде m – масса молекул.В химически однородном углекислом газе, который мы рассматриваем:∑∫n(⃗r, t)⃗v (⃗r, t) =fvr (⃗r, ⃗u, t)⃗ud⃗u.(1.3.5)vrВ кинетической теории часто бывает удобно перейти к собственной скорости движения молекул⃗c = ⃗u − ⃗v (⃗r, t).(1.3.6)Полная энергия определяется как:e(⃗r, t) = eT R + eROT + eV IBR ,(1.3.7)где eT R , eROT , eV IBR – поступательная, вращательная и колебательная энергии,определяемые по формулам:eT R∑ ∫ mc2=fvr (⃗r, ⃗u, t)d⃗u,2vr(1.3.8)εrotr, ⃗u, t)d⃗u,r fvr (⃗(1.3.9)εvibrr, ⃗u, t)d⃗u.v fvr (⃗(1.3.10)eROT =∑∫vreV IBR =∑∫vrУчитывая (1.3.6), систему уравнений (1.2.1) можно переписать в собственных скоростях.

Тогда fvr (⃗r, ⃗u, t) = f˜vr (⃗r, ⃗c, t), и частные производные по времениt, пространственным координатам и компонентам скорости ⃗u можно переписатьследующим образом24∂ f˜vr ∂ f˜vr ∂⃗v∂fvr=−· ,∂t∂t∂⃗c ∂t∂fvr∂ f˜vr ∂ f˜vr ∂⃗v·=−, k = 1, 2, 3,∂xk∂xk∂⃗c ∂xk∂fvr∂ f˜vr=, k = 1, 2, 3.∂uk∂ck(1.3.11)(1.3.12)(1.3.13)При этом дифференциальный оператор Dvr fvr принимает следующий вид[55, 74]:∂ f˜vrD̃vr f˜vr =+ ⃗c · ∇f˜vr +∂t(F⃗d⃗v−m dt)·∂ f˜vr ∂ f˜vr−⃗c : ∇⃗v ,∂⃗c∂⃗c(1.3.14)где f˜vr = f˜vr (⃗r, ⃗c, t).Интегральный оператор столкновений в собственных скоростях J˜vr (f˜vr )по форме совпадает с оператором (1.2.4) или (1.2.5) с точностью до перехода кинтегрированию по собственным скоростям ⃗c соответствующих частиц.Формально систему (1.3.14) можно записать в виде( )( )˜˜D̃ fvr = Jvr f˜ .(1.3.15)В дальнейшем знак˜будем опускать, предполагая, что осуществлен переход к собственной скорости молекул.Пусть φvr (⃗r, ⃗c, t) — некоторый молекулярный признак, тогда соответствующий ему макроскопический параметр выражается следующим образом:n⟨φ⟩(⃗r, t) =∑∫fvr (⃗r, ⃗c, t)φvr (⃗r, ⃗c, t)d⃗c.(1.3.16)vrИспользуя кинетическую теорию, можно получить уравнения переносамолекулярного признака.

Для этого умножим каждое из уравнений (1.3.15) намолекулярный признак φvr (⃗r, ⃗c, t), затем проинтегрируем полученное выражение по всему пространству скоростей ⃗c и просуммируем по v = (v1 , v2 , v3 ) и r.Тогда придем к общему уравнению переноса молекулярного признака φvr (⃗r, ⃗c, t)[12, 25, 56, 66]:25(⟨ ⟩ddφ(n⟨φ⟩) + n⟨φ⟩div⃗v + ▽ · (n⟨φ⃗c⟩) − n− ⟨⃗c · ▽φ⟩+dtdt() ⟨ ⟩ ⟨⟩)⃗Fd⃗v∂φ∂φ+−·−⃗c : ▽⃗v = n⟨∆φ⟩.m dt∂⃗c∂⃗c(1.3.17)При записи уравнения (1.3.17) использовалось соотношение (1.3.16).За n⟨∆φ⟩ в (1.3.17) обозначено изменение молекулярного признакаφvr (⃗r, ⃗c, t) в единице объема за счет молекулярных столкновений:Φ (⃗r, t) = n⟨∆φ(⃗r, t)⟩ =∑∫Jvr (fvr ) φvr (⃗c, ⃗r, t)d⃗c.(1.3.18)vr§1.4 Иерархия времен релаксации.Выделение ведущего столкновительного оператораПри решении кинетических уравнений их обычно записывают в безразмерной форме. При переходе к безразмерной записи кинетических уравненийвводятся в рассмотрение характерные значения макроскопических параметров,соответствующие рассматриваемому течению (как правило, массовыми силамиможно пренебречь): n∗ – характерное значение числовой плотности молекул; l∗– характерный размер течения; T∗ – характерная температура газа.

Среднюювеличину собственной скорости молекул c∗ можно определить как среднюю ско√рость теплового движения молекул c∗ = 2kT∗ /m (k – постоянная Больцмана).Далее, считая что g ∼ c∗ , можно ввести характерное сечение столкновений σ∗ .Характерное время θ∗ изменения макроскопических параметров газа определяется как θ∗ = l∗ /c∗ .Введем безразмерные координаты и время: x̂ = x/l∗ , ŷ = y/l∗ , ẑ = z/l∗ иt̂ = t/θ∗ . При этом безразмерные функции распределения выглядят следующим()образом: fˆvr = fvr / n∗ c−3∗ .В результате кинетические уравнения принимают вид [12, 66, 72]:26( )1ˆˆD̂vr fvr = Jvr fˆvr .n∗ l∗ σ∗(1.4.1)Здесь D̂vr fˆvr – дифференциальный оператор (1.3.14) в безразмерной форме;Jˆvr – интегральный оператор столкновений (1.2.4) или (1.2.5) в безразмернойформе.В газе с внутренними степенями свободы молекулярные столкновения,вообще говоря, происходят с разной частотой.Так, например, упругие столкновения, когда изменяется энергия поступательного движения, а внутреннее состояние молекул остается неизменным,происходят чаще неупругих столкновений, при которых изменяется внутреннеесостояние молекул.

Как известно, время установления равновесия по поступательным степеням свободы измеряется несколькими временами свободного пробега молекул [70]. В свою очередь, среди неупругих столкновений значительночаще происходят столкновения, при которых изменяется вращательная энергия, а колебательная энергия остается неизменной. Согласно экспериментальным данным, вращательная релаксация происходит за время порядка пяти илидесяти времен свободного пробега.

Характеристики

Список файлов диссертации